安徽中考数学专题复习二：几何图形动点问题课件

专题二：几何图形动点问题专题二：几何图形动点问题专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综合题考查线段最值问题．专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线m外一点，求点A到直线m的最短距离.【解决思路】过点A作AP⊥m，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长.类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值类型一最值问题一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是边BC上一动点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP，则PM的最小值是(

)例题图A.B.C.D.A例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，如解图，∵点M为EF的中点，∴连接AP必过点M，且AP＝EF＝2PM，∴当AP最小时，PM取得最小值，根据直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最短，PM取得最小值．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝5，S△ABC＝

AB·AC＝

BC·AP，解得AP＝

，∴PM的最小值为.例题解图【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动点＋两定点)类型1异侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l

于点P，点P即为所求．二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为(

)A.B.C.D.2例1题图例1题解图【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与F′重合时，此时EF＋CF有最小值，且最小值为线段CE的长．∵AB＝4，AE＝2，由等边三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝＝＝2.即EF＋CF的最小值为.B例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决．可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(

)A.B.C.D.例2题图例2题解图【解析】如解图，易知点B与点D关于AC对称，当点P在AC与BE的交点时，PD＋PE取得最小值，∵PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，∵正方形ABCD面积为12，∴AB＝＝

，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝

，即PD＋PE的最小值为.B例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为(

)A.B.C.D.3例3题图A【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P′，∵PM－PO≤MO，当P与P′重合时，此时PM－PO有最大值，且最大值为MO的长度，过点M作MN⊥BC于点N，在△AOM和△COP′中，∠AOM＝∠COP′，OA＝OC，∠OAM＝∠OCP′，∴△AOM≌△COP′，∴OM＝OP′＝

MP′，∴CP′＝AM＝4－1＝3，BP′＝1，∴P′N＝4－1－1＝2，∴MP′＝＝，∴OM＝

MP′＝.∴PM－PO的最大值为.例3题解图例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，例4

(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________．例4题图2例4题解图【解析】如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB和CB关于对角线BD对称，作点M关于BD对称的点M′，则点M′在AB上，连接PM′、M′N，根据对称可得BM′＝BM＝6，又∵AB＝8，∴AC＝＝8，AM′＝2，AN＝

AO＝×AC＝2，∵cos∠M′AN＝cos45°＝＝，∴∠AM′N＝90°，∴M′N＝AM′＝2，∵PM－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，∴PM－PN的最大值为2.例4(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，A模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠A例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为(

)A.4

B.5

C.6

D.7例5题图C例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CM、OC、DN、OD，∵点P关于OA的对称点为C，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝CM＋DN＋MN，连接CD分别交OA，OB于点M′，N′，∵CM＋DN＋MN≥CM′＋DN′＋M′N′，当M与M′，N与N′重合时，△PMN的周长最小，即为线段CD的长度，∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6.∴△PMN的周长的最小值为6.例5题解图【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题图例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①)．推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．图①图②三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆图①图②类型1点圆最值【模型分析】平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)：(i)若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________，DE的最小值为________；图①图②d＋rd－r类型1点圆最值【模型分析】图①图②d＋rd－r(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，

DE的最大值为________，DE的最小值为________；(iii)当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为______，DE的最小值为________．图③图④图⑤d＋r=2rd－r=0d＋rd－r(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，连接CD′，则CD′的最小值是(

)A.1B.C.D.C【解析】如解图，由折叠知，点D′在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，当点A，D′，C在同一直线上时，CD′有最小值，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝，∴CD′的最小值是AC－AD′＝AC－AD＝.例1题解图例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为(

)例2题图A.B.C.D.例2题解图B【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外接圆O，则点F在劣弧上运动．连接OC、OB，OC交劣弧于点F′，当点F与点F′重合时，CF的长度最小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝

，∴OC＝2OB＝

，∴CF′＝OC－OF′＝－＝.例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、类型2线圆最值图①图②【模型分析】(i)如图，AB为

