2005考研数一真题及解析

2005年入学考试数学一试一、填空题：1-6424分，请将答案写在答题纸指定位置上xy

2x

xy2yxlnxy(1)1的解为92设函数u(xyz)126

y

z

，单位向量n

33

x2R2x2y2设是由锥面zx2R2x2y2整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy 设1,2,33A(1,2,3)，

(1

3,12

93)如果A1，那么B 1,2,3,4X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,P{Y .二、选择题：7-14432分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项n1xn1x

，则f(x)在(,)内 Fxfx的一个原函数，"MN表示MN则必有 (A)Fx是偶函数

f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数

fx是偶函数(CFx是周期函数

f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数

fx是单调函数x设函数u(x,y)(xy)(xy)xy(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有x

2u

.

x2设有三元方程xyzlnyexz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域， zz(x,yyy(xzzz(x,yxxyz)zz(x,yxxyz)yy(xz设12A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(12)线性无关的充分必要条件是

10

20.

10

20Ann2)A12BB的伴随矩阵，则

A*B*分别为A(A)交换A*的第1列与第2列得B* 交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A*的第1列与第2列得B* 交换A*的第1行与第2行得B*设二维随量(X,Y)的概率分布为 1a已知随机事件

0}与{XY1

a0.2,b

a0.4,b

a0.3,b

a0.1,b设

21

n(,,,自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S2n n

nX~

nS2~2 n n

(n1)

~t(n

(n1)X

X Xi三、解答题：15－2394分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说Dxyx2y2

2x0y0}，[1x2y2表示不超过1x2y2大整数.计算二重积分xy[1x2y2D(16)(12分)求幂级数(1)

)xn(2n

fx如图，曲线Cy

f(x，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数fx)3(x2x)f0(18)(12分fx在[0，1]上连续，在(0,1)f(0)0,f(11.(I)存在0,1),f()1(II)存在两个不同的点,0,1f(f((19)(12分设函数y)L(y)dx 2x2y

(y)dxx0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有求函数y的表达式

2x2y

0(20)(9分)求a

2

的秩为 求正交变换xQy，

0(21)(9分

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B

6k为常数kAB0,Ax0的通解(22)(9分设二维随量(X,Y)的概率密度

f(x,y)1,0x1,0y求：(I)X,YfX(x),fY(IIZ2XY的概率密度fZ

(23)(9分 21 n

(,,,N(0,1的简单随机样本，X为样本均值，记Y

Yi的方差DYi,i1,2,,n (II)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn2005年入学考试数学一试题解y1x1 yaxb(a

f ax) a=

f

2 12

x2x2 blimf(x)axlim 1，

x2(2x y1x1 19y1xlnx193dyP(xyQ(xyPy

(x)dxdx

(其中C是常数

y2ylnxxy

dx1

x2lnxdxC]= x1x

其中C是常数

y(1)1得C0y1xlnx 3 3

f(xyz有连续的一阶偏导数l0coscoscos为给定的向量l向量,f(x,yz沿l方向的方向导数计算公式为

cos

cos

cosx y z

因为u(x,yz)1

,1313 1313

x3，y6，

，且向量n913cos13

,cos

,cos

133333

11 33 33【答案】(22)【详解】如果设函数P(x,y,z),Q((x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有(PQR)dv 其中是的整个边界曲面的外侧x2y2R2x2y2以表示由z 与zx2y2R2x2y2xdydzydzdxzdxdy 3dxdydz=32d4sind 1：因为(

)(

,)1，

4)(,

(

)(

,)3

1 故B,

=(,, 3

3 A1,2,3 BA

3129方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对B123,12243,132123,233,22[3]

====123,233,=2123,233

====212,2[2]

====21,2又因为A1,2

1

2

2P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X1,2,3,44而Y表示从1,2,X中任取一个数，也就是说Y是等可能取到1,2,也就是说Y在XP{Y2X21(X2的条件下，Y1，2等可能取值2P{Y2X31(X3的条件下，Y1，2，3等可能取值3P{Y2X41(X4的条件下，Y1，2，3，4等可能取值4故P{Y2P{X1}P{Y2X1}P{X2}P{Y2X 23 准则n1|xn当|x|1时，有n1 ，命n取极限，得limn11，n1|xnn1|x由准则得n1|x

