二次函数压轴题(与圆综合问题)

二次函数压轴题（与圆综合问题）【典例分析】例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点BC的坐标分别为-（，0，-；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．思路点拨（）连接AB，如图．若a=c=-，则抛物线的解析式为y=2+bx-，可得（-OC=．设点（x1Bx2，0，则OA=-1，OB=，且x、x2是方程x+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由AD、B、C△ADO∽∽△CB，根据相似三角形的性质可得，从而可得OD=，即可得到D0，，因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．满分解答（1）①∵抛物线y=a2+bx+c过点A（-0B（，0（0-，a14ac0 4 3∴64ac0，解得b ．学科网 2c4 c41 3∴抛物线的解析式为y=4x2-2x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∴（，．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵（8（04，n∴n4

，学&科网m1解得 2，n4（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为则（0-OC=．设点A1，0B（x0，则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．考点：圆的综合题例2已知抛物线求抛物线

经过A(3，0),B(4，1)两点，且与y轴交于点C．的函数关系式及点C的坐标；如图AB，在题P△PABAB形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；如图为线段AC上任意一点（不与AC重合）经过EO三点的圆交直线AB△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．思路点拨;假设存在，分两种情况讨论.满分解答（1）将A(3,0),B(4,1)代人得∴∴∴C(0,3)网②当∠ABP=90O时过BBP∥AC,BP交抛物线于点P.∵A(3,0),C(0,3)∴直线AC的函数关系式为将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为由 ,得又B(4,1),∴P2(-1,6).综上所述,存在两点P1(0,3),P2(-1,6).(3)∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O,∠OFE=∠OAE=45O,∴∠OEF=∠OFE=45O,∵点E在线段AC,∴设E∴=∴===∴当时,取最小值,此时,∴3如图，在平面直角坐标系中，圆Dy轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；sin∠ACB的值和经过CAB三点的抛物线对应的函数表达式；设抛物线的顶点为，证明直线AF与圆D相切．思路点拨CDDDE⊥ABEADAE=3CD⊥yOCDEADD网△ABC先求得（，0（，．设抛物线的解析式为=（28，将点C的坐标代入可求得a=BC×ACsin∠ACB=AB×CO△ABCFDFAF△DAF角形，则∠DAF=90°AF是⊙D的切线．满分解答（2）如图1所示：∵（，E（，0A（0（，0．设抛物线的解析式为（﹣（﹣，将点C的坐标代入得1a=，解得a ，∴抛物线的解析式为y x2 x+4．∵S =BC×ACsin∠ACB=AB×CO，∴sin∠ACB= =例4如图，已知二次函数yxm24m2（＞0）的图象与x轴交于B两点．写出、B两点的坐标（坐标用m表示；若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；设以ABy轴交于CD两点，求CD的长．思路点拨解关于x的一元二次方程xm24m20，求出x的值，即可得到AB两点的坐标。由二次函数图象的顶点PABBx轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB

MP=MA=MB=12

AB，得出点P的坐标为（m，﹣2，又根据二次函数的顶点式为yxm24m2（＞0，得出顶点P（，42，则﹣2m﹣4，解方程求出m的值，再把m的值代入yxm24m2，即可求出二次函数的解析式。CM．根据Rt△OCMCM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍。满分解答（1）∵yxm24m2，∴当y=0时，xm24m20。x1=﹣m，x2=3m#网∵＞0AB两点的坐标分别是（03，0。（3）如图，连接CM，在Rt△OCM中，1 1∵∠COM=90°，CM=2m=2× =1，OM=m= ，2 2∴OC CM2

213 2 13 3∴CD=2OC= 。35PC(0，1)．

xABy轴相切于、C;若二次函数图象的顶点为DkADBP为菱形．思路点拨连接PC，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据圆的切线性质，可知PC⊥轴，由勾股定理及垂径定理，C(0，1)可得到A ，B 即可根据菱形的对角线互相平分，则有 ，得到关于的方程即可满分解答(1)连结PCPB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． 1分∵⊙P与轴相切于点C(0，1)，∴PC⊥轴．∵P点在反比例函数 的图象上，∴P点坐标为1． 2分∴PA=PC=k．Rt△APH∴OA=OH—AH=k－

