Lebesgue积分与Riemann积分的区别

Lebesgue积分与Riemann积分的区别Lebesgue积分与Riemann积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。Riemann积分是近代数学的核心，lebesgue积分是现代实变函数论的核心。在有界函数范围内，R积分存在以下缺陷。R积分与极限可交换的条件太严；积分运算不完全是微分运算的逆运算；不适宜于无界区间：R积分只能用来在有界区间内对函数进行积分；缺乏单调收敛。1积分的定义1.1L积分的定义定义1：设f(x)是EuRn(mE5)上的非负可测函数。定义f(x)是E上的Lebesgue<Jh(x)dx<Jh(x)dx>Jf(x)dx=积分E卄Jf(x》x5f()若E，则称f(x)在E上是Lebesgue可积的。()Jf+(x)dx设f(x)是EuRn上的可测函数，若积分Jf(x)dx=Jf+(x)dx-Jf-(x)dx有限值，则称eesuph(x)<f(x)IexgE,(x)是Rn上的非负可测简单函数，积分可以是；Jf-(x')dxE中至少有一个是E为f(x)在E式右端两个积分值结尾有限时，则称f(x)在E上Lebesgue可积的。上的Lebesgue积分；当上定义2：设E是一个Lebesgue可测集，mE5,f(x)是定义在E上的Lebesgue可测函数，又设f(x)是有界的，就是说是否存在l及卩,使得f(x)u(l，卩),在订中任取一分点组Dl=l<l<•••<l=卩记01n6(D)=max(l-1)1<k<nkk-1E=E(l<f(x)<l)kk-1k并任取:i£Ek(约定当Ek=°时，f(£)m£)=0),作和S(D)=》fG}n(E)ikk=1如果对任意的分法与:i的任意取法，当§(d)t0时，S(D)趋于有限的极限，贝V称

它为f(x)在E上关于勒贝格测度的积分，记作J=If(x)dxEi=1定义3:设f(x)是EuR(mE5)是的有界可测函数。作E的任意分割D：：=巴i=1其中E.为互不相交的非空可测子集。设B=supf(x),A=inff(x)TOC\o"1-5"\h\zii盯xeExeEi，i=工BmE,s=区AmE/■()则D的大和及小和为—If(x)dx=If(x)dx若E—I则D的大和及小和为—If(x)dx=If(x)dx若E—If(x)dxE=supsIf(xbxDDE=infSDD则称f(x)在E上是可积的，且称该共同值为f(x)在E上的Lebesgue积分，记为If(x')dxE。定义1定义L积分的方法称为逼近法，即从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法；定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，划分法类似于R积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上再给出L积分。1.2黎曼积分的定义定义1：S是函数/在闭区间［a,b］上的黎曼积分，当且仅当对于任意的£>0，都存在5>0，使得对于任意的取样分割专%J；11,…,I—1，只要它的子区间长度最大值九弐，就有：左f(t)(x—x)—sii+1ii=0也就是说，对于一个函数/，如果在闭区间［a,b］上，无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间［a,b］上的积分存在，并且定义为黎曼和的极限，则称函数f为黎曼可积的。该定义的缺陷缺乏可操作性，要检验所有的取样分割是很难的。定义2(达布积分)：设f(x)是定义［a,b］上的有界函数，任取一分点组Ta=x<x<x<・••<x=b012n

