例题讲解-概率统计课件

(k

0,1,

2,

3,

4)1PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

服从超几何分布.CN23C

42.4.2

超几何分布例:

某班有学生23名,

其中有5名女同学,

今从班上任选4名学生去参观展览,

被选到的女同学数

X

是一个随

量,求X的概率分布.一般:N个元素,分为两类:第一类

第二类M

个,

N

M个,解:

X

可取

0,1,2,3,4这5个值,

X

的概率分布为:Ck

C

4kP

(

X

k

)

5

18

采取不放回抽样,从N个中任取n

个,那么取到的是第一类元素的个数X

的概率分布为:Ck

CnkP

(

X

k)

M

N

Mn(k

0

,

1

,

2

, ,

min{n,

M}).M. N

M N

nN.

N N

1M

n

N

,(k

0

,

1

,

2

,

,

min{n,

M})nEX

kP

(

X

k)k

0DX

nk02(k

EX)

P(X

k)

n

可以证明:

P

(

X

k)

1,k

0P

(

X

k

)

CNM N

Mn定义:若随量X

的概率分布为:Ck

Cn

k则称X

服从超几何分布,记为X

~

h(N

,M

,n).N,M,n称为分布参数.注:抽样时,超几何分布是无放回抽样.n2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

X0123P0.4910.4210.0840.004例题与解答例1:一批产品20件,

其中4

件优质品,

从中一次取3件,取到优质品数记为X

,

求X

的概率分布及EX

,

DX

.(k

0,1,

2,

3)N

205EX

n

M

3

4

3

,DX

n

M

N

M

N

n

3

4

16

17

0.4295.N

N N

1

20

20

193PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

分布律为:20C

3则

P(

X

k)

4

16

解:这是无放回的抽取,由题意知X服从超几何分布,其中N

20,

M

4,

n

3,Ck

C3kP

(

X

k

)

ke

k!(

0,

k

0,1,2,

)

kk

0

k

!

ek

0

k

e

k!

e

e

1,DX

E(

X

2

)

(EX

)2

k

2

P(

X

k)

2k

0

2

2

.2.4.3泊松(Poisson)分布定义:

若随 量

X

的概率分布为则称X

服从参数为

的泊松分布,记为X

~

P(

).可以证明:

kk

0

k0EX

kP(

X

k)

k

k

!

e

,4PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

(附表2).泊松分布在实际中应用很广:某段时间内

总机收到的呼唤次数,某段时间内候车室内候车的人数,泊松分布表P(X

k)故障、错误以及其它一些

性事件的个数,(如打字员打的错误字数,布匹上疵点等)这些都服从泊松分布.有关泊松分布的计算可查表,

kek

!.5PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

k

!2k

e2(k

0,1,2,

)(1)

P(

X

1)

21

e2

2e2

0.2707,1!(2)

P(

X

3)

P(

X

0)

P(

X

1)

P(

X

2)

P(

X

3)(查表)

0.1353

0.2707

0.2707

0.1805

0.8572

.X

~

P(2),

P(

X

k)

解:例题与解答例1:

某

交换台每分钟收到的呼唤次数

X

服从参数

=2

的泊松分布,求在一分钟内恰有一次呼唤的概率;在一分钟内呼唤次数不超过3

的概率.6PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

(k

0,1,2

)k

!X

~

P(),

P(

X

k

)

解:

设每页的印刷错误数为X

,ke例题与解答例2:设书籍中每页的印刷错误数服从泊松分布,经统计发现在某本书上有1个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检查4页,每页上都没有印刷错误的概率.,1!

2!由条件知P(X

1)

P(X

2)1e

2e即

2,

X

~

P(2),设4页中没有印刷错误的页数为Y

,20

e2

7PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

2P(

X

0)

0!

e

,2Y

~

B(4,

e

),4故P(Y

4)

C

4

(e

2

)4

(1

e

2

)0

e

8

0.00035.(书例)例题与解答例:

投篮为4

投3中,求其首次投篮命中的投篮次数X

的分布律.

(书例P30)解:

X

的所有取值为

1,2,3,(k

1,

2,

3,

)4且分布律为:

P(

X

k)

(

1)k1

3(

)44k

3P(

X

k)

qk

1

p

,(k

1,2,3,

)定义:

若随

量X

的概率分布为:pp2可证明:

EX

1

,

DX

q

.称X

服从参数为p

的几何分布,记为X

~

G(p).几何分布描述的是多重

试验中事件

A首次出现时的试验次数

X

的分布律.8PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

第2章

量的分布与数字特征量及其分布量函数的分布量的数字特征随随随随重要的离散型分布重要的连续型分布9PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

10PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

2.5

重要的连续型分布指数分布正态分布0x

de

x

1

,EX

f

(

x)

e

x

,0,x

0x

0f

(x)dx

0

e0

x

dx

e

x

1,x

f

(x)dx

0

xx

e dx

00

edx

xe

x

x

0

1x

eEX

2

x2

f

(x)dx

0x

e2

x222

y

f(x)oxy

2

,dx

DX

EX

2

(

EX

)2

2

1

2

1

.

