基于MATLAB的正弦信号的分析及取样定理的验证

PAGE--课程设计说明书课程名称医学信号处理题目基于MATLAB的正弦信号的分析及取样定理的验证（2）学院医工学院班级学生姓名指导教师日期课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称医学信号处理学生姓名专业班级设计题目基于MATLAB的正弦信号的分析及取样定理的验证（2）一、课程设计目的1．熟练掌握使用MATLAB程序设计方法2．探究数字信号处理的基本概念和特点3．掌握序列离散傅里叶变换的MATLAB实现，并进行频谱分析4．学会用MATLAB对信号进行分析和处理二、设计内容、技术条件和要求一）设计内容与技术条件1．产生频率为50HZ的正弦信号1，画出信号1的时域（横坐标用时间/s表示）和频谱图（频谱图横坐标用频率/Hz表示）。注意自行采样频率。分析时域频域信号及其关系。2．对信号1加上同幅度的频率为100的正弦信号得信号2，画出此时信号2的时域和频谱图。分析时域频域信号及其关系。3．在信号2的基础上加上随机信号得信号3，画出此时信号3的时域和频谱图。分析时域频域信号及其关系。4．改变采样频率重复1-3操作，对比分析频谱图，解释取样定理。5．调用fir1函数设计一个20阶带通滤波器，并滤除信号3中50Hz的信号，分析滤波后信号的时域和频域波形。二）设计要求1．设计程序整齐易懂，要求有注释；2．设计结果中的图示要美观，整齐，有标题，有纵横坐标标示；3．课程设计报告要有理论依据、设计过程，结果分析。报告要求实事求是、文理通顺、字迹端正。三、时间进度安排11月24日：查阅资料，熟悉任务书内容，熟悉Matlab的工作环境，掌握编程方法。11月25日~28日：按照课程设计任务书要求，编程实现课程设计的内容。12月1日~3日：完善程序并撰写完成课程设计说明书。12月4日~5日：答辩。四、主要参考文献参考资料（1）信号与系统郑君里清华大学出版社（2）数字信号处理及MATLAB实现余成波清华大学出版社（3）MATLAB7.0在数字信号处理中的应用罗军辉机械工业出版社（4）Matlab帮助文件目录摘要……………………设计内容………1.1设计目的…………1.2设计内容…………二、原理介绍…………2.1MATLAB简介……………………2.2函数实现…………2.3采样定理…………三、设计过程及分析…………………3.1实验过程…………3.2改变采样频率后的信号频谱……3.3滤波器设计………四、总结………………五、参考文献…………六、附录……………基于MATLAB的正弦信号的分析及取样定理的验证摘要现在，信号与系统的概念已经深入到人们的生活和社会的各个方面。信号在传输的过程中存在着某些“不确定性”，即信号在传输的过程中不可避免的要受到各种干扰，使得信号失真。我们需要做的就是将这些干扰滤除掉，留下需要的信号。数字信号处理是信号与系统中的重要内容，生活中，我们常常需要将数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。本文主要通过编制MATLA程序，对给定频率的信号进行仿真，同时分析频谱特性，观察不同采样频率对采样信号频谱的影响，验证时域采样定理；对给定序列进行傅里叶变换，并在频域进行采样，观察不同采样点数对恢复序列的影响，验证频域采样定理；绘制相关信号的波形，最后验证采样定理。经过实验我们对采样定律进行验证，可以得到在采样频率大于信号最大频率的两倍时，即时，此时的采样是成功的，它能够恢复原信号，从时域波形可看出，比上面采样所得的冲激脉冲串包含的细节要多，在频域中也没出现频谱的交叠，这样我们可以利用滤波器m(t)得到无失真的重建。关键字：采样定理频谱特性频域采样MATLA一、设计内容1.1设计目的本次课程设计我们需要应用自己所学知识应用MATLAB实现对正弦信号以及噪声信号的幅频特性的分析以及滤波方法的掌握。1、熟练掌握使用MATLAB程序设计方法。2、探究数字信号处理的基本概念和特点。3、掌握序列离散傅里叶变换的MATLAB实现，并进行频谱分析。4、学会用MATLAB对信号进行分析和处理1.2设计内容1．产生频率为50HZ的正弦信号1，画出信号1的时域（横坐标用时间/s表示）和频谱图（频谱图横坐标用频率/Hz表示）。注意自行采样频率。分析时域频域信号及其关系。2．对信号1加上同幅度的频率为100的正弦信号得信号2，画出此时信号2的时域和频谱图。分析时域频域信号及其关系。3．在信号2的基础上加上随机信号得信号3，画出此时信号3的时域和频谱图。