2011优秀本科毕业论文：微积分在物理学中的应用

2009级数学与应用数学专业毕业论文第PAGE22页共NUMPAGES23页第PAGE23页共NUMPAGES23页毕业论文（设计）微积分在物理学中的应用毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果.作者签名：日期：毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定.即：学校有权保留或向有关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料.作者签名：指导教师签名：日期：日期：论文题目：微积分在物理学中的应用摘要：在大学物理的学习中，用微积分的方法分析解决物理学有关问题已经成为学习大学物理的基本方法。微积分是用一种运动的思想考虑问题分析问题的数学方法，在大学物理中有着广泛而重要的应用。本文通过分析微积分在普通物理学中的应用,着重说明在应用徽积分原理和方法计算物理问题时应注意的一些问题,使学生尽快理解微积分思想，熟练运用微积分的方法分析物理问题。关健词：微积分；大学物理；应用；Title：DiscussiononCalculusApplicationintheUniversityPhysicsAbtact:thecalculusthoughtandmethodintheuniversityphysicsteachingisbasedonteachingexperience.Thecalculusisamathsmethodofthoughtandanalysisprobleminmovingthought,wideapplicationoftheuniversityphysics.Thiscaninspirestudentstolearnuniversityphysics,canmakestudentsunderstandandbeproficientincalculusmethodbyanalysisofcalculusapplicationintheuniversityphysics.Keywords:calculus;universityphysicsteaching；application目录摘要 1Abstract 2绪论 21微积分在质点力学中的应用 31.1用微积分的方法解决速度和加速度的问题 31.2用微积分的方法解决变力做功的问题 102微积分在热学中的应用 113微积分在刚体转动问题中的应用 134微积分在电磁学中的应用 17结束语 20参考文献 20致谢 20绪论微积分在大学物理中重要性1.微积分的方法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一.它把复杂的物理问题进行时间空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样在理论上得到精确的结果.[1]微分就是在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便无限小下去.积分就是把无限小个微分元求和.这就是微积分的方法.物理学就是要抓住主要方面而忽略次要方面，从而使得复杂问题简单化，因此在大学物理中应用微积分的方法，能够把看似复杂的问题近似成简单基本可研究的问题.2.物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础，对于实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在较小时间空间等范围内的相应局部问题，只要局部范围被分割到足够小，小到这些局部问题可近似处理为简单基本可研究的问题，把局部范围内的结果累积起来，就可以得到问题的结果.微积分在物理学中的应用相当普遍,有许多重要的物理概念,物理定律就是直接以微积分的形式给出的，如速度，加速度，转动惯量，安培定律,电磁感应定律……指导学生尽快熟练掌握微积分原理及在物学中的应用是每个数学、物理教师的责任。微积分作为一种重要的数学工具用于解决物理问题时并不是一开始就得心应手的,有相当一部分学生在开始应用微积分解决物理间题时常常感到困惑,主要表现在象微分方程的建立、积分元的选取,积分限的确定等等。本文旨在通过具体实例强调如何用微积分方法求解物理学问题,使学生将微积分的思想、原理和方法与物理问题结合起来,从而进一步加深对微积分和物理学的理解。1微积分在质点力学中的应用1.1用微积分的方法解决速度和加速度的问题当质点沿任一曲线轨道运动时，质点在不同时刻速度的大小和方向是不同的.如图1，设时刻质点在处，经过运动到点，在此时间内从到的位移是，我们知道，质点的位移是与完成这段位移所需的时间的比值即是这段时间内的平均速度，可以令趋近于零，把的平均速度的极限值称为质点在时刻的瞬时速度（也称速度），表示为图2图2vVv图1再如在研究匀变速直线运动时，速度均匀变化，如图2中描写速度变化快慢的物理量加速度就可以将的平均加速度的极限值称为质点在时刻的瞬时加速度（也称加速度）表示为由此看出，通过运用数学中导数的概念，也就是通过求平均变化率的极限来得到速度和加速度的瞬时值，不仅使学生恍然大悟把导数概念应用于物理学当中，同时也学到了一种研究物理问题的新方法。