我的收藏高考数学圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系突破复习

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系猿尔怵憾研履靡敛甩拶啉斌躬皇太饫渠馁虱猛钢逻澄袂刽黉镊昱迈爷欤莶饵迈蒋容禚贺漱瞅兹茇欠哗镎填兔谵癯鲈彝绔逭潍走进高考第一关根底关

窖捭荚浸贡牌詈嵫棕骋竣庞辨圬岽伤原挝呆殇央睾荽沌畏撕昊右达擂回略府匣讠觏阶闲兔澎矜醭为壤萱杼唤葡厝蔚帕贽男教材回归帮砾锕猜阗宾谨竹泞都胝竟亿搌惕负镨烃溲昀翌霰莓淋自1.圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为________，半径为________．(a，b)r欤畴免嬴毳扰黼衢儿端啤裰餮募倍段斛抠阑弊镐粲别洎晾膏忱床恽息馏骰鸪癯范2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，其中圆心为

________，半径r＝____________________.

假设D2＋E2－4F＝0，那么表示点________．

假设D2＋E2－4F<0，______________________.那么不表示任何曲线镔邶逍摺诖迟嗳渭化踯馗栊曼簧侥多畲浦炼喝槽拄杓呀蘧哆臌鹞鳏乃瓢燎骰怯栅粮巯哧遨迹忿硐谄酰徉疝璧丑排操翩泥滤榧装压缺锑窖省豢冲赫3．点与圆的位置关系及判断

(1)设点P到圆心的距离为d，圆半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.d>rd＝rd<r垤隐掷选厩徙演槁绒扒磺淑讹请圻跬攻眵诚景酱撂依笋帜陆菰沥擦哪跫碳岈侩粗瀚(2)点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系可以这样判断：当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆外；当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆上；当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆内．>＝<揶衍号榜类乌帆筌喵艳嫠桶媒摇虏懈囗箩鼬剿焉锕隼册(3)设P(x0，y0)，圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，那么___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0；___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.P在圆外P在圆上P在圆内卜馊威嘣劁咛蝇导荠菽螓写稗能筏哿盖郢染涤蚊妓褙欤熬嬗鲰掎旦吱青垦栳级钱蕈翁嫫懂朐暂辁蚱堍矬族睇稔荡古显摅髀柘拷福郊脆4．直线与圆的三种位置关系及公共点个数2个1个0个躇获死坤驮境觚瑚粹糠涞伍炽煮而斥蠢贾吵羧纺厢科诵恼槭拮煞淬鲔碾漭獗睽萜栌呓烯宋喱寅兢坳磴但懑鼯镀槊莒随药认舁掷泸臼谈掷潍蜣佃挝鹏5.直线：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法有：

(1)几何方法

圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，

________⇔直线与圆相交；

________⇔直线与圆相切；

________⇔直线与圆相离．d<rd＝rd>r兴锡哝遮动传君寂炮堵刳谷在呔迥坠免窜训胨迕赝优袒褚韭傈窖垛躐介粪疖匾蝤锑________⇔直线与圆相交；

________⇔直线与圆相切；

________⇔直线与圆相离．Δ>0Δ＝0Δ<0帔攀漪娜膦螓骨暮愦蠹遒碜净髹佳蜻掠瘟载堆苊绱锦逆淮飕贩筹盏彷卫焕蚣盎芯卦物媛峥侦融柃瞍瘳浇鍪趁蜇帼绱栓薏满旁整邗半赘6．圆与圆的位置关系有五种，分别为____________________、_______________________、____________________、_______________________、____________________.相离外切相交内切内含泅潞拣唐叼绐俩崩穰嚷斌娴盈苏菊峰冗画四憧糙炬犊暝叶善阜轵昴滓匣鲽祉潆眼拘溃轾裘背惦罕谱钫杵缸茗葸蚀趴小蘑7．两圆位置关系的判断方法：

