卫生统计学专题六：总体均数与总体率的估计

专题六总体均数与总体率的估计样本均数〔或样本率〕不能直接作为总体均数〔或总体率〕的估计，而应该考虑抽样误差的存在，借助抽样分布对总体均数〔或总体率〕做出估计。一、均数的抽样误差由个体变异产生的，随机抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差。在抽样研究中，抽样误差是不可防止的。二、样本均数的分布及标准误⒈样本均数的分布：服从正态分布，样本均数大局部分布在总体均数的左右，中间多，两边少，左右根本对称。⒉标准误样本均数的标准差标准误σxσx说明个样本均数围绕总体均数的离散程度，可用来反映样本均数的抽样误差的大小。在抽样研究中，总体标准差常常未知，一般用样本标准差作为总体标准差的估计值。理论公式： x n

s实际公：s x n注：⒈σx性越小。σx靠性越大。⒉标准差与标准误的区别：①标准差表示个体差异的大小；标准误描述样本均数的变异程度，说明抽样误差的大小。②标准差描述资料的频数分布状况，可用于制定医学参考值范围；而标准误用于总体均数的区间估计和假设检验。n〔μ，σN〔μ，σx⒋标准误的大小与标准差σn的平方根成反比。在实际工作中，可通过适当增加样本含量来减小抽样误差。三、t分布根据数理统计和中心极限定理：从均数为μ，标准差为σnx均数为μ，标准差为σ／n的正态分布；即使从均数为μ，标准差为σ的偏态总体中随机抽样，当样本含量足够大时，样本均数的分布逐渐逼近于均数为μ，标准差为σx的正态分布。xxzN〔μ，σxN〔0,1z变换而是t变换。理论证明该统计量服从自由度为n-1的t分布。⒈t分布曲线与分布的特征如右图，t分布的特征有：

xt= sx

xu= sn

υ=n-1⑴单峰分布，在t=0处最高，且以0为中心左右对称。⑵不同自由度对应不同的t分布，t分布曲线是一簇曲线。⑶υ越小，t值越分散，曲线越平阔，尾部越高；随着υ增大，t值越集中，曲线越尖峭，尾部越低。⑷υ趋于∞时，t分布逼近标准正态分布〔z分布〕。【说明】⒈t分布的极限分布为z分布。⒉t分布不是一条曲线，是一簇曲线，不同ν曲线下面积的分布是不同的，tt同面积。⒊t分布中，无论自由度为多少时，t分布曲线下的面积都为1。⒉t界值表t分布曲线下的尾部面积〔即概率P〕与横轴tt4t界值表：横标目为自由度υ，纵标目为概率P。t界值：表中数字表示当υ和P确定时，单侧或双侧尾部面积Pt假设P等于某预指定的α，那么：单侧尾端概率(one-tailedprobability)t界值，即单侧尾部面积Pt界值用tα,υ表示。(two-tailedprobability)t界值，即两侧尾部面积Pt界值用tα/2,υ表示。⒊t分布规律单侧：P〔t≤-tα,υ〕=α或P〔t≥tα,υ〕=α。双侧：P〔t≤-tα/2,υ〕＋P〔t≥tα/2,υ〕=α，那么图中非阴影局部面积的概率为P〔-tα/2,υ＜t＜tα/2,υ〕=1-α从t界值表可以看出：⑴自由度相同时，t界值越大其对应的P值越小，反之亦然。⑵概率P〔或尾部面积〕相等时，υ越大，t界值越小。⑶t界值相等时，双侧概率为单侧概率的两倍。⑷υtz界值。例如，t0.05/20.05/2=1.96四、总体均数的估计统计推断的内容：参数估计〔包括点估计与区间估计〕和假设检验。参数估计：指用样本指标〔统计量〕估计总体指标〔参数〕。⒈点估计●方法：将样本统计量直接作为总体参数的估计值。●缺点：未考虑抽样误差的影响，估计的正确程度很难评价。⒉区间估计●方法：按事先给定的概率〔1-αCI〔1-α〕：可信度或置信度，也可表示为100〔1-α〕%，常取95%可信区间通常由两个可信限或置信限表示，较小者称为下限〔U⒊总体均数可信区间的计算⑴z分布法①σ时

