二面角的求解方法课件

二面角大小的求解方法河南省淮阳中学孙博二面角大小的求解方法河南省淮阳中学孙博河南省淮阳中学探究准备：1、二面角的概念二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；竖立式横卧式河南省淮阳中学探究准备：1、二面角的概念二面角是指从一条直线河南省淮阳中学探究准备：2.二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

二面角的大小范围：

[00，1800];o

河南省淮阳中学探究准备：2.二面角的平面角的概念，二面角的大河南省淮阳中学注意：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内lOABAOB(1)(2)河南省淮阳中学注意：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直河南省淮阳中学探究准备：2、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；oAB3、平面的法向量。平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）河南省淮阳中学探究准备：2、三垂线定理：平面内的一条直线，如河南省淮阳中学二面角大小的求解方法有哪些呢?o棱上一点双垂线法1.作出二面角的平面角求解，主要有3种方法：

（1）棱上一点双垂线法(定义法)：：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹的角；PAB空间一点垂面法（2）空间一点垂面法：作垂直于棱的一个平面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，这两条交线所成的角；探求新知:河南省淮阳中学二面角大小的求解方法有哪些呢?o棱上一点双垂线河南省淮阳中学A1B1C1ABC射影面积法

1.做二面角的平面角主要有3种方法：（3）面内一点三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为O，连接AO，则∠AOB即为该二面角的平面角。（4）射影面积法

oAB面内一点三垂线法二面角大小的求解方法有哪些呢?探求新知:这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好2.不需做出二面角的平面角主要有3种方法：河南省淮阳中学A1B1C1ABC射影面积法1.做二面角的河南省淮阳中学3.利用空间向量的方法，主要有2种思路：（2）分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小。

（1）通过求平面的法向量，求得二面角的两个半平面的法向量和，则所求二面角的大小为或

αβ相等αβ互补ABCD二面角大小的求解方法有哪些呢?探求新知:面的法向量夹角法两射线方向向量夹角法河南省淮阳中学3.利用空间向量的方法，主要有2种思路：（2）河南省淮阳中学例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC棱上一点双垂线法学以致用河南省淮阳中学例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点河南省淮阳中学例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠APB=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO学以致用：空间一点垂面法河南省淮阳中学例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α例3.（2012年新课标高考19题）学以致用例3.（2012年新课标高考19题）学以致用（2）解法一：（面内一点三垂线法）例3.（2012年新课标高考19题）学以致用评注：几何法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。

（2）解法一：（面内一点三垂线法）例3.（2012年新课标高（2）解法二：射影面积法

学以致用（2）解法二：射影面积法学以致用学以致用（2）解法三：平面的法向量夹角法

例3.（2012年新课标高考19题）xyz学以致用（2）解法三：平面的法向量夹角法例3.（2012学以致用（2）解法四：两射线方向向量夹角法例3.（2012年新课标高考19题）xyz评注：通过此例可以看出：利用作出二面角的平面角（即几何法）来构造三角形求二面角的大小，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系（即代数法），避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。学以致用（2）解法四：两射线方向向量夹角法例3.（2012年河南省淮阳中学二面角的几种主要常用的求法：1、棱上一点双垂线法。见例一；2、空间一点垂面法。见例一、例二；2、面内一点三垂线法。见例三的解法一；3、射影面积法。见例三的解法二；4、面的法向量夹角法。见例三的解法三；5、两射线方向向量夹角法。见例三的解法四。

这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系。本着“左右对称就地取材”的建系原则。2、视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面角的大小，我们要根据原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。河南省淮阳中学二面角的几种主要常用的求法：这几河南省淮阳中学一展身手要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。河南省淮阳中学一展身手要求：1、各人思考；2、小组讨论；河南省淮阳中学（2）解法一：（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学（2）解法一：（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学QP（2）解法二：（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学QP（2）解法二：（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学（2）解法三：射影面积法

河南省淮阳中学（2）解法三：射影面积法河南省淮阳中学yxz（2）解法四：面的法向量夹角法河南省淮阳中学yxz（2）解法四：面的法向量夹角法河南省淮阳中学yxz（2）解法五：两射线方向向量夹角法河南省淮阳中学yxz（2）解法五：两射线方向向量夹角法河南省淮阳中学2.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF一展身手河南省淮阳中学2.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,河南省淮阳中学A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。

∵F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,又∵∠DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,

故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。

显然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即为所求.

解法一：河南省淮阳中学A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交河南省淮阳中学A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥

底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；

同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,∴∠AEF=450，即为所求。河南省淮阳中学A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延河南省淮阳中学解法三：面的法向量夹角法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则⊥且⊥∴2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，，2）设所求二面角的平面角为θ，则COSθ==,所以所求二面角大小为450A1D1C1B1ABCDxyzF河南省淮阳中学解法三：面的法向量夹角法：建系如图：A1D1C河南省淮阳中学解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，△BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由