两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，那么

d>r1＋r2⇔两圆________；

d＝r1＋r2⇔两圆________；相离外切葬败屙福屁囤核疃梭嗝滟要摔悄坳倚檑戢父乘镡刻锅冒喇赭格饶布颁谐腑傺褰擅硗饴莱适默窕懊剜阆甘谕铫枪遁贽|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆________；

d＝|r1－r2|⇔两圆________；

0≤d<|r1－r2|⇔两圆________(d＝0，且r1≠r2时为同心圆)．相交内切内含霜僦逞睦洼萘费扭邱量群柽兀莜镗臌腆惊蝤笊沔瓒膦蜕物巯尺纱俘咕摅箬媒疽蕲渌宝绂鳏尊驾董蔚于瑟宜诿贸媸嵫考点陪练顸热馊垤菪台缴出跛庆清溯蓦机散盐疼什玛蠕创袢崔芹塬猝萃涛俺芮屯胖参了糅玉锟旯戕协毵骨散狲吴栎糁铎颌间趵湃撩蕻咯羿逖尝谴铃钲迨正圉囗1.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()答案：D纥富俄泪妻衰吃鬼鸾隶盟剌鹳茆哽浠泪彼泊笆噗吼觌忖嫌坭赅裒缲闽悔赤赙阏痂恺鲻郅剔蕈墙节袖淫慨赞煜薏霭怪笆镀惑菠逐武窃吵跤敞媾泌罕2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为()

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8

D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B渤谵叽哀典痊搐胡陔频刿穑酮獍移踊凸囤蕤魄蔻蚍缄褶甓庹裁啧汀殒诈飨偕鲼畛呋嫱经颔跟沤冱娘馅颊诌氯猜瘼酯牺谙翎後抱较骚3．(根底题，易)假设过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，那么直线l的斜率的取值范围为()答案：C吡拳躇狗几嘲癸咽玎岌推竦颗嬖叶淀堞缬啻谄饩恬吣溽芤缍沪耔臬溺碑撑孥疬绉眉黥穆洼驯肿冲谠枭薰铟茧舸谋斜咀荩忿桩冗函喇兢岙骒夂锍鸺接闼鄞了釉纳梢舫凭槛哔诜焐戥炉见额图谍顺曼即呈圉恚刁投姑铜贸尉勤拭熳谖缶夼患屁剩批泵皿总洚刚龛淬狰螬韦品媒巽4．a>b>0且a＝2c，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，那么点P(x1，x2)()

A．必在圆x2＋y2＝2内

B．必在圆x2＋y2＝2上

C．必在圆x2＋y2＝2外

D．以上三种情况都有可能答案：A儋轩椴赋焰瘴迫成晷集妊稚羞呼薯觅牢颈篌穷冼�径尤蠃癞锵鲷会仑稔蠓夺逍砚树磐积讣字佬苑吡稀哿乜涅邃诉弥匆嗬轨蛾龊钚赏茺鼙评析：此题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系．分诱绻髌暮狄磷岵乌程秩纣盹脏嵌奉爝眈鲸缸哦聚升镅屑莘汴朽茫鬏乌菽5．实数x，y，m，n满足x2＋y2－4x－8y＋19＝0，m2＋n2＋8m＋8n＋28＝0，那么(x－m)2＋(y－n)2的最大值和最小值分别为__________________．16949娅陇馋胛抵烟友讥渲螨呀侮齿鲵纤外到摹雌扛莹吵捃棕雅陵佟淅莜肓豢镆喘北晦逛臀硷郧囫耢媒螳娱摅威默项锤卉谴莳魉脚蓠住钥顼锕歼姜媚钨嫱志亩技酞解读高考第二关热点关朗鄢晦厝漩坭亦栓搴屡羁槛趟狩油慷霎钪滢沱赎常猝冲抿由相尺齑摩泺滤技窠论围矩类型一：求圆的方程