O的一条定弦，点C为圆上一动点．(1)如图①，若点C在优弧上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大；(2)如图②，若点C在劣弧上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.类型2线圆最值图①图②【模型分析】(ii)如图，O与直线l相离，点P是

O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是________(如图③)，点P到直线l的最大距离是________(如图④)．图③图④d＋rd－r(ii)如图，O与直线l相离，点P是O上的一个例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作

C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为(

)A.B.2C.D.4例3题图例3题解图A【解析】如解图，连接CP、CQ，∵PQ是C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°.根据勾股定理得PQ2＝CP2－CQ2，∵CQ为定值，∴当CP最短时，PQ最短．即当PC⊥AB时满足题意．∵在Rt△ACB中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝.当PC⊥AB时，易得△PCB∽△CAB，∴＝，即CP＝

＝

＝.∴PQ＝＝＝.∴PQ的最小值是.例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，B例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作

D，P为

D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大值为___．例4题图例4题解图【解析】如解图，延长AO至C点，过点D作DF⊥AC于点F，延长FD交

D于点P′，连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大，则只需AO边上的高最大，此时P′满足条件，即P′F为最大的高，在△ADC中，

AD·DC＝

AC·DF，∴DF＝

＝＝

，∴P′F＝DF＋DP′＝+1＝，AO＝

AC＝.∴S△AOP的最大值为

AO·P′F＝××＝.例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形A类型3直径对直角图①【模型分析】(i)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，则AB为O的直径．(ii)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_________________________________．图②以AB为直径的O(不包含A、B两点)类型3直径对直角图①【模型分析】图②以AB为直径的例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN交于点P，则PC长的最小值为_________.例5题图例5题解图【解析】如解图，连接AC、BD交于点E，在正方形ABCD中，∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4.由题意可知BM＝CN，∴△ABM≌△BCN.∴∠BAM＝∠CBN.又∵∠CBN＋∠NBA＝90°，∴∠BAM＋∠NBA＝90°.∴∠APB＝90°.又∵AB＝4，根据“定边定角”模型可得点P在以AB为直径的上运动，取AB的中点O，连接OC，线段OC交于点P，此时PC的长最小，PC＝OC－OP＝－2＝－2＝

例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B类型4四点共圆【模型分析】(i)如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．图①图②类型4四点共圆【模型分析】图①图②(ii)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为

O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点)．图③(ii)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于【解析】如解图，连接AC、BD交于点O，连接PO、EO.∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A、C、E、D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE＝OD＝

BD＝，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝

AD＝2，∵PE≤OP＋OE＝2＋，∴当点O在线段PE上时，线段PE有最大值，此时PE＝OP＋OE＝2＋，即线段PE的最大值为2＋.例6如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一点，且满足∠AED＝45°，P为AB的中点，则线段PE的最大值为________．例6题图例6题解图2＋

【解析】如解图，连接AC、BD交于点O，连接PO、EO.∵∠类型二特定条件问题（2019、2014、2013.10，2015、2011.9）例如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为12和4，P为菱形ABCD内部的一个动点，且满足S△ABP＝S△ADP，若△ABE是等边三角形，则PD＋PE的最小值为(

)A.4

B.

C.

D.6例题图C类型二特定条件问题例如图，菱形ABCD的两条对角线长分别例题解图【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵P为菱形ABCD内部的一个动点，S△ABP＝S△ADP，∴点P在对角线AC上．∵OA＝

AC＝6，OB＝

BD＝2，AC⊥BD，∴AB＝＝.∵AC与BD互相垂直平分，∴PD＝PB.∴PE＋PD＝PE＋PB.∵PE＋PB≥BE，∴当E、P、B三点共线时，PE＋PD的值最小，最小值为BE的长．∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝.∴PD＋PE的最小值为.例题解图【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵P为菱形A