1

当|x|1f(xlimn11limn2 n|xn1|xn2|x当|x|1时，|n|xn1|xn2|xnn2|x

|x|3，由准则得 |x|

x|3x再f(x)的不可导点.按导数定义，易知x1处f(x)不可导，故应选函数fx的任一原函数可表示为F(xxf(t)dtC，且F(x0

f当Fx)为偶函数时，有F(x)F(x)，于是F(x1)F(x)，即f(x)f(xf(x)f(xfx反过来若f(x)为奇函数则F(x) f(t)dtC令tk则有dtdk所 F(x) ft 0 k

0f(k)dkCF(x)x从 F(x)x

f(t)dt

f(x)1,F(x)x1,排除(B)、f(x)xF(x)1x2,排除2【详解】因为u(xy)(xy)(xy)(xyu(xy)(xy)(xy)(xy) (x

y)(x

y)(x

y)(x

y)

(xy)(xy)(x

y)(x

y)

2uy (x

y)(x

y)(x

y)(x

y)

y

，应选F(xyz)M0(x0,y0z0的某领域内具有连续的一阶偏导数，且F(x0y0z00Fz(x0,y0z0)0.M0的某邻域,在此邻域内由方程F(xyz0可以确定唯一的连续偏导数的函数zz(xy满足z(x0y0z0,且Fy(x,yFy(x,y,Fz(x,y, MM Fz(x,y, MM F(x0y0z0)0Fy(x0y0z0)0,yy(xzy0y(x0z0F(x0y0z00F(xyz0,可确定xxyz满足x0xy0z0 本题中可令F(xyzxyzlnyexz1,Fyexzz，Fxz，Flnyexzx 所 Fz(0,1,10zz(xy，所以排除(A)、(B)、(C)Fx(0,1,120Fy(0,1,110，所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数xxyzyy(xz，故应选(D).1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义设有数k1k2，使得k11k2A(120，因12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2k1k21

k22当

20时，方程只有零解，则k10k20，此时1A(121A(12)线性无关，则必然有20否则，1A(1211线性相关)，故应选(B).2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义 由于1,A(12)1,11221,2 2因121,2线性无关.若1A(12线性无关，则r1A(12)22r

minr

,r

121 1

2

2 2故2r 2，从而r

2，从而 2 2

2 若 20，则r 2，又1,2线性无关， 2r

1r

12 2 2 2则r,A()r

1

从而1A(12

20故应选21,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2A(121122，故1A(12线性无关r(1A(12又因

1,22则r(1,1122)r(1,22)220(若20，与r(1,22) 1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义由12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,21A(1211122

0,

X0只有零解，又

1 2 2 1 2

1 2 2 1,2

0 22,线性无关时

Y0只有零解，故Y

1x1

x 22 1x1Y

0

22

20，故应选5：由121,21,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义向量组I:1,2和向量组II:1A(12)1122.显然向量组II可以由向量组I线性表出；当20时，不论1的取值如何，向量组I可以由向II线性表，

(1)1

)11A()

1 2

从而III是等价向量组当20时r1,2r11122方法1：E12(n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)

AB，(AA左乘初等矩阵)

B*(EA)*A*E* E

12又 E1(行列式的两行互换，行列式反号)，

1EB* A* E1A*E1

， 即 B*,可见应选又因为A是可逆阵，

1，故BE12A

AA0 BB1EA)1A1E AA

A,

BB BB

A E，又因BA，故 B*A 量联合概率分布的性质pij1，有0.4ab0.11， 可知ab0.5，又事件{X0}与{XY1P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} P{X0,XY1}P{X0,Y1}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}abP{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}0.4代入独立等式，得a(0.4a0.5，解得a0.4b0.12如果把独立性理P{XY1X0P{XY1因为独{XY1发生与{X0}发不发生没有关系)P{Y1|X0}P{XY1}ab所 P{Y0X0}1P{Y1X0}10.50.5因 P{Y1|X0}P{Y0X0}PX0P{Y1|X0}PX0P{Y0X0}PX由乘法公PABPA|B)P(B，上式即为P{X0,Y0P{X0,Y即0.4a.