2.5.1

指数分布定义:

若随 量X的概率密度为其中

0,称X

服从参数为

的指数分布,记为X

~

E(

).11PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

f

(

x)

x

e

,x

0x

0xf

(t

)dt

0x

t

e

dt0

tx

e

1

e

x

,

F

(

x)

0,

1

e

x

,

x

0x

0认为一些产品的使用都是服从指数分布的.y

F(x)oxy1当x

0

时,

0,F

(

x)

x当x

0

时,

F

(

x)

f

(t

)dt

0,求参数为

指数分布的分布函数F(x):12PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

注:电子元件在已使用1.5年之后再使用2年的概率,与它使用2年的概率是相同的.称这样的随量具有“无性”,这是指数分布的重要特点.3

x超过2

年的概率;(2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用两年的概率为多少?P X

1.5例题与解答例1:某电子元件的(1)求该电子元件

6e

.f

(x)

解:

X~X

(年)服从参数为3的指数分布,3e

,

x

00

,

x

0,

1

e

,

x

00

,

x

0,3

xF(x)

(1)P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

F

(2)

1

(1

e6

)

e

6,(2)P(X

3.5

X

1.5)

P(

XP(3X.5,

1X.5)

1.5)

P((X

3.5))1

F

(3.5)

1

F

1.5)

e4.5e10.5

13PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

P(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

t

)一般:若X

服从指数分布,则有:如果把

X

解释为

,

则上式表明:

如果已知 长于s

年,则再活t

年的概率与分布所描述的

是“s无关.因此,有时又风趣地称指数年轻的”.14PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

15PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

51

1

x(k

0,

1

,

,5)例题与解答5从而

P

(Y

1)

1

P(Y

0)

1

(1

e2

)5

0.5167.解:

X

~

f

(

x)

5

e0,Y

的分布律为P

(Y

k)

Ck

(e2)k

(1

e2

)5k例2:顾客在某银行窗口等待服务的时间X

(分钟)服从参数为1/5的指数分布,若等待时间超过10分钟,则他就离开,

设他一个月内要来银行5次,以Y

表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求Y

的分布律及至少有一次没有等到服务的概率.(书例)5

1

xF

(

x)

1

e,

x

0x

0,

0,,

x

0x

0由题意:

Y

~

B(5,

p),其中p

P(X

10)

1

P(X

10)

1

F(10)

e2

,12e

.

x

22f

(

x)

(

x

)2e

2

2

1

2

2.5.2

正态分布exp2

2记为

12

(

x

)2

,

(

x

)可以证明:f

(

x)dx

1正态分布也叫

分布.一、正态分布的定义定义:如果连续型随量X的概率密度为其中

,

为常数,

且

0,则称X

服从参数为

,

2的正态分布,

记为X

~

N(

,

2

)

,特别地,当

0,

1时,称X

服从标准正态分布,这时X

~

N

(0,

1),其概率密度记为

(x),即

(x)16PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

正态分布的概率密度曲线:12

2

(

x

)2X

~

f

(

x)

e2密度曲线

y

f

(

x)

:呈钟形;在x轴的上方;关于直线x

对称;17PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

最大值为f(

)

1

;2在点x

处,曲线有拐点;以x

轴为水平渐近线.参数

决定了曲线的中心位置而不影响曲线的形状,参数

决定了曲线的形状而不决定曲线的中心位置:

越大,曲线越平坦;

越小,曲线越陡峭.2X

~

(

x)

1

exoy1

0.42y

(

x

)2(

x

)曲线y

(x

):,

(

x

).x

t

2e

2

dt

1

2x

(

x)

(t

)dt

标准正态分布的概率密度曲线:当X

~

N

(0,1)时,x218PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

在x

轴的上方;

关于

y

轴对称;最大值为

(0)

1

0.42在点x

1处曲线有拐点;以x

轴为水平渐近线.标准正态分布的分布函数为:

11babS

(

x

)d

x

Sxa

oP

(a

X

b)

y

(

x

)y12因此对同一长度的区间,若此区间越靠近点x

0,则其对应的曲边梯形的面积越大,即X在该区间上取值的概率越大,所以标准正态分布的分布规律是“中间多,两头少”.19PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

当X

~

N

(0,1)时,.

