广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题含答案

2023届北海市高三第一次模拟考试数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.5.本卷主要考查内容：高考范围.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，若z为纯虚数，则（）A.-3 B. C.3 D.03.在等差数列中，，，则（）A.19 B.18 C.17 D.204.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）A.12800 B.24800 C.25600 D.512005.如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.如右图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形.如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为，则（）A. B. C. D.7.已知角满足，则（）A. B. C. D.8.已知奇函数的定义域为R，且在上单调递增，在上单调递减.若，则的解集为（）A. B.C. D.9.已知，，若，恒成立，则正数m的最小值是（）A. B.1 C. D.e10.已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（）A.1640 B.1660 C.1680 D.170012.已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直线，与直线分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则直线的斜率为（）A.1或 B.1或2 C.或2 D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________.14.的展开式中的系数为_____________.15.如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是_____________.16.如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为_____________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分、17.（本小题满分12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，求周长的最大值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.19.（本小题满分12分）某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是.其统计数据分组区间为，，，，.（1）求直方图中x的值；（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且椭圆C的离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于P、Q两点，直线与椭圆相交于M、N两点，点D为线段的中点，点E为线段的中点，证明：直线过定点.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的标准方程与直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求A，B两点的极坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，求实数a的取值范围.2023届北海市高三第一次模拟考试・数学（理科）参考答案、提示及评分细则1.D∵，∴.2.C由且，可知.3.C由，有，可得.4.D因为时，，故，所以，故时，，即.故选D.5.B几何体的表面积为.6.A设圆的半径为，圆的面积为，四个三角形的面积为，有，解得，可得.7.A由，得，，故选A.8.B作出图象，可知解集为.9.B由，即，即.令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，.即在上单调递增，在上单调递减.所以.故选B.10.D，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得.故选D.11.A由，有.又由，可得，可得则数列的前81项的和为.12.A因为抛物线的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少，所以抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，即，所以抛物线的方程为.，设的方程为，，.联立方程组整理得，由韦达定理知，.直线的方程为，联立方程组所以，因为，所以点的坐标为，同理，.所以，又由，有，解得或，故直线的斜率为1或.故选A.13.由题意可知，，，，故，，即和的夹角为.14.9，展开式中的系数为.15.设的中点为，连接，，易得，，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以双曲线的离心率.15.如图，设外接圆的圆心为，外接圆的半径为，，，，，由，有，由可知，为三棱锥外接球的球心，有，解得（当且仅当时取等号），故三棱锥外接球体积的最小值为.17.解：（1）由及正弦定理得，因为，……3分所以，因为，所以，，…………5分又，解得；……6分（2）∵，，即，………………8分所以，当且仅当时等号成立，……10分所以，当且仅当时等号成立.所以周长的最大值为.………………12分18.（1）证明：取的中点O，连接，，…………1分∵，，∴且，…………2分∵，，∴，且……3分∴四边形是平行四边形，∴，………………4分∵，平面，平面，∴平面；………………5分（2）解：由，，两两垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下，，，，，，，……6分设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，……8分设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，……10分有，，，可得，故平面与平面的二面角的正弦值为.……12分19.解：（1）由直方图可得，解得；……3分（2）X的可能取值为0，1，2，3，4.…………4分由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为，……5分，………………6分，…………7分，………………8分，………………9分.……10分所以的分布列为01234……11分.……12分20.（1）解：设点，的坐标分别为、，由题意有解得…………3分故椭圆的标准方程为；………………4分（2）证明:设直线的斜率为，可得直线的斜率为，设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，联立方程消除后有，有，可得，，…………6分同理，，…………8分由对称性可知直线所过的定点T必定在x轴上，设点T的坐标为，…………9分有，有，化简得，解得，故直线过定点.………………12分21.解：（1）当时，，，因为点没有在曲线上，故不是切点，设切点为，直线斜率为，……1分则切线方程为，又因为该直线过点，所以，即，…………3分记，当时，，当时，，∴在上单调递增，又，∴，故切线方程为；………………4分（2）当时，由可得，即，……8分构造函数，其中，则，所以函数在R上为增函数，