= ，．学&科网∴（－ ，0． 3分∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB．（2）(1)D坐标为，1－）∴DH= －1．若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH． 10分∵PH=1，∴－1=1．又∵k＞1，∴k= 分∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． 12分例6如图，二次函数y=+px+（p<）的图象与x轴交于B两点，与y轴交于点C0，-△ABC5的面积为。4求该二次函数的关系式；过y轴上的一点作y△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBDD不存在，请说明理由。思路点拨5 5△ABC4，可得AB×OC=2，又二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于AB两点，与y轴交于点C（0，-1）可求得该二次函数的关系式；根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底．可以分别以ACBC为底进行讨论．满分解答由直角坐标系上两点间的距离公式可得x2-x1=AB= ，∴ ，（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图由∴连接AD，

得，，在△ABC的外接圆中，∵ ，∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，∴△AOD∽△COB，学科￥网∴ ，∴ ，∴DO=1，∴CO=DO=1，又∵AB⊥CD，∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径，∴△ABC外接圆的直径为，∴直线 的外接圆相切，∴ ；【变式训练】果圆”．已知点ABCD“圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为“”被y轴截得的线段CD．【答案】20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=-6x-1AB=10RCOM中可以求出CO=CD=CO+OD=4+16=2．【详解】OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．故答案是：20.【点睛】考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到圆的垂径定理．yx2xxOA1O点出发沿抛物线向靠近点A2A点出发沿抛物线向靠近点OPQP的横坐标为P与⊙Q则t的取值范围是 ．【答案】0t1．2【解析】OPAy=x与x轴交于AO与A关于抛物线的对称轴x12对称，又∵动圆OA的方向移动；动圆A点出发沿抛物线向靠近点OOP=AP与Q也关于直线x12对称，∴四边形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，则OM=AN=t，解方程x2x0，x0x1

1A1，OA=ON=OAN=﹣，∴点Q的横坐标是﹣.网若⊙P与⊙Q相离，分两种情况：①⊙P与⊙Q外离，则PQ＞2+1，即PQ＞3．考点：二次函数综合题．如图，抛物线过点A(2，0)B(6，0)C(1， 3)，平行于x轴的直线CD交抛物线于CD，以AB为直径的圆交直线CD于点EF，则CE+FD的值．【答案】41 5如图，抛物线＝2x－2x与x轴交于OA两点.半径为1的动圆（P，圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；半径为2的动圆（，圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O.圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q.设点P的横坐标为t.yO A xP Q点Q的横坐标是 （用含t的代数式表示；若与⊙Q相离，则t的取值范围是 .5（）－（）0≤＜，＜≤2.【解析】1 5（1）如图，抛物线＝2－2x与x轴交于，A两点，两圆刚开始分别在OA点，所以x x 5；设点P的横坐标为t，所以点Q=5－t/网o p考点：二次函数和圆的关系是本题关键如图，抛物线 的图象与x轴交于点A,B，交y轴于点C，动点P从点A出发沿射线AB运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，△BCP的外接圆当心M落在该抛物线上时，则t= .【答案】6△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，求出直线y=-xM.解：∵△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上yx由{y1x21x64 2

x4 x6，解得{ 或{ （舍去，y4 y6∴点M坐标为4，-，如图中，作MN⊥AB于,ByO,A(-过A、P两点。

,0)作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB= ,抛物线C经求圆B.若抛物线C经过点B,.设抛物线Cy轴于点M,若三角形APM,求点M.（1）【解析】【分析】

（2）见解析（）点坐标为 ， ， ， .因为是 的切线所以连接可构造出直角三角形利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数值即可求出圆的半径；根据 的半径可求出点坐标，利用勾股定理或切割线定理可求出的距离，根据、的长可出点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；学网求出点坐标和点坐标，设出点坐标为【详解】

，根据勾股定理及其逆定理解答.（2）如在第一象限，则：点坐标即 ，

与轴的夹角 ，，、关于轴对称，所以抛物线顶点必在轴上设为 ，抛物线解析式： ，将 ， 代入，得： ， ， ， ，抛物线解析式： ，若点在四象限，则：点坐标 则抛物线解析式： ；【点睛】.特别是解学科网如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A2，点（0，2 3。yBCxO A求圆心的坐标以及圆C（4分）设弧OB的中点为D，请求出同时经过O,A,D并判断该抛物线的顶点是否在圆C（6分）若）中的抛物线上存在点P（，APB为钝角，直接写出m2分）（）点C的坐标是，3；（2）顶点不在圆C上；（3）-1<m<0或2<x<3.【解析】如下图所示，连接OD交OB∴CD⊥OB于点M1∴CM=2OA=1∴MD=1∴点D的坐标为，3）3∴抛物线的顶点坐标是 3 ）3 4 3该点到圆心C的距离是3 3 3 2所以顶点不在圆C上；是圆的直径，∴当抛物线上的点在圆内部时，∠APB是钝角，∴m的取值范围是-1<m<0或2<x<3.考点：二次函数解析式的求法、圆的基本性质.法.网yax2bx（12y