1.沈从文的创作风格趋向浪漫主义，他要求小说的诗意效果，融写实、纪梦、象征于一体，语言格调古朴，句式简峭、主干突出，单纯而又厚实，朴讷而又传神，具有浓郁的地方色彩，凸现出乡村人性特有的风韵与神采。2.沈从文创作的小说主要有两类，一种是以湘西生活为题材，一种是以都市生活为题材，前者通过描写湘西人原始、自然的生命形式，赞美人性美；后者通过都市生活的腐化堕落，揭示都市自然人性的丧失。3.从作者的描述看，作者的观察敏锐，记忆超强，对现象世界十分倾心，对大自然的声音、气味，社会上的人与事怀有浓厚的兴趣。他把大自然与社会生活称为一本“大书”，他从这本“大书”中学到了许多书本上没有的东西，他在自然和社会中倾心体验，尊重生命本真的做法，并非不爱学习，而是为了更好的学习。

4.不少评论家觉得沈从文擅长写景，且晴朗明澈，但是缺少深度。也有评论家认为好就好在没有深度，因为没有深度的“看”风景，其实就不为一般的社会价值所局限，这样也就抛弃了自以为是的优越感和置身事外的位置，而是在宇宙万汇的动静之中“看”。5.一次眼光看风景万物，多了一份包涵和宽容，看到的历史也就不是战争、王朝更迭之类的东西，而是千百年来凡夫俗子们的哀乐、努力和命运。它们代表了更为现实逼真的生存和价值。6.抒发的感情真诚感人，不写自己的品学兼优、勤奋用功，而是如实地展现自己的天生的野性，充满了阅读和学习“生活”这本大书所得到的欢欣鼓舞的生命体验，表现了对自然和生命无比好奇和热爱以及泰然面对一切残忍和苦难的生活观。7.学习了这篇传记让我们了解到了沈从文从小如何“读社会这本大书”，感受到他青春期的悲欢得失。由于传主生活经历的太多苦难，加上作者在回忆中不时融入淳厚的情感，让我们读来有某种沉重与辛酸，也让我们学生受到启发：对于强者，生活中的风霜雨雪也和阳光雨露一样，都从不同侧面或者以不同的方式滋润着我们的生命，现实中的曲折、坎坷、苦难可能拓展人的精神空间，让人能更加以阔大的心胸与坚强的意志，去感受生命，理解生活的意义。1.沈从文的创作风格趋向浪漫主义，他要求小说的诗意效果，融专题二：几何图形动点问题专题二：几何图形动点问题专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综合题考查线段最值问题．专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线m外一点，求点A到直线m的最短距离.【解决思路】过点A作AP⊥m，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长.类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值类型一最值问题一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是边BC上一动点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP，则PM的最小值是(

)例题图A.B.C.D.A例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，如解图，∵点M为EF的中点，∴连接AP必过点M，且AP＝EF＝2PM，∴当AP最小时，PM取得最小值，根据直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最短，PM取得最小值．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝5，S△ABC＝

AB·AC＝

BC·AP，解得AP＝

，∴PM的最小值为.例题解图【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动点＋两定点)类型1异侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l

于点P，点P即为所求．二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为(

)A.B.C.D.2例1题图例1题解图【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与F′重合时，此时EF＋CF有最小值，且最小值为线段CE的长．∵AB＝4，AE＝2，由等边三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝＝＝2.即EF＋CF的最小值为.B例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决．可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(

)A.B.C.D.例2题图例2题解图【解析】如解图，易知点B与点D关于AC对称，当点P在AC与BE的交点时，PD＋PE取得最小值，∵PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，∵正方形ABCD面积为12，∴AB＝＝

，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝

，即PD＋PE的最小值为.B例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为(

)A.B.C.D.3例3题图A【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P′，∵PM－PO≤MO，当P与P′重合时，此时PM－PO有最大值，且最大值为MO的长度，过点M作MN⊥BC于点N，在△AOM和△COP′中，∠AOM＝∠COP′，OA＝OC，∠OAM＝∠OCP′，∴△AOM≌△COP′，∴OM＝OP′＝

MP′，∴CP′＝AM＝4－1＝3，BP′＝1，∴P′N＝4－1－1＝2，∴MP′＝＝，∴OM＝

MP′＝.∴PM－PO的最大值为.例3题解图例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，例4

(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________．例4题图2例4题解图【解析】如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB和CB关于对角线BD对称，作点M关于BD对称的点M′，则点M′在AB上，连接PM′、M′N，根据对称可得BM′＝BM＝6，又∵AB＝8，∴AC＝＝8，AM′＝2，AN＝

