宏观强理论基础演示文稿

宏观强度理论基础演示文稿第一页，共六十六页。1.1.1弹性变形1、简单加载下的弹性变形纯拉伸时：纯剪切时：泊松比：剪切弹性模量：正弹性模量：三个弹性常数之间的关系：弹性变形－施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为：变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关；变形是瞬时达到的，与时间无关。第二页，共六十六页。2、复杂加载下的弹性变形－广义虎克定律1）普遍表达式

在①连续、②均匀、③无初应力、④变形微小的基本假设下，可推导出表示线弹性固体中任意一点的应力－应变关系的广义虎克定律。由连续性假设第三页，共六十六页。1）普遍表达式（续1）

在变形微小的假设下，将上式在εij

=0处展开成Tailor级数，并略去二次方及以上的项：…………………………在无初应力的假设下，当εij

=0时，σij

=0，于是有：f(0,0,…,0)=0，则有：式中，｛σ｝和｛ε｝均为6阶列矢量，[Cij]为6×6阶方阵，且有：第四页，共六十六页。1）普遍表达式（续2）

由均匀性假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；反之亦然。这说明Cij为常数，称为刚度系数，即上式为线性关系，此即广义Hooke定律：广义Hooke定律的应变表达式：式中，Sij

称为柔度系数，可由刚度系数求逆得到，即：第五页，共六十六页。2）刚度系数的对称性以应变能密度表示应力－应变关系：由广义Hook定律的第一式，得：再将此式对εyy

求偏导，得：同样对广义Hook定律的第二式处理可得：因偏导数与微分顺序无关，故：线弹性体单位体积应变能：第六页，共六十六页。3）弹性对称性

在弹性体内，若过每一点的不同方向的弹性都不相同，则称为各向异性，Cij

有21个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为各向同性，独立的Cij

有2个。而介于二者之间的则具有某类弹性对称性。所谓弹性对称面：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相对于该平面的对称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为弹性主轴。由弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应力－应变关系，即Cij不会改变。然而，应变能W是应变的单值、标量函数，不会因坐标的改变（弹性轴倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，因此会限制某些刚度系数的取值。第七页，共六十六页。应变能密度展开式第八页，共六十六页。（1）有一个弹性对称面（xoy面）将z

轴倒置成

z′轴，有z′=-z，w=-w′，考察与z′有关的应变分量：为保证应变能W值不变，含εyz

和εzx

一次方的项前的弹性常数必须为0，即：

刚度系数减少了8个，仅剩下13个。u、ν、ω分别为x、y、z轴方向上的位移分量一个弹性对称面，13个刚度系数第九页，共六十六页。（2）有三个相互垂直的对称面－正交异性沿用上述方法，取x、y、z

三轴为弹性主轴，则：首先将z

轴倒置后有：其次将y

轴倒置，因εyz

变号有：（已有）

因εxy

变号有：（新增）最后将x

轴倒置，但不会得到新的为0的系数。故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了12个，只剩下9个：拉压－剪切耦合（交叉效应）出面剪切耦合两个或者三个互相垂直的弹性对称面，都是9个刚度系数第十页，共六十六页。（3）横观各向同性定义：若过物体每一个点都有这样一种平面，在此面内的各个方向上弹性相同，则此面称为横观各向同性面。另外，x、y

轴不论转过任何角度，应力－应变关系都保持相同，可得：因此，独立的弹性常数仅剩下5个：设xoy

面为横观各向同性面，当εxx

和εyy

互换，以及εyz

和εzx

互换时，应有：第十一页，共六十六页。（4）完全各向同性任意方向都是弹性主方向，既有：此时，独立的弹性常数仅剩下2个：C11

和C12：第十二页，共六十六页。4）广义Hook定律的工程表示法在各向同性条件下，令：则广义Hooke定律可写成工程上广泛应用的形式：第十三页，共六十六页。1.1.2粘弹性变形1、粘性流动σεdε/dtttσt1t1概念：在很小外力下便会发生，且在外力去除后不会恢复的流动。特点：屈服值为0；变形不仅取决于应力，同时依赖于应力作用的时间；1）Newton流动第十四页，共六十六页。2）非Newton流动宾汉流动假塑性流动（切变变稀）切变增稠流动在非Newton流动区，可用指数方程来描述流动规律：式中，n为非Newton指数，其值愈低，愈呈假塑性；n=1时，即为Newton流体。第十五页，共六十六页。2、粘弹性变形1）Maxwell模型

