高中数学 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件

开始直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质开始直线与平面垂直、平面与学点一学点二学点一学点二1.垂直于

平面的两条直线平行.这个定理叫做直线与平面垂直的

.用符号表示为：a⊥α,b⊥αa∥b.2.两个平面垂直，则

垂直于交线的直线与另一个平面垂直.这个定理叫做平面与平面垂直的

.用符号表示为：α⊥β,α∩β=l;aα,a⊥l，且a∩l=Oa⊥β.同一个性质定理一个平面内性质定理返回1.垂直于平面的两条直线平行.这个定理返回返回学点一线面垂直的性质定理应用如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.【分析】考察线面垂直的性质.【解析】欲证线线垂直，可证线面垂直.∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，返回学点一线面垂直的性质定理应用如图所示，ABCD为正方形又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.【点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.返回又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE.【点评】在线线垂直和线面如图1-9-3所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心.求证：GG′⊥α.证明：连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连DD′，由AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α,得AA′∥BB′∥CC′.∵D,D′分别是BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′.∵G,G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴，∴GG′∥AA′,∵AA′⊥α,∴GG′⊥α.返回如图1-9-3所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，学点二面面垂直的性质定理应用如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【分析】欲证线面垂直，可用线线垂直或用m∥lm⊥γ【解析】已知：α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l⊥γ.证明：证法一：如图所示在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，返回学点二面面垂直的性质定理应用如果两个相交平面都垂直于第三个则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.∵α与β相交，∴PA与PB相交.又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.证法二：如图1-10-7所示,在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线.∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n.又nβ,∴m∥β,∴m∥l,∴l⊥γ.返回则PA⊥α,PB⊥β.返回【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.返回【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂如图所示,已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：作AE⊥SB于E，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，AE⊥BC,∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.返回如图所示,已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，本学案证明题的主要方法有哪些?(1)线面垂直的判定方法①利用定义.要证明一条直线a⊥平面α,转化为证明直线a垂直于平面α内的任何一条直线c.②利用判定定理.一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,即mα,nαl⊥m,l⊥nl⊥α.m∩n=P简言之,“线线垂直线面垂直”.要证直线l⊥α,只需在α内找两条相交直线m,n,证明l⊥m,l⊥n,从而可得l⊥α.③作定理用的推论.如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.返回本学案证明题的主要方法有哪些?返回④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.⑤作定理用的正确命题.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.⑥分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型（自己动手构造）的深入观察,寻求证题思路.⑦必要时注意添加辅助平面,从而构成判定定理的条件.(2)面面垂直的证明方法①证明两个平面垂直,主要途径是:一是利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.二是面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.返回④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线图中不存在,则可通过辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.③证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如图所示:返回②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是:先从现有1.在证明两个平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图形中不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论依据,并有利于证明,不能随意添加.2.面面垂直性质定理是构造线面垂直的重要依据.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故要熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化运用.返回1.在证明两个平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,3.线线垂直的证明方法主要有:（1）平面几何方法.（2）线面垂直的定义.返回3.线线垂直的证明方法主要有:返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回4.C(由于直线与平面的位置不确定,因此要分情况来考虑.若直线l在平面α内,则在平面α内,可以有无数条直线与直线l垂直,如图(1);若直线l与平面α平行,则过直线l可以作辅助平面β与平面α相交,设交线为n,则在平面α内,可以有无数条直线与直线n垂直,也就有无数条直线与l垂直,如图(2);若直线l与平面α相交,则过交点在平面α内可以作直线m与l垂直,如图(3).总之在平面α内必有直线m,使m与l垂直.返回4.C(由于直线与平面的位置不确定,因此要分情况来考虑返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同学们学习上天天有进步！祝同学们学习上天天有进步！开始直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质开始直线与平面垂直、平面与学点一学点二学点一学点二1.垂直于

平面的两条直线平行.这个定理叫做直线与平面垂直的

.用符号表示为：a⊥α,b⊥αa∥b.2.两个平面垂直，则

垂直于交线的直线与另一个平面垂直.这个定理叫做平面与平面垂直的

.用符号表示为：α⊥β,α∩β=l;aα,a⊥l，且a∩l=Oa⊥β.同一个性质定理一个平面内性质定理返回1.垂直于平面的两条直线平行.这个定理返回返回学点一线面垂直的性质定理应用如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.【分析】考察线面垂直的性质.【解析】欲证线线垂直，可证线面垂直.∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，返回学点一线面垂直的性质定理应用如图所示，ABCD为正方形又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.【点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.返回又∵AE平面SAB，∴BC⊥AE.【点评】在线线垂直和线面如图1-9-3所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心.求证：GG′⊥α.证明：连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连DD′，由AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α,得AA′∥BB′∥CC′.∵D,D′分别是BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′.∵G,G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴，∴GG′∥AA′,∵AA′⊥α,∴GG′⊥α.返回如图1-9-3所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，学点二面面垂直的性质定理应用如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【分析】欲证线面垂直，可用线线垂直或用m∥lm⊥γ【解析】已知：α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l⊥γ.证明：证法一：如图所示在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，返回学点二面面垂直的性质定理应用如果两个相交平面都垂直于第三个则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.∵α与β相交，∴PA与PB相交.又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.证法二：如图1-10-7所示,在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线.∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n.又nβ,∴m∥β,∴m∥l,∴l⊥γ.返回则PA⊥α,PB⊥β.返回【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.返回【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂如图所示,已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：作AE⊥SB于E，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，AE⊥BC,∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.返回如图所示,已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，本学案证明题的主要方法有哪些?(1)线面垂直的判定方法①利用定义.要证明一条直线a⊥平面α,转化为证明直线a垂直于平面α内的任何一条直线c.②利用判定定理.一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,即mα,nαl⊥m,l⊥nl⊥α.m∩n=P简言之,“线线垂直线面垂直”.要证直线l⊥α,只需在α内找两条相交直线m,n,证明l⊥m,l⊥n,从而可得l⊥α.③作定理用的推论.如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.返回本学案证明题的主要方法有哪些?返回④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.⑤作定理用的正确命题.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.⑥分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型（自己动手构造）的深入观察,寻求证题思路.⑦必要时注意添加辅助平面,从而构成判定定理的条件.(2)面面垂直的证明方法①证明两个平面垂直,主要途径是:一是利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.二是面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.返回④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线图中不存在,则可通过辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.③证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如图所示:返回②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是:先从现有1.在证明两个平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图形中不存在,则可通过作辅助线来解决,而