将区间［a,b］分成n部分，在每个小区间［x』叮上任取一点£,i=123,…。做和S=丫f(匚)(X-X)iii-1i二1令r=max(xi-xi-i),如果对任意的分发与q的任意取法，当r-0时，s趋于有限的极限，则称它f(x)在［a,b］上的黎曼积分，记为I=Rff(x)a定义3：S是函数f在闭区间［a,b］上的黎曼积分，当且仅当对于任意的£>0，都存在一个取样分割yo‘y「…'yn和so‘V…'sn，都有：艺f(s)(y-y)-s<£ii+1i如果有一个S满足了其中的一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值X<8的分割中任取一个。对于比其精细的分割，自取件长度最大值显然也会小于5，于是满足：艺f(s)(y-y)-s<£ii+1ii二01.3区别R积分是“竖"着分割区间［a,b］，而L积分是“横"着分割值域［L,M］。前者的优点是Ai=［x，-1，X」的度量容易给出，但当分法的细度恻充分小时，函数f(x)在Ai上的振幅5i=SUpf"-X-AifW仍可能较大；后者的优点是函数f(x)在Ek上的振5=supf(x)-inff(x)<5(D)幅k込門较小，但Ek一般不再是区间，而是可测集。其度量kkm也)的值一般不易给出。对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区别。对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类。另外，L积分理论是在测度理论的基础上建立的，测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形。而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于［a,b］上。这种差别是的Lebesgue积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。2Lebesgue积分与Riemann积分的计算符号约定：设f是［a,b］上的有界函数，V是非退化区间，记(V(V)=sup{f(x)IxeVc[a,b]}(V)=inf{f(x)|xeVc[a,b]}o=M(V)-m(V)

fo(x)=inf{o(V)IV是开区间，且xeV}fx9x9称戮(V)是/在Vn［a，b］上的振幅，戮(x)是/在x处的振幅。当函数/确定时,曹(V)与曹G)简记为®(V)与®(x)。几个定理：定理1：设/是定义在［a,b］上的函数，5>0，则(1)对任意x蟲加，/在点x连续当且仅当ro(x)=°；(2)集合人已［a，b］|®(x)、5｝是闭集。定理2：区间［a,b］上的有界函数f黎曼可积的充要条件是集合G［a，b］|w(x)、°〉的测度为0。定理3：若有界函数f在［a,b］上黎曼可积，则f在［a,b］上也是勒贝格可积，且积分值相等，即(R)Jbf(x')dx=Jf(x)a［a,b］定理2说明L积分是R积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L积分也是R反常积分的推广，但是一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。所以不能一味L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而L积分对于R积分来讲确实有着本质上的进步。Eg1:设兀］上函数f(x)=<sinxf(x)=<sinxxG[°,兀]\QxG[°,兀]cQ计算Jf(x)dx[°,兀解：因［°川CQ是零测集，故在［°，/上f(x)=sinxa.e.所以，f(x)dx=Jsinxdx所以，f(x)dx=Jsinxdx=1[°,兀][°,兀][°,兀]sinx,x>°x1,x=°f(x)=<Eg2：令则f(x)在[°,上的R反常积分收敛且sinx兀

dx=2(L)Jf+(x')dx=艺了「=+8[°,+8)“(2n+lb但是，n=°同理，(L人®f-(x味十。所以f(x)在S，+J上不是积分确定的，当然不然L可积。3.从极限理论上比较分析Lebesgue积分和Riemann积分的优缺点3.1Lebesgue测度与L积分控制收敛定理Lebesgue可测：Lebesgue测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义Lebesgue积分。可以赋予一个体积的集合被称为Lebesgue可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作HA)。一个值为g的Lebesgue测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是Lebesgue可测的。Lebesgue控制收敛定理：设(s，E，卩)为一个测度空间，匕)、0是一个实值的可测函数列。如果(f)逐点收敛于一个函数f，并存在一个Lebesgue可积函数g&口，使得对每个n>0，任意对每个n>0，任意xes，都有lfn(x)<g(x)|则：1.f也是Lebesgue可积的，feL；Jfd卩二Jlimfd卩二limJfd卩.ssnTgnnTgsn其中的g函数一般取为正值函数。函数列(f)n>0的逐点收敛和fn(x)<g(xM的性质可以减弱卩为几乎处处成立。3.2Lebesgue积分的优点在R积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件非常苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号。而L积分比R积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理而言，只须存在控制函数F(x)，使得f(x)<F(x)即可，因此在极限换序上L积分比R积分灵便得多。Eg:狄克莱函数P1xeQn[o,1]D=)0xeQc[0,1]把[0,1]上的有理点一次排列成：把[0,1]上的有理点一次排列成：r=r=12…作函数列申（x）=<1当x=申（x）=<1n0其余情况则申n（x）处处收敛于