粘弹性变形是粘性变形和弹性变形的混合变形，因此，常用代表弹性变形的弹簧元件和代表粘性变形的活塞元件组合起来构筑描述粘弹性体的本构方程。

属两元件串连模型，其特点为：两元件中应力相等，且等于总应力；两元件应变不等，且非同时产生，总应变为第十六页，共六十六页。Maxwell模型本构关系

在恒应力σ0作用t1时间后，总变形为：

式中，J(t)称为蠕变柔量，是时间的线性函数。总应变速率为：

在恒应变时，应力将松弛：，则有：积分得：式中，称为松弛常数。经无限长时间后，应力将仅由弹簧变形决定。第十七页，共六十六页。2）Voigt-Kelvin模型

属两元件并联模型：两元件等应变，且等于总应变；总应力等于两元件应力之和。或：第十八页，共六十六页。3）三元件模型1弹簧＋2活塞

2弹簧＋1活塞1弹簧＋Maxwell组合件（并联）；1弹簧＋V-K组合件（串连）

在该模型中，总应变ε为弹簧应变ε1及V-K组件应变ε2

之和，而总应力为V-K组件中两元件应力之和。则有：而：代入前式得：第十九页，共六十六页。4）Zener模型－标准线性固体组成：Maxwell组件和Voigt组件串联而成。思路：高聚物的变形是由三部分组成的：瞬时完成的普弹性变形，可用弹簧来E1模拟；链段伸展的高弹性变形，可以用弹簧E2和活塞η2并联起来去模拟；高分子相互滑移引起的粘性变形，这种变形随时间线性发展，可以用一个活塞η3模拟。

用此模型描述线性高聚物的蠕变过程特别合适。蠕变过程中，因而高聚物的总变形为

第二十页，共六十六页。Zener模型模拟的蠕变曲线及验证第二十一页，共六十六页。5）广义Maxwell模型

取任意多个Maxwell

组件并联而成，让每个单元由不同模量的弹簧和不同粘度的活塞组成，因而具有不同的松弛时间，当模型在恒定应变时，其应力应为诸单元应力之和，即

而应力松弛模量为

当n→∞时，上式可写成积分形式

式中，f(τ)称为松弛时间谱。

第二十二页，共六十六页。广义Maxwell模型验证2个Maxwell单元并联组合模型应力松弛行为聚异丁烯（25℃）应力松弛叠合曲线第二十三页，共六十六页。6）广义Voigt-Kelvin模型

广义Voigt模型是取任意多个Voigt单元串联而成，如右图。假设其第i个单元的弹簧模量为Ei，松弛时间为τi，则在拉伸蠕变时，其总变形应为全部Voigt单元形变的加和，即

蠕变柔量为

第二十四页，共六十六页。3、三维粘弹性变形

若设想弹簧和活塞可沿三轴方向变形，便可以推广建立Maxwell固体的三维本构关系。弹簧的应变率可由广义Hooke定律对时间微分得到，粘性变形与塑性变形一样，可假设体积不变，即泊松比为0.5，则将弹簧与活塞应变率相加可得：第二十五页，共六十六页。1.1.3塑性变形

当受力物体中的某一点的应力满足屈服条件时，该点进入塑性变形阶段。对于大多数材料，总是先经过弹性变形，再过渡到塑性变形，所以合称为弹塑性变形。塑性变形最显著的两个特点是：应力－应变为非线性关系；应力－应变关系的不唯一性。应变不仅与应力状态有关，而且与达到该应力状态的途经（即变形历史）有关，应变不能单值地由应力唯一确定。第二十六页，共六十六页。1、单向应力下的几种理想模型1）理想刚塑性