分析时域频域信号及其关系。4．改变采样频率重复1-3操作，对比分析频谱图，解释取样定理。5．调用fir1函数设计一个20阶带通滤波器，并滤除信号3中50Hz的信号，分析滤波后信号的时域和频域波形。二、原理介绍2.1设计内容MATLAB简介MATLAB（MatrixLaboratory）是美国MathWork公司自20至80年代中期推出的一系列教学软件，强大的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其迅速在数学软件中脱颖而出。MatrixLaboratory意为“矩阵实验室”，最初的MATLAB只是一个数学计算工具。但现在的MATLAB已经远不仅仅是一个“矩阵实验室”，它已经成为一个集概念设计、算法开发、建模仿真，实时实现于一体的集成环境，它拥有许多衍生子集工具。MATLAB还提供了非常丰富的函数，拥有强大的符号功能，可自动的选择算法，对其他软件和语言有很好的对接性，它可以提供非常灵活的数组运算还具有通信箱原理可进行小波理论分析，也同样可以应用于信号的线形系统分析的采样与重构内容。在各个领域里都可以找到它的身影。整个课程设计都是需要MATLAB软件的庞大系统支持,包括编程以及输出。在本实验中，我们用到的MATLA指令有：plot:绘制二维曲线title:给图形加标题grid:显示网格线xlable:给X轴加标记ylable:给Y轴加标记Randn（1，N）：产生随机数Firl1（N，Wn):设计滤波器2.1函数实现根据上述的采样定理，我们知道如果一信号是带限信号，其频谱间隔满足的话，我们就可以将它恢复成原信号，今天我们通过对信号进行采样与滤波。2.1采样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为，则当取样频率时，可从取样序列中重构，否则将导致的混叠现象。带限信号的最低取样频率称为Nyquist（奈奎斯特）速率。图1给出信号采样原理图。图1信号采样原理图由图1可见，，其中，冲激采样信号的表达式为：（1）其傅立叶变换为，其中。设，分别为，的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：（2）若设是带限信号，带宽为如图（2），由式（2）可见，经过采样后的频谱就是将在频率轴上搬移至处（幅度为原频谱的倍）。因此，当时如图（4），频谱不发生混叠；而当时如图（5），频谱发生混叠。应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实际精度要求来确定信号的带宽。三、设计过程及分析3.1实验过程3.1.1信号1的产生以及图形的分析通过设定信号1的表达式，运用MATLAB来输入代码获得波形，题目中要求设计频率为50Hz的正弦信号，我们令信号1的表达式为，通过使用MATLABb的绘图功能，画出函数，同时运用软件中求相角和幅频的指令“abs”以及“ang”，绘制出信号1的时域图以及相频特性和幅频特性图。得到的结果如图6。详细代码见附录实验代码1.图6信号1的频谱特性分析：设采样频率为1000Hz，即过采样，采样点为800点。从上图中看出，在频率为50Hz的时候，出现一个峰值，由于对信号进行傅里叶变换，所以看到的图像关于（）是偶对称，即关于500Hz对称。3.1.2信号2的产生以及图形的分析图7信号2的频谱特性信号2是在信号1的基础上加上同幅度的100Hz正弦信号，波形的产生原理与信号1相同。实现代码见附录中实验代码3，结果如图7所示：分析：信号1加上100Hz的正弦信号后，频谱特性如上图所示，我们可以看到信号2的时域图与信号1相比，波形有明显变化，可以看出是两种信号叠加后的结果；频谱图可以看到两组以425Hz对称的波峰，分别出现在50Hz和100Hz，以及900Hz和950Hz。3.1.3加入随机信号分析此过程需要在信号2的基础上加上随机信号，也就是加入了噪声，我们需要知道MATLAB中随机信号产生的表示方法，幅频特性的代码实现方法与之前的步骤相同。采样频率和采样点保持不变，我们得到的结果如图8所示。图8信号3的频谱特性分析：从图8我们可以看到，与信号1和信号2相比，信号3的时域是杂乱无章的，几乎看不出任何波形；频谱图中，与图7相比，峰值出现的时候对应的频率大致相等，但是可以看到有明显的杂乱的频率，也就是说信号2受到了随机信号（噪声)的干扰。3.2改变采样频率后的信号频谱3.2.1改变采样频率重复1-3操作，对比分析频谱图，解释取样定理。