专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

-.z.专题：根本不等式根本不等式求最值利用根本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：〔1〕a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．〔2〕a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号．〔3〕a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系提醒了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，根本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】且，则的最小值为.练习：1．假设实数满足，且，则的最小值为．2.假设实数满足，则的最小值为．3.，且，则的最小值为.【典例2】*，y为正实数，则eq\F(4*,4*＋y)＋eq\F(y,*＋y)的最大值为．【典例3】假设正数、满足,则的最小值为__________.变式：1.假设,且满足,则的最大值为_________.2.设，，则的最小值为_______3.设，，则的最大值为_________4.正数，满足，则的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】正数满足，则的最小值为练习1．正数满足，则的最小值为.2.正数满足，则的最小值为．3．函数的图像经过点，如下列图所示，则的最小值为.4．己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．5.常数a，b和正变量*，y满足ab＝16，eq\f(a,*)＋eq\f(2b,y)＝eq\f(1,2).假设*＋2y的最小值为64，则ab＝________.6.正实数满足，则的最大值为．【题型三】代入消元法【典例5】〔苏州市2016届高三调研测试·14〕，，则的最小值为．练习1．设实数*，y满足*2＋2*y－1＝0，则*2＋y2的最小值是．2．正实数*，y满足，则*+y的最小值为．3．正实数满足，则的最小值为．4.假设，且，则使得取得最小值的实数=。5.设实数*、y满足*＋2*y－1＝0，则*＋y的取值范围是_________6.，且，，求的最大值为______【题型四】换元法【典例6】函数f(*)＝a*2＋*－b(a，b均为正数)，不等式f(*)＞0的解集记为P，集合Q＝{*|－2－t＜*＜－2＋t}．假设对于任意正数t，P∩Q≠，则eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是．2．正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．练习1．假设实数*，y满足2*2＋*y－y2＝1，则的最大值为．2．设是正实数,且,则的最小值是____.3..假设实数*，y满足2*2＋*y－y2＝1，则eq\f(*－2y,5*2－2*y＋2y2)的最大值为．eq\f(\r(2),4)4．假设实数满足，当取得最大值时，的值为.【题型五】判别式法【典例7】正实数*，y满足，则*y的取值范围为．练习1.假设正实数满足，则的最大值为．2.设，，则的最大值为________变式1．在平面直角坐标系中，设点，，，，假设不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是．【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、别离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1〕对恒成立2〕对恒成立别离变量法：假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1〕恒成立2〕恒成立确定主元法：如果把取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2．设二次函数〔为常数〕的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为．【题型六】别离参数法【典例8】*＞0，y＞0，假设不等式*3+y3≥k*y〔*+y〕恒成立，则实数