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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.2.已知为等比数列,,,则()A.9 B.-9 C. D.3.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95444.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,5.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误6.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.7.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.8.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.9.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.16010.若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为()A. B. C. D.11.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H12.的展开式中的系数为()A.5 B.10 C.20 D.30二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为.14.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分,将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时,其底面棱长为________.15.数列的前项和为,则数列的前项和_____.16.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.18.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面积的最大值.20.(12分)已知.(1)若,求函数的单调区间;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,,,,恰为等比数列的前3项.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和为;若对均满足,求整数的最大值;(3)是否存在数列满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.2、C【解析】
根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴;当时,,∴.故选:C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.3、C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.4、A【解析】
依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.5、A【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.6、B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7、D【解析】
根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.8、B【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.9、A【解析】
求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.10、C【解析】
利用复数的除法,以及复数的基本概念求解即可.【详解】,又的实部与虚部相等,,解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数的概念运用.11、C【解析】
由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.12、C【解析】
由知,展开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知,,因为展开式的通项为,所以展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项,解决这类问题要注意通项公式应写准确,本题是一道基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20【解析】
根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组,每组14人,则1至14号为第一组,15至28号为第二组,29号至42号为第三组,43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号,所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.14、【解析】
根据题意,建立棱锥体积的函数,利用导数求函数的最大值即可.【详解】设底面边长为,则斜高为,即此四棱锥的高为,所以此四棱锥体积为,令,令,易知函数在时取得最大值.故此时底面棱长.故答案为:.【点睛】本题考查棱锥体积的求解,涉及利用导数研究体积最大值的问题,属综合中档题.15、【解析】
解:两式作差,得,经过检验得出数列的通项公式,进而求得的通项公式,裂项相消求和即可.【详解】解:两式作差,得化简得,检验:当n=1时,,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列;,,令故填:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,裂项相消求数列的前n项和,解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论,侧重考查运算能力.16、【解析】
注意平移是针对自变量x,所以,再利用整体换元法求值域(最值)即可.【详解】由已知,,,又,故,,所以的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题,涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用,是一道基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】
(1)设数列的公差为,由,得到,再结合题干所给数据得到公差,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;【详解】解:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,放缩法证明数列不等式,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)首先将曲线化为直角坐标方程,由点在圆外,则解得即可;(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,设、对应的参数分别为,列出韦达定理,由及在圆的上方,得,即即可解得;【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为.由点在圆外,得点的坐标为,结合,解得.故的取值范围是.(2)由直线的参数方程,得直线过点,倾斜角为,将直线的参数方程代入,并整理得,其中.设、对应的参数分别为,则,.由及在圆的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,结合,解得.故的值是.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程的几何意义的应用,属于中档题.19、(1);(2)【解析】
(1)根据正弦定理化简得到,故,得到答案.(2)计算,再利用面积公式计算得到答案.【详解】(1),则,即,故,,故.(2),故,故.当时等号成立.,故,,故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理,面积公式,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.20、(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】
(1)分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间.(2)分离出参数后,转化为函数的最值问题解决,注意函数定义域.【详解】(1)由得或①当时,由,得.由,得或此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.②当时,由,得由,得或此时的单调递减区间为,单调递增区间为和综上:当时,单调递减区间为,单调递增区间为和当时,的单调递减区间为,单调递增区间为和.(2)依题意,不等式恒成立等价于在上恒成立,可得,在上恒成立,设,则令,得,(舍)当时,;当时,当变化时,,变化情况如下表:10单调递增单调递减∴当时,取得最大值,,∴.∴的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题,属于中档题.21、(2),(2),的最大整数是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把这两个等式相减,化简得,公差为2,因为,,为等比数列,所以,化简计算得,,从而得到数列的通项公式,再计算出,,,从而可求出数列的通项公式;(2)令,化简计算得,从而可得数列是递增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值为,所以可得答案;(3)由题意可知,,即,这个可看成一个数列的前项和,再写出其前()项和,两式相减得,,利用同样的方法可得.【详解】解:(2)由题,当时,,即当时,①②①-②得,整理得,又因为各项均为正数的数列.故是从第二项的等差数列,公差为2.又恰为等比数列的前3项,故,解得.又,故,因为也成立.故是以为首项,2为公差的等差数列.故.即2,4,8恰为等比数列的前3项,故是以
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