通过之前的实验过程，我们可以看到在1000Hz采样频率下的不同信号的时域以及幅频特性，通过改变采样频率，使其减小为400Hz,我们得到的频谱图如下图9，图10，图11所示：图9减小采样频率后信号1的频谱由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为400Hz时，在折叠频率200Hz附近频谱混叠很严重。图10减小采样频率后信号1的频谱图11减小采样频率后信号1的频谱3.2.2解释采样定理在上述的实验当中，我们首先定义信号时采用了该信号的函数表达式的形式。在MATLAB中求连续信号的频谱，我们应用的是离散傅立叶变换，这样实际运算的仍是对连续信号的采样结果，这里我们给予了足够高的采样频率，把其作为连续信号来考虑。实际中对模拟信号进行采样，需要根据最高截止频率，按照采样定理的要求选择采样频率的两倍，即。设计中对两种频率时采样分析总结：采样：即时，此时的采样是成功的，它能够恢复原信号，从时域波形可看出，比上面采样所得的冲激脉冲串包含的细节要多，在频域中也没出现频谱的交叠，这样我们可以利用滤波器m(t)得到无失真的重建。取样定理论述了一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等待时间间隔上的瞬时值（或称样本值）。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续时间信号与离散时间信号。综上：对上述采样情况的分析，可以看出要使采样信号可以恢复到原信号，采样频率必须满足时域采样定理，从而验证了时域采样定理。3.3滤波器设计为了能从取样信号恢复信号，需要满足两个条件，必须满足两个条件：首先它必须是带限信号，取样率不能过低，或者说取样间隔不能过长，通常频谱都应该满足，我们需要调用fir1函数设计一个20阶带通滤波器，并滤除信号3中50Hz的信号，分析滤波后信号的时域和频域波形。3.3.1滤波器的实现信号3中我们增加了一些随机信号，也就是产生了噪声，我们需要做的是把不需要的信号滤除掉。MATLAB中，我们调用fir1函数设置滤波器，目的是把50Hz的信号，以及随机信号滤除，留下100Hz的信号，设置的滤波器的阶层为50。设计的滤波器为带通滤波器，实现代码见附录4，滤波器的频谱特性如图12所示，滤波前后信号3的频谱如图13、图14所示。图12减小采样频率后信号1的频谱分析：带通滤波器的功能是将50Hz以及噪声（随机信号）滤除，留下100Hz的信号。在滤波器的幅频特性图中我们可以看到波峰出现在100Hz处，也就是在滤波过程中，对于信号3中的频率，主要通过100Hz的信号，其他的信号将被滤除。图13滤波前后信号3的幅频特性图14滤波前后信号3的时域分析：将信号3进行滤波后我们可以看到，幅频特性中只留下了100Hz的信号，表明滤波器达到了设计的效果，不过还有一些杂波出现，表明滤波器没有滤除干净。信号3的时域虽然和之前不太一致，出现的原因是噪声没有滤除干净，和滤波前相比，已经纯净了许多。四、总结对于此次课程设计，我非常感谢指导老师杨老师对我的教导，使我能够准时完成课程设计，并且复习了许多以前所学过的知识，更进一步了解了MATLA的使用。通过这段时间的课程设计，加深了信号与系统的理解，使我懂得了理论与实际相结合时很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正提高自己对理论知识的熟练掌握和运用。在设计的过程中也遇到了很多问题，才发现原来自己有如此多的不足之处，对以前学过的知识理解得不够深刻，掌握也不牢固。对于中间MATLAB的运用，幸好我以前选修过MATLAB这门课，不然中途不知道会遇到什么样的困难。不过期间，还是有些不熟悉，在翻阅了大量关于MATLAB的相关画图资料，我发现自己对MATLAB的掌握也更加熟练了。这次课程设计的顺利完成，让我明白我自己的不足。在以后的学习过程中我会更加的的努力，不断丰富自己的知识。此次实验要感谢老师的热心耐心指导，老师的热情帮助不仅能使我们的杂乱的思路得以清晰，而且给我的设计提供建议和纠错，真诚感谢老师！同时也感谢同学的热情帮助，自己才能够按时做完这次实验，也同样真诚感谢他们！五、参考文献[1]楼顺天、李博菡.《基于MATLAB的系统分析与设计一信号处理[M]》.西安电子科技大学出版社，1988.66-68[2]梁虹.《信号与系统分析及MATLAB实现》.电子工业出版社，2005.[3]谭浩强.