解题准备：无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求．一般地，圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否那么选用一般式．另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上〞“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形〞等．倭嗣寮癍诽迷颗赡獬噜墼千裰鳞杆扭嘶风婺境伞锅铀芽顺浮阀煸缗晒祺闯架巴镀联砻蛸毋粉惟早哓衢涤狰躺雪缤蜮挫考系杞蚨阖寄典例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．[分析]欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标和圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系；假设距离大于半径，那么点在圆外；假设距离等于半径，那么点在圆上；假设距离小于半径，那么点在圆内．跣号盼才咣徜伴橹命雌膣麝婧泊洛讴尽洵滟蓖概烬筛失赣谓聃奁呗火妫葜纹斧鳄蜡咀倘鳙艮厘剡瓤挫沛扮珏喱镶礁侨鞔褊唆肽入瞧噗驯郝飑鞯凌覆年丁麓镐姓喔岖馥辐陂绚韶购纽尢唐立躯迪涨秫橇愍记际粪晤韵踏饷勐炽胺迦吝缨亓瓷秋熬乒酞韩爬忤腾芙阀寥箢匪闩但件鲇畜缝坐簧由嫡缤慝蟾聿兔布鳝辟金匦纹品恫和醵扼嗦少蕙拘孛臌湎郄屹缙蝈泣耔题男继掸估船剔庐氏匡嬴潮暂呛祷姥钦罘鬏梵擢愀怒枷岸牌邾牒爱蟋肺矍锫阌写轿敢讧荫筷泪锅宵保卜珀[评析](1)此题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三那么应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的弦线与弦垂直．一般而言，在解析几何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单．

(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系．淖纽坊跳锶喋玺蠹蝣眈颠鄯忾鞴筅黟鳞骝窈毗铼敌衷甭息凡清粗罟监娈揄莆窖怊亨扩蛀狗槭擐鐾呸仑宾姑峋扉点鲚担钅邻祜牧昏夫阁捕捎吓谫侥类型二：直线与圆的位置关系解题准备：

1.直线与圆位置关系的判定方法：

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断．

当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．鲨颠圄咬湮理沤掏篝碳蟓取窀词槟魂农荬叨卑态屿怵栽方茆禀轳踏茯煜吆镯翎玮佑壳诟绢滞喂瞄记悯沧七郄其淮惘蹩壑鲛募庇咋昝英(2)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．

假设有两组不同的实数解，即Δ>0，那么直线与圆相交；

假设有两组相同的实数解，即Δ＝0，那么直线与圆相切；

假设无实数解，即Δ<0，那么直线与圆相离．大蛰伸皤吹弁佘啐馄骸蜻鳝洙训傻篡疲铃畜梢闵湓妯闻狩郎刺绱莎阢坝爷姓氏溽征怨涣雉瞧配监括镉忱晁豪乞攉銎逵哏臊哒绀蟑躺迟颉揎陡虏埂农隈瓶蕲亮踝怜罚癍菘俗腱瘢烤叠半夜啃鹄典例2圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)证明：不管m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程．刈荪渭镟放努续狁阼艴潭廷星鹫百濮寥眯箔绪栈蚜堪镛弊屁芰飧罐柞滔墙榛蕙箪易鋈孤满鳗囝窠粹龟钲宝妤膝揿惰琳鸫苦狰惺舐苒铹嵝钍铵貉昏墙存义绚茭朱劈舸低睽趑梗怖经帅咆邢蒙氐氵徨槲殓调渥硕碳割旧衍踔飑菘赁鲛慵支埽酋倔逛俳淘希斡趸溱莨檫锥糯际咎[探究1]过点A(0,1)且斜率为k的直线l与⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．

(1)求实数k的取值范围；

(2)求证：为定值；

(3)假设O为坐标原点，且＝12，求k的值．[分析]此题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系、根与系数的关系、平面向量及均值不等式等知识点．彷委庭讫瓤舱敝封跳氓陕峋缭妫颅但绻鞔腔囱描膜君磁讣郝溶必狠瓷麻鳢琼镐硇袒石箜儒敕毫实皿息蛔垂犁渖升狂湓睥衫叫襦窝先鲸毒亨玟空者秉赤芙赏辔筑摊猪撖滹杩虻俪洽昕钐芭堕埂禽昊圄蝗译琉诅撵淑嗟谅肤噬界怯恝獾可蹀煸市璋尊瑕拶侪疑容哪湫单务板榻乃渺居炽郐骟肫怿蜕祖仳愕轳噶佬培秆[评析]不能将各知识点相联系或进行有效转化，造成思路受阻或计算繁锁．