仅适合于材料塑性变形量很大，且强化程度很低的状况。刚性（无变形）无强化塑性流动2）理想弹塑性ε≤εs

时ε＞εs

时无强化塑性流动理想（线）弹性第二十七页，共六十六页。3）刚塑性线性强化式中，E1－塑性模量。刚性（无变形）线性强化塑性4）弹塑性线性强化ε≤εs

时ε＞εs

时线性强化塑性线弹性第二十八页，共六十六页。5）弹性非线形强化

常以幂硬化律来表达。代表性的幂硬化率有Ramberg-Osgood法则：式中，A－硬化系数；n

－硬化指数。重要假设：塑性变形体积不可压缩。σsσε如果x方向受拉或压后产生的塑性应变为则其它两个方向的塑性应变为第二十九页，共六十六页。2、复杂应力状态下的塑性本构方程Reuss（1930年）假定：（1）式中，i,j=x,y,z；dλ－非负标量比例系数；应力偏量定义为：i=j

时；i≠j

时；（2）其中，。（3）将（2）式代入（1）式，可得Reuss增量方程：1）增量理论第三十页，共六十六页。1）增量理论（续）仿照等效应变的概念，可定义“等效塑性应变增量”为：（4）而等效应力为：（5）将（4）和（5）式代入（3）式得：（6）则Reuss本构方程的普遍形式为：（7）第三十一页，共六十六页。2）全量理论基本假设：比例变形：（1）由（1）式和（3）式联立得：（4）（3）（2）塑性变形体积不变：小变形：第三十二页，共六十六页。2）全量理论（续）Ci可通过等效应力和等效应变来确定：（5）（6）实验表明，当时，材料屈服，在单轴应力下，根据ΔV=0，也可证明：，则在单轴应力下，由（4）、（5）、（6）式解得：（7）则全量理论表达式为：（8）第三十三页，共六十六页。1.2经典强度理论定义：三个主应力中任意一个达到单向强度σ0时，材料便失效。形式：i=1,2,3适用：过量弹性变形失效；无裂纹脆性材料受拉应力断裂。原因：对金属材料，塑性变形是由剪应力控制的，而该理论忽略了其作用。1.2.1最大正应力理论第三十四页，共六十六页。1.2.2最大正应变理论定义：三个主应变中任意一个达到单向拉伸失效正应变极限值ε0时，材料便失效。形式：i=1,2,3适用：过量弹性变形失效；无裂纹脆性材料受拉应力断裂。利用Hooke定律，还可将最大正应变理论写成应力表达式：第三十五页，共六十六页。最大正应力理论和最大正应变理论的实验验证灰铸铁薄壁圆管试件内压与轴向载荷试验第三十六页，共六十六页。1.2.3最大剪应力理论定义：在三向应力状态下，最大剪应力达到纯剪切失效的剪应力时，材料便失效。形式：由于在单向拉伸（或压缩）时，，则该理论的正应力表达式为：

该理论形式简单，在预测延性材料屈服或断裂时有相当高的准确度，因而得到广泛应用。或第三十七页，共六十六页。平面应力状态下最大剪应力理论的几何表示σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0

在平面应力状态时，设三个主应力分别是

σ1、σ2

、σ3=0

（主应力大小没有顺序关系）。这样，前式可分解为：

当时，则：当时，则：当时，则：当时，则：当时，则：当时，则：

在应力主轴坐标系

（σ1,σ2

）中，以上六种情况的判据成为由六条直线围成的六边形。在六边形内：安全；在六边形线上：临界状态；在六边形外：失效。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）第三十八页，共六十六页。1.2.4畸变能理论定义：在多向应力状态下，单位体积畸变能（Ud）达到单向拉伸失效时的畸变能（Ud0）时，材料便失效，即：单位体积畸变能为：U－单位体积应变能；UV－单位体积形状改变能（歪形能）（1）（2）（3）（4）（5）根据弹性力学原理：联立（1）～（5）式，可得：第三十九页，共六十六页。平面应力状态下畸变能理论的几何表示

在平面应力状态（σ3=0）下：

在应力主轴坐标系（σ1,σ2

）中，上式表示一椭圆（见右图）。椭圆的长轴过一、三象限，短轴过二、四象限。其端点坐标分别为：σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0ABDD’C’C纯切应力状态0.5σ00.577σ0A:（σ0，σ0）B:（-σ0，-σ0）C:（-0.577σ0，0.577σ0）D:（0.577σ0，-0.577σ0）第四十页，共六十六页。最大剪应力理论和畸变能理论的实验验证第四十一页，共六十六页。四种强度理论的综合表达式综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式：