《C程序设计（第三版）》.清华大学出版社，2005.7[4]刘树棠.《信号与系统（第二版）》.西安交通大学出版社，1997[5]吴大正.《信号与线性系统》.高等教育出版社，1998[6]吕幼新、张明友.《信号与系统分析》.电子工业出版社，2003六、附录代码（1）：%产生频率为50Hz的正弦波，即信号1，画出频谱图closeallfs=1000;N=800;k=0:N-1;f=k*fs/N;%设定采样频率为1000，采样数为800t=k/fs;%产生信号1（50Hz）及其频谱图y1=sin(100*pi*t);%设定信号1F1=fft(y1,N);%对信号1进行傅里叶变换ang1=angle(F1);%求信号1的相频特性mag1=abs(F1);%求信号1的幅频特性figure(1);%图1表示信号1的特性subplot311;plot(t,y1);title('信号1(50Hz)');xlabel('时间/(t)');gridon;subplot312;plot(f,mag1/N*2);%转化为实际幅值title('信号1的频谱图');xlabel('频率/(Hz)');gridon;subplot313;plot(f,ang1);title('信号1的相频图');xlabel('频率/(Hz)');代码（2）：%对信号1加上同幅度的频率为100的的正弦信号得到信号2closeallfs=1000;N=800;k=0:N-1;f=k*fs/N;%设定采样频率为1000，采样数为800t=k/fs;%产生信号2及其频谱图y2=sin(100*pi*t)+sin(200*pi*t);%设定信号2F2=fft(y2,N);%对信号进行傅里叶变换ang2=angle(F2);%求信号2的幅频特性mag2=abs(F2);%求信号2的相频特性figure(2);subplot311;plot(t,y2);title('信号2');xlabel('时间/（t）');subplot312;plot(f,mag2/N*2);title('信号2的频谱图');xlabel('频率/(Hz)');subplot313;plot(f,ang2);title('信号2的相频图');xlabel('频率/(Hz)');代码（3）：%信号2的基础上加上随机信号得信号3closeallfs=1000;N=800;k=0:N-1;f=k*fs/N;%设定采样频率为1000，采样数为800t=k/fs;y2=sin(100*pi*t)+sin(200*pi*t);N=length(y2);y3=y2+randn(1,N);%设定信号3F3=fft(y3,N);%对信号进行傅里叶变换ang3=angle(F3);%求信号3的幅频特性mag3=abs(F3);%求信号3的相频特性figure(2);subplot311;plot(t,F3);title('信号3');xlabel('时间/（t）');subplot312;plot(f,mag3/N*2);title('信号3的频谱图');xlabel('频率/(Hz)');axis([0,1000,0,1]);subplot313;plot(f,ang3);title('信号3的相频图');xlabel('频率/(Hz)');代码（4）：滤除50Hz的信号%产生频率为50Hz的正弦波，即信号1，画出频谱图closeallfs=1000;N=800;k=0:N-1;f=k*fs/N;%设定采样频率为1000，采样数为800t=k/fs;%产生信号1（50Hz）及其频谱图y1=sin(100*pi*t);%设定信号1F1=fft(y1,N);%对信号1进行傅里叶变换ang1=angle(F1);%求信号1的相频特性mag1=abs(F3);%求信号1的幅频特性%产生信号2的频谱图%产生信号2（50Hz+100Hz）及其频谱图y2=sin(100*pi*t)+sin(200*pi*t);%设定信号2F2=fft(y2,N);%对信号进行傅里叶变换ang2=angle(F2);%求信号2的幅频特性mag2=abs(F2);%求信号2的相频特性%信号2的基础上加上随机信号得信号3y2=sin(100*pi*t)+sin(200*pi*t);N=length(y2);y3=y2+randn(1,N);%设定信号3F3=fft(y3,N);%对信号进行傅里叶变换ang3=angle(F3);%求信号3的幅频特性mag3=abs(F3);%求信号3的相频特性g=n*