x

/ nN〔0,1/ n

＜z＜z

〕=1-α，代入z通过推导可得：α/2 α/2总体均数μ双侧可信区间为〔xz ，xz 〕或简写为xz /2 x /2 x /2 x单侧可信区间为：μ＞xz 或μ＜xz x x②σ未知时，但n足够大〔n＞50〕时，s 接近 ，t分布逼近z分布，那么x x总体均数μ双侧可信区间为〔xz s，xz s〕或简写为xz s/2x /2x /2x单侧可信区间为：μ＞xzsx或μ＜xzs x⑵t分布法

x t tσ未知时，t= sx

n-1t分布，此时P〔-

α/2,υ〕=1-α，代入t通过推导可得：总体均数μ双侧可信区间为〔xt s，xt s〕或简写为xt s/x /x /2, x单侧可信区间为：μ＞xt s, x

或μ＜xt s, x【说明】当σ未知时，无论n是否足够大，可信区间均可采用t分布法计算，采用t界值计算的可信区间更加确切。⒋总体均数的95%可信区间的含义95%95%五、二项分布对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与A之一，在每次试验中出现A的概率是常数π〔0＜π＜1〕，因而出现对立事件A的概率是1-π，那么称这一串重复的独立试验为n重贝努力试验，简称Bernolli试验。Bernolli试验条件：①每次试验只有两种互斥的结果；②在相同条件下独立重复n次试验，所谓“独立〞即各次实验结果互不影响；③每次试验中A发生的概率都相同，各次试验条件相同。⒈二项分布的概念nxAx0,1,2,…,n概率函数为P〔x=k〕=C

kk)nk k=0,1,2,…,n n

n!k!n (nk)!k!X服从参数为n和π的二项分布，记为X~Bn，π⒉二项分布的概率⑴二项分布是一种离散型概率分布。 ⑵二项分布的概率之和等于1，即k0

kk)nk=[π+〔1-πn⑶单侧累积概率：m例阳性：P〔〕

mk

Ckk)nkn至少m例阳性：P〔x≥m〕=1-P〔x≤m-1〕⒊二项分布的均数与标准差设X~B〔n，π〕，那么有阳性结果发生数X的总体均数μ=nπ；总体方差2n) 总体标准差 n根据中心极限定理，n较大，nπ与n1-π〕较接近时，二项分布接近于正态分布；⑵当n→∞时，二项分布B〔n，π〕的极限分布是总体均数位nπ，总体方差为nπ〔1-π〕的正态分布N[nπ，nπ〔1-π〕]。六、Poisson分布⒈Poisson分布的概念 k假设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,其概率分布为〔x=k= e

，k=0,1,2,…；那么称x服从参数为μ的Poisson分布，记为X~Ⅱ〔μ。 k!k为观察单位中某稀有时间发生的次数；μ＞0，为某一常数；e=2.7182…是自然对数的底数。⒉Poisson分布的应用泊松分布是一种重要的离散型概率分布，用于描述在单位时间或空间内随机事件发生的次数。特点：罕见事件〔发生概率很小〕而观察例数n很大的二项分布，可将较难计算的二项分布转换为泊松分布去处理。μ为泊松分布所依赖的唯一参数，表示单位时间〔或单位面积、单位空间〕内某随机事件平均发生数，即总体均数。⒊Poisson分布的图形μ=nπμ值越小，分布越不对称，随μ的增大，Poisson注：当μ=20时，泊松分布接近于正态分布，在实际工作中，当μ≥20时，就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。⒋Poisson分布的特征⑴总体均数与总体方差相等。⑵可加性：m个互相独立的随机变量X1,X2,…,Xm分别服从μ1,μ2,…,μm的泊松分布，那么其和x1+x2+…+xm也服从均数为μ1+μ2+…+μm的泊松分布。可加性的应用：将假设干个相互独立的小观察单位合并成一个大的观察单位，从而使均数μ≥20，以便将服从泊松分布的资料按正态分布近似处理。七、总体率的估计抽样资料计算样本率不能直接代替总体