式中，σr称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为：第四十二页，共六十六页。四种强度理论的选用原则塑性材料：第三强度理论可进行偏保守（安全）设计；第四强度理论可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。脆性材料：第一强度理论用于拉伸型和拉应力占优的混合型应力状态；第二强度理论仅用于石料、混凝土等少数材料。对于某些特殊应力状态的情况，不能只看材料，还必须考虑应力状态对材料弹性失效状态的影响，根据所处失效状态选取强度理论：塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏,应选用第一强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。第四十三页，共六十六页。1.2.5Mohr强度理论σ3σ2σ1στNMσCBAO3O1O2Mohr理论实质上是最大切应力理论的修正，是从Mohr应力圆出发提出来的一种判断破坏和强度的作图方法。Mohr圆圆心：单由外圆就足以决定临界应力状态。Mohr圆半径：最大剪应力面通过一点各截面上应力状态第四十四页，共六十六页。1.2.5Mohr强度理论（续）Mohr强度理论认为，在物体内一点的某个截面上，当其正应力和剪应力达到某种最不利的组合时就导致破坏。破坏临界条件可写为：

在σ-τ平面上，该方程表示一条极限曲线，由试验确定。对不同的达到破坏条件的应力状态作Mohr圆，极限曲线就是这些圆的包络线。则Mohr理论的安全条件为：

为简化，只以单向拉伸和单向压缩极限应力圆的公切线作为包络线（右上图），将它除以安全系数后，得到右下图所示的许用情况。，其中O3圆为其他应力状态下的极限情况。根据简单的几何推导可得：第四十五页，共六十六页。Mohr强度理论的讨论当[σL]=[σY]时：Mohr强度条件转化为最大切应力理论强度条件。若拉伸许用应力很小（脆性材料），可近似为[σL]=0：Mohr强度条件转化为最大正应力理论强度条件。在平面应力条件下，当σ2=0，及[σL]/[σY]=μ时：Mohr强度条件转化为最大正应变理论强度条件。可见，Mohr理论在一定程度上概括和推广了前三种强度理论，它很好地代表了对拉和压具有不同抗力的材料的塑性变形和以剪断形式破坏的现象。Mohr理论仍然不是普遍适用的，与最大剪应力理论一样，它没有考虑第二主应力的影响。第四十六页，共六十六页。1.3强度的统计学特性即使对同一型号、同批生产的材料，由于成分、组织、缺陷的不均匀性，其力学性能也会有一定分散度。将材料制成构件后，使用环境、温度、承受载荷都有随机性。这自然引出了下列问题：用小试样或少数试样测定的性能数据究竟能否代表材料的强度？依据实验室数据进行强度设计，可靠性有多大？寿命预测准确度如何？从数理统计观点看，材料强度和构件承载都是随机变量。为表征一个随机变量，不仅需给出其取值大小，还要给出其取该值的频率（即概率）。分布函数描述随机变量取值的统计学规律，定义为随机变量ξ小于某一实数x

的概率，即：

随机变量在一个区间内取值的概率可以由分布函数求出：第四十七页，共六十六页。1.3.1强度统计学分析常用的统计分布1、Weibull分布Weibull分布的提出源于最弱连接理论。最弱连接理论基于以下假设：将材料看成许多链节连接而成的链，只要链中有一个链节失效，整个链就失效。在应力从0增加到σ，链节的失效概率用F(σ)表示，则该链节的存活概率为：

