2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹角课后习题新人教B版选择性必修第一册

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6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.

7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.

B级关键能力提升练8.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60° B.90°C.45° D.以上都不对10.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=63,则直线BB'与平面α的夹角的大小为.

11.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.

12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.

1.2.3直线与平面的夹角1.C线面角的范围是0,π2.∵<a,n>=2π3,∴l与α的法向量所在直线所成角为π∴l与α的夹角为π62.D设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2,则sinθ=|cos<s,n>|=1×1+1×(-3)∴直线l与平面α的夹角的余弦值为210153.B以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),∴cos<BA1,n>=1+223=32∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.4.C建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由图知SO=SA由题得A(1,-1,0),C(-1,1,0),B(1,1,0),S(0,0,2),∴CA=(2,-2,0),BS=(-1,-1,2),CS=(1,-1,2).设平面SBC的一个法向量n=(x,y,z),则n令z=2,得x=0,y=2,∴n=(0,2,2).设直线AC与平面SBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,AC>|=422×65.23连接DE设AD=2,易知AD∥BC,∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角.在Rt△ADE中,∵DE=5,AD=2,∴AE=3,∴cos∠DAE=ADAE6.33设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又B则sin<DB1,BB1>=|7.104设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A3又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ=|cos<n,AC1>|=∴cosθ=1-8.Acos<a,n>=a·n|a||n|=24×1=12,9.B以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,得n=(0,1,1).设直线与平面A1ED1所成角为θ,所以sinθ=|cos<n,EA>|=|n·EA又因为0°≤θ≤90°,所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.故选B.10.60°11.73设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,V三棱锥O-PAC=V三棱锥P-OAC,即13S△PAC·d=13PO·S△OAC,∴d=2·12·3·123412.解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x/r