例1如图，曲柄以均匀角速度饶定点转动.此曲柄借连杆使滑块沿直线运动.求连杆上点的轨道方程及速度.设解1)如图，点的坐标为：，(1)(2)由三角形的正弦定理，有故得(3)由(1)得(4)由，得化简整理,得点的轨道方程为:2)要求点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得其中又因为对该式两边分别求导,得所以点的速度例2宽度为的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为。一小船以相对速度沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解以一岸边为轴，垂直岸的方向为轴，如图建立坐标系。所以水流速度为由河流中心处水流速度为，故，所以.当时，，即(1)得.两边积分，有(2)由(1)-(2)，得，(3)同理，当时，，即(4)其中为一常数。由(3)知，当时，，代入(4)，得，于是.所以船的轨迹为船在对岸的靠拢地点，即时有图1例3湖中有一小船,岸边有人用绳子跨过离水面高为的滑轮拉船靠岸,如图1所示，设绳的原长为，以匀速率拉绳，求在任意位置处,小船的速度和加速度。〔1〕图1解小船可作为质点并作一维运动，选取坐标系如图1所示，在任一位置处，绳长，位置坐标及高度(常数)之间有如下关系:.(1)将(1)式两边同时对求导,有.(2)注意到（绳长减小），则有.(3)将(2)式两边再对求导有注意到，为常数，则上式为即和表达式中的负号表示，的方向沿轴负向,且随着小船向岸边的运动,速度和加速度的值越来越大,这与文献〔1〕给出的结果相同。例4质量为的质点以初速度从地面竖直上抛,设空气阻力为,为常数,试求(a)(b)(c)图5物体上升的最大高度,(a)(b)(c)图5解①求物体上升的最大高度。选取坐标系如图5（a）所示,取开始上抛时,这时,上升到最高位置时有,在该过程中受力分析如图5(b)所示,其运动方程为(12)注意到(13)所以(14)对(14)式两边积分,注意到所以有(15)由(15)得到(16)结果讨论：在、不变的情况下，的大小将会影响,如当很小时,有，则。这正是不计阻力时物体以竖直上抛所能达到的最大高度。这一结果还可从另一角度来讨论,即把看作是的函数,即当时,此式为型不定式（当型不定式）,所以由罗必达法则,有，当时，，表示物体不能上升。求返回原地时的速度物体在下落时所受阻力与重力方向相反,所以运动方程为（17）仍用（13）式将（17）式表示为（18）将（18）式两边同时积分,上、下限选取:时,物体在最高点,这时有,返回地面时,,所以（19）积分结果为（20）将(16)式代人（20）式并整理有（21）（21）式中的负号仅表示与方向相反。(当时,则有,当非常大时有),③求开始上升到返回地面所用的总时间先求上升过程所用的时间。将（12）式改写为(22)对(22)式两边积分,确定上下限时注意到当时,当,即（23）由（23）式得(24)在计算下降时间时,为避免混淆,轴正向应向下,原点取在原处,如图5(c)所示,运动方程为(25)即(26)对(26)式两边积分，注意到当时，，所以有。（27）由（27）式解得（28）因此求得总时间为（29）当时（29）式中两项都为型不定式，不难用罗比达法则求出，这正是不计阻力时竖直上抛物体从上抛到返回原地时所用的时间。1.2用微积分的方法解决变力做功的问题力学、热力学基础中经常会有求变力作功的问题.质点在恒力作用下，沿直线产生位移过程中的功。但对一般情况，质点沿曲线从运动到，且质点运动过程中，作用于质点上力的大小方向都可能不断改变，要计算力对质点所做的功，可将轨道曲线分成许多微分线段，称为位移元，计算出在每一位移元上所做的元功，再对整个路径上所有元功求和.由于极小，所以每一位移元都可看成直线段，而质点所受力皆可视为恒力.这样质点所做的元功为变力所做的功就是全部元功的和，写成积分的形式就是：因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为不变的量，先求微元再求和的方法，从而求出变力在整个物理过程中做的总功，使看似复杂的问题简单化.例1设力其中验证为保守力，并求出其势能。解：为验证是否为保守力，将题设中力的表达式代入，得于是是保守力。故其势能为2微积分在热学中的应用例11摩尔单原子理想气体经历如图2所示的循环过程,①求循环过程中的最低与最高温度,②求循环过程的转折点。(大气压)(大气压)02442f图2解①求最低与最高温度,由图2可以看出,,三点分别处在三条温度不同的等温线上,其中点的温度(为气体普适恒量)最低,点温度最高，为求,利用理想气体状态方程(4)对微分，有(5)由图2可得出过程的过程方程为(6)由(6)式得,代入(5)式中有(7)在最高温度处,应有,故由(7)式解出,代入(6)式,得,，从而求得最高温度为‘.