假设F(σ)反映了链节的强度分布并且各个链节的强度分布相互独立，则材料的存活概率为：于是材料(链)在σ作用下的失效概率为

F(σ)函数更一般的形式为：

1）最弱连接理论第四十八页，共六十六页。2）Weibull分布形式

Weibull提出了的一个分布，它即是至今仍然被广泛使用的Weibull分布：

于是，失效概率可以表示成：

式中：F－失效概率；σ－随机变量，可以为强度，断裂韧性等；σ0－尺度参数；σu－位置参数；m

－形状参数，通常又称为Weibull模量。上式为三参数Weibull分布。若取σu=0,则上式简化为二参数Weibull分布

将上式做双对数变换可得：

第四十九页，共六十六页。3）Weibull分布参数的影响（1）位置参数σuσu＝0时，F

的一阶导数也就是Weibull分布的概率密度函数为：

只要σ0和m值不变，概率密度函数曲线形状不会改变，曲线只会随着σu的变化沿着轴平移到相应的位置。若随机变量为强度，则

σu为开始失效时的应力，即该材料的最低强度。故我们有时为了简便令σu

＝0，一般认为这是保守的处理。第五十页，共六十六页。（2）尺度参数σ0（特征强度）令：即σ0为从σu开始材料失效概率为0.6321时的强度值。

第五十一页，共六十六页。（3）形状参数m

形状参数m决定了曲线的形状特征。Weibull分布的概率密度函数是偏态的，在m为3.25时，曲线的对称性较好；m越大，σ分布就越集中，即分散性越小。由由图可看出，越大，分布就越集中，即分散性越小。

不同形状参数m

下的概率密度函数材料

钢

热压Si3N4

SiCw/Si3N4

SiC高铝瓷器

铝基复材

玻璃纤维

Weibull模量

50～609～252410810～301

在材料科学中，m又称Weibull模量，表征了材料的均匀性和可靠性，m值越大，材料的均匀性越好，可靠性越高。第五十二页，共六十六页。4）数学期望及方差式中，Γ(x)为误差函数，可查表。两参数Weibull分布的期望值和方差可由下式给出：第五十三页，共六十六页。5）Weibull分布举例－单纤维强度分布

单纤维强度的Weibull分布密度函数(双参数)为式中：L－纤维长度；α－尺度参数；β－形状参数；f(σ)

－机率密度函数，即在σ～σ＋dσ之间破坏应力的或然率。第五十四页，共六十六页。尺度参数及形状参数对f(σ)的影响随β增大：分散性减小；峰值应力（σ*

）增大。随α增大：分散性减小；峰值应力（σ*）

减小。第五十五页，共六十六页。几个关键参数（1）平均强度（数学期望）：（2）标准偏差（方差）：（3）变异系数（相对偏差）：可见，μ仅与β有关，在0.05≤μ≤0.5时，可简化为：（4）最可几应力（σ*）：当β较大时：（5）纤维强度分布函数：令，则上式变为：第五十六页，共六十六页。2、正态分布

正态分布是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。正态分布的密度函数为：

式中σ0为平均值，表示随机变量（如强度、断裂韧性等）的数学期望；λ为标准偏差，表示随机变量偏离均值的散布程度，λ越小，σ落在σ0附近的概率越大。正态分布是对称分布，其概率密度函数f(x)对于直线

x=σ0是对称函数。正态分布概率密度曲线y=f(x)的位置完全由均值σ0确定，故σ0为位置参数。为了计算上的方便，并令λ=1,并x=(σ-σ0)/λ则可将一般的正态分布化为标准分布，其密度函数为：第五十七页，共六十六页。2、正态分布（续）

化成标准分布后，可根据x查正态分布表，这也是正态分布应用广泛的一个重要原因。由于腐蚀、磨损，老化而引起的失效，是许多微小的独立因素造成的，没有单独起压倒作用的因素，是长期累积效应引起的，到某一段时间后，材料（或构件）失效比较集中地发生。在这种情况下，其强度分布可用正态分布来表示。对于正态随机变量有：

即正态随机变量的值落在（σ0±3λ）区间内几乎是肯定的事件，而它落在区间之外的事件是小概率事件。这就是所谓的“3λ规则”，通常作为异常数据的取舍标准。第五十八页，共六十六页。正态分布举例－纤维束强度分布纤维束强度分布密度函数：式中，ψB－纤维束强度标准偏差；－纤维束强度平均值（数学期望）。Daniels首先发现单纤维强度与纤维束强度存在下列关系：式中，F(σ)－单纤维强度分布函数；σfmax－最大断裂载荷那一束纤维中的纤维平均应力。令：，可解得：将此式代入上式可得：可见：第五十九页，共六十六页。3、对数正态分布

如果随机变量的对数符合正态分布，则称其符合对数正态分布。对数正态分布的密度函数为：

其均值和方差分别为