AO＝×AC＝2，∵cos∠M′AN＝cos45°＝＝，∴∠AM′N＝90°，∴M′N＝AM′＝2，∵PM－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，∴PM－PN的最大值为2.例4(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，A模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠A例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为(

)A.4

B.5

C.6

D.7例5题图C例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CM、OC、DN、OD，∵点P关于OA的对称点为C，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝CM＋DN＋MN，连接CD分别交OA，OB于点M′，N′，∵CM＋DN＋MN≥CM′＋DN′＋M′N′，当M与M′，N与N′重合时，△PMN的周长最小，即为线段CD的长度，∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6.∴△PMN的周长的最小值为6.例5题解图【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题图例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①)．推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．图①图②三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆图①图②类型1点圆最值【模型分析】平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)：(i)若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________，DE的最小值为________；图①图②d＋rd－r类型1点圆最值【模型分析】图①图②d＋rd－r(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，

DE的最大值为________，DE的最小值为________；(iii)当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为______，DE的最小值为________．图③图④图⑤d＋r=2rd－r=0d＋rd－r(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，连接CD′，则CD′的最小值是(

)A.1B.C.D.C【解析】如解图，由折叠知，点D′在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，当点A，D′，C在同一直线上时，CD′有最小值，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝，∴CD′的最小值是AC－AD′＝AC－AD＝.例1题解图例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为(

)例2题图A.B.C.D.例2题解图B【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外接圆O，则点F在劣弧上运动．连接OC、OB，OC交劣弧于点F′，当点F与点F′重合时，CF的长度最小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝

，∴OC＝2OB＝

，∴CF′＝OC－OF′＝－＝.例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、类型2线圆最值图①图②【模型分析】(i)如图，AB为

O的一条定弦，点C为圆上一动点．(1)如图①，若点C在优弧上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大；(2)如图②，若点C在劣弧上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.类型2线圆最值图①图②【模型分析】(ii)如图，O与直线l相离，点P是

O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是________(如图③)，点P到直线l的最大距离是________(如图④)．图③图④d＋rd－r(ii)如图，O与直线l相离，点P是O上的一个例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作

C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为(

)A.B.2C.D.4例3题图例3题解图A【解析】如解图，连接CP、CQ，∵PQ是C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°.根据勾股定理得PQ2＝CP2－CQ2，∵CQ为定值，∴当CP最短时，PQ最短．即当PC⊥AB时满足题意．∵在Rt△ACB中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝.当PC⊥AB时，易得△PCB∽△CAB，∴＝，即CP＝

＝

＝.∴PQ＝＝＝.∴PQ的最小值是.例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，B例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作

D，P为

D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大值为___．例4题图例4题解图【解析】如解图，延长AO至C点，过点D作DF⊥AC于点F，延长FD交

D于点P′，连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大，则只需AO边上的高最大，此时P′满足条件，即P′F为最大的高，在△ADC中，

AD·DC＝

AC·DF，∴DF＝

＝＝

，∴P′F＝DF＋DP′＝+1＝，AO＝

AC＝.∴S△AOP的最大值为

AO·P′F＝××＝.例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形A类型3直径对直角图①【模型分析】(i)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，则AB为O的直径．(ii)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_________________________________．图②以AB为直径的O(不包含A、B两点)类型3直径对直角图①【模型分析】图②以AB为直径的例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN交于点P，则PC长的最小值为_________.例5题图例5题解图【解析】如解图，连接AC、BD交于点E，在正方形ABCD中，∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4.由题意可知BM＝CN，∴△ABM≌△BCN.∴∠BAM＝∠CBN.又∵∠CBN＋∠NBA＝90°，∴∠BAM＋∠NBA＝90°.∴∠APB＝90°.又∵AB＝4，根据“定边定角”模型可得点P在以AB为直径的上运动，取AB的中点O，连接