②求循环过程中的转折点由图2看到,段为等压压缩阶段,气体放热,段为等容吸热阶段,显然点是放热与吸热的转折点,且.在段,温度由点开始逐渐升高,过点后温度继续升高,直到点温度达到最高,在此之前由热力学第一定律,因,故（吸热）,过点之后,温度降低,故有,所以只有在段才可能有(放热),也就是说,只有在段才可能出现转折点(在该点,之前,之后),现在求该转折点.由热力学第一定律,注意到理想气体有,(8)式中为定容摩尔热容,为定压摩尔热空,对单原子理想气体有令（8）式中。代入（6）式求得转折点为.3微积分在刚体转动问题中的应用在用积分求解物理问题中涉及到积分元,积分变量,积分上下限如何确定等问题,有时积分元或积分变量选得好,则计算就变得很方便和简单,否则就难于计算甚至求不出结果。在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理.例1如图1所示，计算半径为，质量为，密度均匀圆盘绕过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量.[2]RRm图3我们用微分的方法来求解.如图1所示，把圆盘分成许多无限薄的圆环，圆盘的密度为，圆盘的厚度为，则半径为，宽为的薄圆环的质量为：薄圆环对轴的转动惯量为然后沿半径积分得其中为圆盘体积，为圆盘质量，故圆盘转动惯量为例2计算半径为，质量为的均匀球体绕任意直径转动的转动惯量.方法一：任选一体积元，则该体积元可近似为一质点，它到轴的距离为，绕轴的转动惯量为图4图4所有微分元对轴的转动惯量的和即积分值就是要求的转动惯量（如图4）。方法二：如图5，可以把任意选取的半径为厚度为的薄球壳近似成球壳（球壳是没有厚度的，薄球壳是有厚度的，尽管它的厚度趋于零），则它绕轴的转动惯量为最后积分得转动惯量O图6O图6图5方法三：如图6，可以把任意选取的半径为高度为的薄圆台近似成薄圆盘，则它绕轴的转动惯量为最后积分得转动惯量从上面例子可以看出：微元的选取不唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦.所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解.由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解.计算半径为,质量为的均匀分布球体绕任一直径及原点的转动惯量.解在高等数学中对物体转动惯量的计算,是微积分在物理学中的要应用之一。对于空间形体,绕，，二轴及原点的转动惯定义为(9)在(9)式中或为质量元或体积元,或叫积分元。在不同的坐标系中有不同的表达式.为球体密度,一般为，，的函数,在本题中因质量均匀分布,故为常量。考虑到对称性(球心在原点)应有,只要求出其中一个如,则即可得到。对（9）式徽分,有,它表示质量为的质量元绕轴的转动惯量,是到轴的距离的平方,求出所有的,对轴的转动惯,即得到整个球体的转动惯量。在本题中,如用直角坐标系,则有,则由（9）式有如用柱坐标系,有则如用球坐标系有有在该问题中用球坐标系,计算较为简便。然而,在物理学中,转动惯量的计算,往往不是通过计算三重积分的方法来进行的。如在本问题中通常以圆板的转动惯量（为圆板质量,为圆板半径）为基础,把球体看成是由许多薄圆板所组成,并把任一薄圆板的转动惯量记为，（10）其中为薄圆板质量。如图3所示,求出所有的薄圆板的转动惯量之和即得到整个球体绕直径的转动惯量。由图3看出,每一个薄圆板都绕同一轴线转动,且,将此式代入（10）式，注意到,有。有时，常常选取薄球壳,计算也非常方便,如图4所示,把球看作是声许多薄球壳所组成,由于薄球壳上的每一点到球心的距离都相同,则每一球壳绕其球心的转动惯量为，（11）且，将此代入（11）式有。RRyOdxyx图3drdrROr图44微积分在电磁学中的应用物理学中有许许多多物理量，每个物理量都是为了定量描述某种物理现象和规律引入的，因此每个物理量都有明确的物理意义.物理学中物理量的同一种微分形式表示的物理意义是有差别的，注意区分这些物理量的物理意义，特别是有几种物理意义的，更需要注意区别，一般来讲，某个物理量的微分形式是和微小时间段或微小过程相关的，它表示的是一个微小变化量或微小过程量.若其微分形式是在某一时刻和其他微小量相关的，则表示一个微小量.例1如图6所示,通有电流为的长直导线附近有一三角形单匝线圈,线圈向右以匀速率运动,求当线圈在图示位置时,线圈内产生的感应电动势。图6图6解由电磁感应定律（30）可知,要计算感应电动势,需要求出在该位置时穿过此线圈的磁通量,为求此磁通量,在线圈中选取一小面积元,穿过此面积元的磁通量为（31）由于此时计算的磁通量就是在图示位置上的,虽然都为变量,但在很短的一瞬间，都可视为不变,这时对（31）式积分,有（32）将（32）式代入（30）式,注意到。有