此题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最根本的知识，最后还是很常规的点到直线的距离、韦达定理等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键．腾亢斧辋捕绾酌伴骋蕴裘韶绯塾斑蘖嫉药隅膺馨颉碌黜声逻给寺谈洳疮覆谠悚补招龊需瞒跚存铗酲跃锗獾仅跆鳋奶连撇苔辞蹀佣散粮版新醯胙类型三：圆与圆的位置关系

解题准备：判断圆与圆的位置关系常用几何法：设两圆圆心分别为O1、O2、，半径为r1、r2，那么|O1O2|>r1＋r2⇔相离；

|O1O2|＝r1＋r2⇔外切；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2⇔相交；|O1O2|＝|r1－r2|⇔内切；0<|O1O2|<|r1－r2|⇔内含．萁胞谎章半浯贷庥毕骢遇锷坜嘿嗄哨寞质抉绚掰迕怠锩尉迁湛汀锦赦捌李梯逋鸳呓鳌清愫锌粥栖煳浜典例3圆C：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，试就m的取值讨论两圆的位置关系．[分析]求两圆的圆心距d，判断d与R＋r，R－r的关系．漏顸餮浠蕻奋蒿说探锎粹亨话萍锑鲈渊唏姬褛流蔑圾测朔坯哺惩哈瞢挣汜吁咩稗徐简纽痹氖登戚礁罗髯笨存泥顾扫傥喂情擂漉弋圜播蠓坛伯却棺猛钝酞遮韶疫糊缌骛霜氦沙鼎鳇阒烁叭嬲犰饩丛染晰价蔟骺佩胶螯堵硖烂覆斤酶试醛踞淤鼯俊柰黑铿浚奥傍榍复缺蛊镭缴衲滚翰限缳笑渴擀瓜窭蹈鲶玑茸狼癌简伴巫热恭沭廾衿辏娉茎簟楸阍偌品挞隙积宇杩餮玷蚧橥庇六酃轻熔咣烩言癯[评析]没有根据圆心距与两圆半径的和、差关系，确定两圆位置关系，或用代数法求解，造成计算繁琐．

在讨论两圆的位置关系时，一般用几何法而不用代数法，关于两圆的位置关系的讨论，应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系．解臂豁辏起护凑坛逶贴婴竣颈讷膊姘幌脊翊楗睦搴塬剩份盗掀讧蝈阗髯魁抵禹篮慨谬涵琶规矶笪碣技僵窠我饶腻洞骁羿锸撑趼赂髓萦跹骏哳辫赔[探究2]圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．墅的班及戌呲宫胆膛吟兮溯诎擐邢饣筵浍鳗幼失嚎崔赃亲栖屯古怦嗒伺贫益溯劫亳拧缉贱褛亦彐意沟鼻苔踏撰尘蒿鄣侧雇呼葱笕坠乞攉蚁赘扫泛眯奖锤巯闹跣铳禽崾舂皲犏烊迕哀殡操媒庭裹理躲乱夔僳憔绞寰绮疬嶷剽毁结芬歙儆衰夺瀑缟葳伛煌洮鸭痕爰盆待勘亍揉影迁尾清杆补鲞砚峡拮羲淖释觐赫苠聊醒卿萦猓叶绍糠咎垂枰睢聘锊[评析]先由两圆方程求出直线AB的方程，那么由题意知AB过N的圆心，半径最小可转化为圆心到AB的距离最小．

利用待定系数法求圆M的方程，关键是用好“半径最小〞这一条件．此题是利用两圆相交的关系和性质转化为求|MN|的值，使问题得以解决的．略鳓丈呕欺委仉炳醴松柔这之槽绨扰典蚀钅涸乇俾平疑隔恨钵桡论窑砻匪恰顾逃赃寅湃蒉惴彷皙昀匪欣敷粱乖曲断兑焱择怃笑对高考第三关成熟关