2DX

EX

tet

22

2二、正态分布的期望和方差x

f

(x)dxdxex2

2

1

2

(

x

)2x

t

e

2

dt1

t

2(

t

)

t

2

1

22dt

e

2

dt

0

(

x

)

2

f

(x)dx

奇函数20PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

若X

~

N(,

2

),则

X

~

N(

,

2

)中的参数

,

2分别是X的期望和方差,即EX

,

DX

2

,

标准差是

;若X

~

N(0,1),

则EX

0,DX

1.

t

2e

2

dt

, (

x

0

)x12

(

x)

对附表3的说明:xe

2

dtt

2

1

2标准正态分布函数值表

(

x)

,只能近似计算.可查附表3xoyxS

(

x

)y

(

x)

(0)

0.5y

(

x)x

xxoy当x

3.5

时,Φ(x)

0.三、正态分布表设X

~

N

(0,1),则X的分布函数计算起来比较

(

x)

(

x)

(

x)表中x

的取值范围为[0,

3.49],当x

3.5

时,

(x)

1,当x

0

时,则有

(x)

1

(

x),21PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

22PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

标准正态分布函数值表与概率:概括起来,如果X

~

N

(0,1),则

0

.5

,

x)

,

Φ(

x)

,

x

0P

(

X

x

)

x

0x

0

1

Φ(P(|

X

|

x)

2Φ(x)

1

(当x

0

时)P

(a

X

b)

Φ

(b

)

Φ

(a

).23PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

查表得:

a

2.32,

(a)

1

0.0102

0.9898,从而:a

2.32.例题与解答例1:设X

~

N

(0,1),求P(1

X

2),P(X

1.96),P(X

1.96),P(|

X

|

1.96).解:P(1

X

2)

(2)

(1)

0.9772

0.8413

0.1359P(

X

1.96)

(1.96)

0.9750P(

X

1.96)

(1.96)

1

(1.96)

1

0.9750

0.025P(|

X

|

1.96)

2

(1.96)

1

2

0.9750

1

0.95例2:设X

~

N

(0,1),求下式中的a.P(

X

a

)

0.6331,

即

(a)

0.6331,

查表得:

a

0.34,P(

X

a

)

0.0102.P(

X

a

)

(a)

1

(a)

0.0102证明:dtx

(t

)22

2

1

e2

y

221

y2x

2

dy

e2

1x

Φ(

)

Φ1

x

f

(x)

1

(

x

)

,则(1)(2)

F

(

x)

Φ(

x

)

.x

f

(t)

dt

(2)

F

(

x)

t

y)

.x

2

d

y

Φ((1)

f

(

x)

F

(

x))

.

1

(x

知道了一般正态分布与标准正态分布的关系,

就可以通过标准正态分布函数值表去解决一般正态分布的概率计算问题.ex

一般正态与标准正态的关系定理:设X

~

N

(,

2

),Y

~

N

(0,1),它们的概率密度分别记为f

(x)和

(x),分布函数分别记为F

(x)和

(x),24PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

定理:若X

~

N

(,

2

),而Y

X

,则Y

~

N

(0,1).标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.结论:设随

量X服从正态分布,

则它的线性函数kX

b(k

0)仍服从正态分布.(比较重要的一个结论)25PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

2

1

Φ(

13

10

)

1

Φ(1.5)

1

0.9332

0.0668

,2P(|

X

10

|

2)

P

(

|X

10

2

2Φ(1)

1

2

0.8413

1

0.6826

.Y

X

10

~

N(0,1)2

P

(

|

Y

|

1)

2

(1)

1得P(10

X

13)

F(13)

F(10)

Φ(13

10)

Φ(10

10)26PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

2

Φ(1.5)

Φ(0)

0.9332

0.5

0.4332

,P(

X

13)

1

P(

X

13)

1

F

(13)|

1

)例题与解答例3:设X

~

N

(10,22

),求P(10

X

13),P(X

13),P(|

X

10

|

2).解:由X

~

N

(10,22

),27PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

4

1

Φ(

0.45)

Φ

(0.45

)

0.6736

.

P

(

X

0)

1

P

(

X

0)

1

F(0)

1

Φ(

0

1.8

)

3

0.3

,查表可得:

5

1.7P

(

X

3)

Φ

(

3

)

0.618

,例题与解答例4:设X

~

N

(,

2

),且P(X

5)

0.045,

P(X

3)

0.618,解得

1.8,

4,则X

~

N

(1.8,

42

),解:

P

(

X

5

)

Φ

(

5

)

Φ

(

5

)

0.045

,

Φ

(

5

)