2008年复变函数与积分变换试题(A卷)评分标准_第1页
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PAGE2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A卷)解答解答内容不得超过装订线解答内容不得超过装订线院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期:2008年11月24日考试时间:晚上7:00~9:3题号一二三四五六七八总分得分得分评卷人一、填空题(每空2分，共20分)点1．复数的主辐角为．点2．函数在何处可导？，处处不解析何处解析？．处处不解析3．的值为．否是4．级数是否收敛？；是否绝对收敛？．否是5．函数在点展开成泰勒(Taylor)级数的收敛半径1为．1下半平面6．区域在映射下的像为．下半平面7．映射在处的旋转角为．8．函数的Fourier变换为．得分评卷人二、计算题(每题5分，共20分)1．解：令，则，原式，(3分)．(5分)2．解：为的本性奇点，将在的邻域内展开得，(3分)原式．(5分)3．解：令，则，，原式，(2分)函数在只有一个一阶极点，(3分)原式．(5分)解答内容不得超过装订线4．解答内容不得超过装订线解：令，则在上半平面只有一个一阶极点，，(3分)原式．(5分)得分评卷人三、(14分)已知，求常数a以及二元函数，使得为解析函数且满足条件．解：(1)，，由可得，(3分)即．(2)由，，(7分)由，，，(11分)，(3)由得，(13分)即．(14分)得分评卷人四、(14分)将函数分别在点和点展开为洛朗(Laurent)级数．解：(1)在点展开①当时，；(3分)②当时，．(6分)(2)在点展开，①当时，；(10分)②当时，．(14分)

得分评卷人解答内容不得超过装订线五、(6分)求区域在映射解答内容不得超过装订线下的像．(w)1解：令，则(w)1(z1(z1)(z)(3分)(6分)即像区域为单位圆的外部(如图)。注：本题也可由，，三步完成。得分评卷人六、(10分)求把区域映射到上半平面的共形映射．(z1(z1)(z)(3分)(w)((w)(z2)(7分)(9分)或或(10分)得分评卷人七、(10分)利用Laplace变换求解微分方程：，．解：(1)令，对方程的两边作Laplace变换得：，(3分)，(5分)(2)，(8分)．(10分)得分评卷人八、(6分)已知幂级数的系数满足：，，该级数在内收敛到函数，证明：，．证明：(1)由题意可知，在上解析，(/r

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