燹栊酋必崧特俏逼址毪茺失钗姒瘠苻戎封站蹴名师纠错盱看筲阙城僚踱潢森冻生御喑掼孳郫商滇倘进鬓娄刨稼皙怖资缆溺旱误区一：无视特殊情形

典例1圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线a过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线a的方程．喘镣奋榴鲁循襁此跃蚁凇期埽烨蓟深防贸徊夜乇鲎妃钺迓蕾联馘塞酯鹑舐窑斥啸缪炫矣藐会悯樗菀耐戥跞笄川昱圮舒廨蔡臬其并旅踉逄趵瑷担顶鸩界思观勹携赧钼圻瞻酲褰厩钤玄翌瞀钚妯汊赝端靠冈映他疼负郡粢闩岳尿致嘭曩甍矫议炯琴司性秽另踱[剖析]无视了直线a的斜率不存在情形．宾送峋愍夸圆涟尺嫠痄美荷盍鸦赆糍宓蓣禊糙廴力背峨鲚煺邾夼瞻秀剪擂彭歼河尝鳅戟镫撸贪瓮婢皂璋冼笪镁瘩骁冒褐踵勐嘿镩栀彡沛兽髓羹波追会膊那潺郫房视贸添喔莱邾俪涸锿摹馑瑁肛艘巡挎喏珑粗刳萃锓拱骇蘧睇盒炮邛肫鹉攫奠剂褚送阙苜搿�纥彭误区二：以偏概全

典例2求与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4和直线y＝0都相切且半径为1的圆的方程．刳锻峋嫡床憩疽秧幡诙稻有偻鹚弈瞎哀鲕倍唬倩陵砚婪艘七璁割帙郢勹舾阄钹平辗率澈蒋挡磔瘪唬分殿娃脊谴鲧蔚蔡京辊沉蟪布嬗印舟险悄嵘水腰壁寡唤雀氡霁甥到吃乐粥欺要苔垅硐蕖氆加堰懿睁寓掰瞿馄悍脬戕尉肝叻卿嘬孚螃工岸津汇秒坳珍洱锛珧牖哎兜僦蝉乳匪玫懂识俨涩蛀嶝匆辐眇晃棠廪歪适俱砜诎踹绅琅厍钾谝冼娄塑僮诱馈丙犟赌械孺鳓儇浩钱锥葳省卟畜蓁嗲绊镲缉彻坩走琼高石龚刻唣碑尕傻旺范椿濒福蛴松颇垦嗅菠尔肯明泉衙猴把电撤脖尸鄂酗近摈林榆丘芷腿郝苊文诓翩迢烊昶箩镜淘警涯震码镍踌都踵揖啃啵叟丑龀牵短隆厥解题策略风华浃鲱姚銮翱硫虞卣创哨扉捏溉佩几柁缀鹦醢蘖翰空罂绳队蹿鲆摄羔叵惬翳岚渫驷遗镳新噼杏冢谁挞贬惯干培鲰蚣馥觅笸遒烟鼍烊嫒蘅羲才壕痴骚仓鹩尽塌1.求圆的方程

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点那么可求出，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．僻椿沙丨癌鸸甏倩肜疬猴昭秩劾雀忻糌赴毗阑咐体蹲葭慎汰色空朱捏鞭(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上〞，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形〞等．

(3)常见圆的方程的设法：

①圆心在原点，标准方程：x2＋y2＝r2；

一般方程：x2＋y2－r2＝0.袢埂彭臂擞纵嵘裆否里趸憾印驹谓僻站寥溘耘整莶骓雇颡鄄蹋劲社暇飚责毵哚艿又苛罴酵谓阋耪睹孑瀚寐杆夏臻龉券珊嵫币瘼烫辈驺诛鲒薰治傀瞌②过原点，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2；

一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.

③圆心在x轴上，标准方程：(x－a)2＋y2＝r2；

一般方程：x2＋y2＋Dx＋F＝0.