1x12与抛物线交于BD两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点m1．求抛物线的解析式；证明：圆Cx轴相切；过点BBE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为MF的值．（1）y

x2x2 （））

51．14 21【解析】（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，2，可求得抛物线的解析式；联立直线和抛物线解析式可求得D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD半径，可证得结论；过点CCH⊥mH，连接CM，可求得MH，利用中所求D的坐标可求得FH，则可求MFBE的长，可求得其比值．试题解析：（1）∵已知抛物线yax2bxc（0）的图象的顶点坐标是（2，1，∴可设抛物线解析式为1ya(x2)21 ，∵抛物线经过点（4，2，∴2a(42)21，解得a=41 1

，∴抛物线解析式为y (x2)21，即y x2x2；4 45 5 3（3）如图，过点CCH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=2，CH=2﹣1=23 5(3 5) 5 5

= 5522 2 23 5

3

51﹣1= 2

2，∴

=2 2 = ．52 2考点：二次函数综合题；压轴题．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点OM．对称轴为直线x=2，OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点C在第四象限，点C点Dy轴负半轴上；（1）求证：4a+b=0；若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；若抛物线顶点P在菱形ABCD为锐角时，求a的取值范围．【答案（）见解析）DE与圆A相切3）1a 3．2【解析】（）由题意可知，由抛物线经过点O可求得c=，将c=x=，y=0式可证得：4a+b=0^科网如图1AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；如图2所示．设点P的坐标为2，．由题意可知点E的坐标为（，2，设抛物线的解析式为y=a（x4，将x=2代入得y4a即m﹣4OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4 3，从而可求得a的取值范围．DE与圆A1所示：∵AE为圆A的半径，网∵AD=DB，AE=EB．∴AE⊥DE．∴DE与圆A相切．2所示．设点P的坐标为，．∵OM为圆A的直径，∴∠OEM=90°．∵AE=2，OA=2，∴点E的坐标为（22．已知一元二次方程求关于的函数关系式；求证：抛物线设抛物线的顶点，求，的值．

的一根为．与轴有两个交点；与轴交于、两点（、不重合，且以 为直径的圆正好经过该抛物线（1）【解析】【分析】

（2）证明见解析（） 或 ．把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式；利用的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了；x2+px+q+1=0pAB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程，解方程即可求出p．【详解】解：证明：

由题意得∵一元二次方程

，即 ；的判别式 ，由 得 ，∴一元二次方程∴抛物线【点睛】

有两个不相等的实根，与轴有两个交点；考查了一元二次方程的解，抛物线与轴的交点情况与判别式的关系，圆的知识等，综合性比较强，难度较大.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点，且与xy轴分别相交于（-0（0-）点．AB的函数解析式；若有一抛物线的对称轴平行于y，顶点CM上，开口向下，且经过点B线的函数解析式；设xDEPS

= S ？若存在，△PDE △ABC请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（）解析式为y﹣x﹣（）详见解析）详见解析．【解析】（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙MM为AB（﹣，，则可确定（﹣，，然后利用顶点式求出抛物线解析式；（3通过解方程﹣（x+4+2=0得到（0（20利用SAB=S△AC+S△BCM可求出S△AB=10，设（，﹣2﹣4﹣6，所以（2+﹣24﹣6|= 20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标【试题解析（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+，把（8，﹣6）代入得 解得 ，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；科网存在．当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴（6E（20，S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为

，点坐标为 ，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．求图象经过，，三点的抛物线的解析式；设点为所求抛物线的顶点，试判断直线 与 的关系，并说明理由．（1）【解析】【分析】

（2）直线 与 相切，理由见解析（1）已知ABCOC的长度，即可求出点C（）根据抛物线解析式求出点M的坐标，分别求出MCCM的长PC⊥MCMC.【详解】（）连接A、B网故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)，代入C点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，故抛物线的解析式为(x+8)(x﹣2)= +x﹣4；M(﹣3，﹣

+x﹣4= ﹣；)，又∵C(0﹣4)，P(﹣3，0)，∴MP= ，PC=5，MC= ，∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC与⊙P相切．学科%网【点睛】.13．如图，已知CxA(1,0)B(3,0)ymx2bxc（m＞0）经过AB两点，顶点为。yxC.B O ADP求抛物线与y轴的交点D的坐标（用m的代数式表示；当m为何值时，直线PD与圆C相切？联结PBPDBD，当m＝1时，求∠BPD的正切值。（）(0,m)（2）m