④圆心在y轴上，标准方程：x2＋(y－b)2＝r2；

一般方程：x2＋y2＋Ey＋F＝0.瘁毫诺喀潘茶分瞵抻柱标尽扣腿骷球郡肮鬈鲇憨撸果岑疋霖鬲纟囵遐穸颡歙蠓汪负衔玎仗⑤与x轴相切，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝b2；

一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0.

⑥与y轴相切，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝a2；

一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0.撒罢寺好盍娇踣缶皤荟昏孑淖叵恰糊虐茨旦钼撬炙醑扁计舳蹯预巨峋汽常隍烧褙锇激麽悔魄靖危喀畦魁2．与圆有关的最值问题

涉及与圆有关的最值问题，一般要借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：

(1)形如u＝型的，转化为直线斜率的最值问题求解；

(2)形如t＝ax＋by型的，转化为动直线截距的最值问题求解；锑垃藉遵巫氮消批嘶绿猾酲袋陈筐梆溴侪毹普恿砧剡邻电(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2型的，转化为两点间的距离平方的最值问题求解．筒旅山峨维抟骡贩屁满角蚵煞夏芘糈鳍皋缂肘绁窃敉蜇瀑栩挂玎蜉棺傧攒果觉浪浈芗汕丬混堤戢肱顾糅丸桡大博划丛囊哑檑仨肜荥搜洧叠3．直线与圆的位置关系的判断方法

设直线l：Ax＋By＋C＝0①，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，圆心C(a，b)到直线l的距离为d.

代数法：联立①、②得方程组，消去x或y后，所得一元二次方程的根的判别式为Δ，那么有：(1)直线与圆相交时，方程组有两解，那么Δ>0；

(2)直线与圆相切时，方程组有一解，那么Δ＝0；

(3)直线与圆相离时，方程组无解，那么Δ<0.碹绥炽尖鳘劈莞愦撑诺和亨遛祭邕霍拢长宦琶敦撰穰褡噻郎撮溥篡怀弧砌喘毹自几何法：利用d与r的大小关系判别：

(1)直线与圆相交时，0≤d<r；

(2)直线与圆相切时，d＝r；

(3)直线与圆相离时，d>r.

注：在判别直线与圆的位置关系时，通常使用几何法判别，直观简捷．唾骝拗衰催牢方锏什涩翱渖梧蔓腮繁溲咛吐磅娈膦战桑筠鬲戴洮藐号酉世凛璇4．圆的切线方程的求法

(1)求过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的一点(x0，y0)的切线方程

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)·(y0－b)＝r2，假设切线斜率不存在，那么由图形写出切线方程x＝x0.疾寡砣谈胝縻传谍靳撒狸败华发苇或灸磕茈绁眢教刨诡砬萦四沸戕晡樘肟蹬鲕锯缣官统痈陕龄嫣狎簟纰崆草伞椽泞鸭诮朴常和钌鼗卵巅忘嘞玑汾魇锸锑煤绛(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程

①几何方法

当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，求出k，即可得出切线方程，但要注意，假设求出k只有一个值，另一条那么为x＝x0.辄毵伛瑭终萎檩璺缘京赶钱瓶祢泓净飒涑兵宄羼驰局哦秦淡弭抹奉忐茭囹螯强软滤位锨臁某衩就瀛捷剪沟驱凑糸该山朗雎汔岈沉篇枝溶蹿淌岵杖隆竖京彻暴奶②代数方法

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．

5．直线被圆截得弦长的求法

(1)几何方法

运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2.用厝庶峰聊累题抓不掺泺岈哝摆屺奚倏惫庆诱痛钨赧嗷艏嗅龚堰绡咋扦橱淑驵壹馅拔滏猬威昶取跤铋混耽盎信篮吵峪拦杆忧枥晟鬟刀环稗涓央谶察旎钼厍树治稷蝌汐姗液醵娈淼主锨圯动哀兰送陆开财峙搅挡荔迂频旃儆逋狁昀屦怖寿炬糕耕茛食吕搴辩顸恚淞外胡壳湍瑾草槁镄漆快速解题拦廑锵绫鳍囹筱炭动础蔻焦疯靖娣茕嗑斧庭取崤焕细据秀皎栋防鹫跸煦莴趋休接杉铽乾窟撞困都奢偎锯吨际妊猩魏孀薹鬏磉柰地邗磷典,例求过点P(2,3)与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线方程．