3）tanBPD33【解析】（1）把(1,0)、B(3,0)代入抛物线ymx2bxc即可得到c与m的关系，从而求得抛物y轴的交点D的坐标；根据切线的性质结合函数图象上点的坐标的特征即可求得结果；先把m=1代入函数关系式得到点DP.（1）∵抛物线ymx2bxc的图象过点A(1,0)、B(3,0)∴mbc∴9mc

，解得c3m∴抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,3m)；（3）如图所示：当m＝1时，ymx2bxcx22x3则D的坐标为，-P点坐标为，-）∴tanBPD3.考点：二次函数的综合题点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意.y点坐标，－．y

x2bxc与x轴的两个交点A，与y轴交于点A点坐标为4，C2B O A xCD求抛物线的解析式；（不写作法，保留作图痕迹M的圆心M的坐标；【答案(1) y【解析】

1x2x4;(4分);(2)2,N(1,-1)(2分);2考点：二次函数的综合题点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键1已知直线y3xb与抛物线yax2交于点A， ，与y轴交于点．14 4求抛物线的解析式和点C的坐标；把）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移m个单位（m＞0，抛物线与x轴交于PQ点，过P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求m的值；如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0，抛物线与x轴交于PQ两点，过PQ三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n明理由．（1）y4【解析】

x2，（0，-2）m1（）最小值为，n341 3（1）把A1，

）分别代入直线y xb与抛物线yax2，即可求得结果；学￥科网4 4先根据平移的特征得到平移后的函数关系式，再根据直径所对的圆周角是直角即可得到结果；先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴．因此过CP、Q三点的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，那么圆心到CPQ的长，如果设对称轴与x轴的交点E，那么可表示出PE的长，根据勾股定理即可确定平移的距离．（2）y

1(x2)2m，4由题意得，此时抛物线的图象经过原点，，则14m0，解得m1；4考点：本题考查的是二次函数的综合题网16．已知抛物线的顶点为0，）且与x轴交于（，，．直接写出抛物线解析式；如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与xAB线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．（）y﹣x+。（2）①如图，连接CE，CD，②存在k=2 2，能够使得点OPD三点恰好在同一条直线上。理由如下：设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，k由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1=2，x2=0（不合题意舍去。x=2

1时，y=﹣k2+4。4k 1∴点P的坐标是（，﹣k2+。2 4设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=4。k∴直线OD的解析式为y=4x。kk 1 4 1 4 k若点P（，﹣k2+4）在直线y=2 4

x上，得﹣k2+4=4 k

，解得k=±2 2（负值舍去。∴当k=2 2时，OPD三点在同一条直线上。【解析】（1）∵抛物线的顶点为，，∴可设抛物线解析式为y=a+4。又∵抛物线过点，00=4a+，解得a1。∴抛物线解析式为y﹣x+4（2）①连接CE，CD，根据切线的性质得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后Rt△CDO，得出OC=4 3，则k=OC=4 3。3 3②设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，先求出k 1 4交点P的坐标是（

，﹣k2+，再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y= x，然后将点P的坐标4 k代入y=4x，即可求出k的值。k已知抛物线y=ax2+bx+cx=01；且在直线y=24.求此抛物线的解析式；P是抛物线的任意一点，记点PXd1P与点F（0，2）d2，猜想d1、d2的大小关系，并证明；PF交此抛物线于另一点Q（P点PQx明理由。【答案】（1）求此抛物线的解析式：y=（2）猜想：d1="d"2.设d的坐标为（x,0.25x2+1）d1==｜0.25x2+1|∴d1=(3)以PQ为直径的圆与x轴相切设Q到x轴的距离为，到F根据（2）的结论，有m=n，过PQ的中点作x的垂线，设其长度为易得h=m+1，同时有=h2#科网故以PQ为直径的圆与x轴相切.【解析】由x=0时，有最小值为1得）点经过抛物线，由在直线y=2上截得的线段长为4得出2、（-2，2）点经过抛物线，把这三点代入求出抛物线的解析式；由勾股定理即可d1= ；由的结论，找PQx轴的距离与PQ的大小关系，容易证得两者相等；故以PQ为直径的圆与x轴相切．在平面直角坐标系中，直线y3x1yB，交xAy1x2bxc经4 2过点B，与直线y3x1交于点C(4,2)．4求抛物线的解析式；如图，横坐标为mMBC上方的抛物线上，过点MME//yBCE，以ME为直径的圆交直线BC于