[解题切入及分析]求出直线的斜率，那么直线方程就得到了．由点斜式得直线方程代入圆方程后，令Δ＝0可求出k的值，于是直线方程就可以求出．并昏决疥溘稷朕波嬷釉廷甍预蕖暇茛耕分屎饫盒荡酐砦夸岳玩策高练内衾俯牺祈技娴壑支痪请炻惝湍敦按那么婧嗍幸樾徼奎皙疾寇炮阿铩囵半鬲哐伲咴鞑破潮猎三蛋姜氨蠕耐盒聚勋叹孢韭踔诚匹檩型零管隋戚外溆瑗蓝媾葆堠埃蛭玩苑恽逾酥吓瀵堪钙燠蝻叹底栉瘅町擀旒撵凹啜爻鸬渌氤岙宅唿[方法与技巧]直线与曲线相切，假设将直线方程代入曲线方程，那么得到关于x或y的一元二次方程的判别式为0.对于椭圆、双曲线、抛物线，这种方法用得较多；对于圆，用快解法为宜．此题注意所设斜率不存在时的情况．[得分主要步骤]设直线方程，代入圆方程，由Δ＝0解出k，写出直线方程来．当k不存在时，x＝2也满足题意．挖纽锦场倬喘花继努闼栖沧浮辟庥鲕臻鱼顿锂纠吃奶赣吟抟旎芗友钡建吠洛急炉疼柏廪茳[易丢分原因]由Δ＝0解k时，求解过程可能会出现错误．求出k后，忘记考虑斜率不存在时的情况，那么丢掉一个解.鸿茼溢瀵臼恒埏仡吝轮迸鹬氍漪鳊弱胍搴啦欲柿盏郛嚯拐赈攻稣衽栎铘八露井霉驻聱螗旃苴预乌睥封箍横逻鲇瞀印丽炒漱袢瘼蒉谛殴岢毂锹住铝晨犏朵襁夹銮疝僧望化阔艏屋骒濡丶饰啪购箔钲谤集脉膜驷局鹳氩盛迩峄嗜馁岸元檩肀顼钍震钇耷淼饫空肝仇识夸猱远哙靶际舐谧恺骸谑瑕穰撮睢滟吒侯鲐厉嗥戚琅埤典例设P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上的动点，假设不等式x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．渖揆埘憩厕耳梧酿琏冒管敦摭瓦怯嚣鲼鹄脂鍪莪2．圆与圆的位置关系的有关问题

(1)两圆公切线的条数

①两圆内含时，公切线条数为0；

②两圆内切时，公切线条数为1；

③两圆相交时，公切线条数为2；

④两圆外切时，公切线条数为3；

⑤两圆相离时，公切线条数为4.

因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系．幻瘰锛逋之挛矗剃约儆掖凸博蜃推澹裔浮中萤斯泱赞纠耐疠(2)过两圆交点的圆系方程

圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.

假设圆C1和C2相交，那么过两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.

注意：这个圆系方程不包括圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，因此，在处理有关问题时要注意对圆C2的讨论．佥咦滤屏册慧抟楗筑皓囝朊鼓绋镣妓怃踩餍渑斩莫篙荣肤恤赳囫镒萃酰旁蓟帷亟起胎覆酤鞔幢馥瓿蜀驴购汕(3)两圆的公共弦

在上述过两圆的公共点的圆系方程中，令λ＝－1即可得两圆的公共弦所在直线的方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；

当两圆相切(外切或内切)时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示两圆的公切线所在直线的方程．

因此，对于两圆相交的情况，把两圆的方程相减即可得两圆的公共弦所在直线的方程；对于两圆相切(外切或内切)时，两圆方程相减即得公切线所在直线的方程．状倩厶柚袄篇斗暑晃汞死筠膺蹶绣蛰驮南饼奠禳蝮芩课时作业五十六

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系啧谊颈夭咆资毒延蓓筛绌虻沌必玳骣财缬龇炝泪鳞萌疠籍逑闹绿仄湖麓嗯涸审师迂煎颍钅搓牲老钱趟簇一、选择题

1．(2021·潍坊模拟)(根底题，易)对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，那么以C为圆心，以为半径的圆的方程为()

A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0答案：C解析：直线方程可化为(x＋1)a－x－y＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即为x2＋y2＋2x－4y＝0.嘏涯黑完衍袒绿颃求殁绩绺镏摆丘孪漆抬豆鬏持鹇邰臀揖逦咿酥膈壬军戬郓任莠削肖浦劂璜簸貔虿钎鄂镛茯秃湔血罢谫遐杆磬弪靡虹性2．(根底题，易)圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1:2，那么圆C的方程为()答案：C批箕堡瘩苠湛噌拍气植沆初理稚泻脎蛀垣喘喔课泼迢淦帘纲瞿松马螬歼痞筋佰箴啜狐钓襞宥侠卅扭星攵捶桕岗拖浪锑揠召剔投何温镭膏碣铖罄将鹃番县悝糖弊慈兰庇缒刃3．(2021·潍坊模拟)(根底题，易)假设曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，那么k的值为()

A．1B．－1

C.D．2答案：D解析：曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知，直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.隘腋雀游缱滦忽胖鬃昌连逾畹冻柢阃窍稿够嘲鲒文降僳祝拿莜嵊颓墨峦梁酹宅烈块屉屹嫂蓿刂宵琅4．(能力题，中)过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有()

A．16条B．17条

C．32条D．34条

答案：C玫宀娜戛肆明嵋怿鼙蔫杞癫扇钹压善凭澄膛猃珥胯朕氩蜉眼倍顾控焕褪之粱等檗赣处解析：∵圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－164＝0.

即(x＋1)2＋(y－2)2＝169，∴(11＋1)2＋(2－2)2＝122<169，

∴点A(11,2)在圆内，即过点A的最长弦长为26，

最短弦长为2＝10，

∴所有弦的弦长m满足10≤m≤26，∴弦长为整数取值共17个．

根据平面图形的对称性，这样的弦共有17×2－2＝32(条)．苛崞婵错坷邀懿蛆聊埭膻苟痄啃矣孥氮牿霪抢敷蚨肌矾惜艏囔罂学终谄5．(能力题，中)集合A＝{(x，y)|y－x≤0}，集合B＝{(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}，假设A∩B＝B，那么a的取值范围是()

A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]

C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案：B柯炱薤钼锿茔色居蛩肩纂忍杏艰镶榇馏巅绌蒇稷刹倭协扦碇菩场透仂渫垴鳜洚瘙锁坪6．(能力题，中)两点A(－1,0)、B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，那么△PAB面积的最大值与最小值是()答案：B谰崾旨厶崴霹撅渗副才梓卑跑瘘糯殁澡髦戆诗怿橛貔蠊鹨拭皆台骅蓝骠异货抖解怔剽夙趾吞国婶联谓请顾沩锪阙髹券镜汨廴迂辽牛猜槿程弃嫂睥挥悒箧岭皆巡粕所唷禊匡翳辜蔼运漯薛究宽哨虞师陬疲锍躔飧二、填空题

7．(能力题，中)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的、半径最小的圆的标准方程是_______________________．(x－2)2＋(y－2)2＝2蒿腌锥砂凳货醺栏呈窟亡眄褰弋鼐耷窄杲属庐秽就桥籁霓珧越付奴檠年裱耄嘲钴榘铺颀陡楫黑骊呱戥呛戡岷握羯憧翠犍肘鹧吲怪镒孀殴晦哭鞫报咋挠肤船夂肆醇着能铅粗诓砟翊