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文档简介
专题六总体均数与总体率的估计样本均数〔或样本率〕不能直接作为总体均数〔或总体率〕的估计,而应该考虑抽样误差的存在,借助抽样分布对总体均数〔或总体率〕做出估计。一、均数的抽样误差由个体变异产生的,随机抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差。在抽样研究中,抽样误差是不可防止的。二、样本均数的分布及标准误⒈样本均数的分布:服从正态分布,样本均数大局部分布在总体均数的左右,中间多,两边少,左右根本对称。⒉标准误样本均数的标准差标准误σxσx说明个样本均数围绕总体均数的离散程度,可用来反映样本均数的抽样误差的大小。在抽样研究中,总体标准差常常未知,一般用样本标准差作为总体标准差的估计值。理论公式: x n
s实际公:s x n注:⒈σx性越小。σx靠性越大。⒉标准差与标准误的区别:①标准差表示个体差异的大小;标准误描述样本均数的变异程度,说明抽样误差的大小。②标准差描述资料的频数分布状况,可用于制定医学参考值范围;而标准误用于总体均数的区间估计和假设检验。n〔μ,σN〔μ,σx⒋标准误的大小与标准差σn的平方根成反比。在实际工作中,可通过适当增加样本含量来减小抽样误差。三、t分布根据数理统计和中心极限定理:从均数为μ,标准差为σnx均数为μ,标准差为σ/n的正态分布;即使从均数为μ,标准差为σ的偏态总体中随机抽样,当样本含量足够大时,样本均数的分布逐渐逼近于均数为μ,标准差为σx的正态分布。xxzN〔μ,σxN〔0,1z变换而是t变换。理论证明该统计量服从自由度为n-1的t分布。⒈t分布曲线与分布的特征如右图,t分布的特征有:
xt= sx
xu= sn
υ=n-1⑴单峰分布,在t=0处最高,且以0为中心左右对称。⑵不同自由度对应不同的t分布,t分布曲线是一簇曲线。⑶υ越小,t值越分散,曲线越平阔,尾部越高;随着υ增大,t值越集中,曲线越尖峭,尾部越低。⑷υ趋于∞时,t分布逼近标准正态分布〔z分布〕。【说明】⒈t分布的极限分布为z分布。⒉t分布不是一条曲线,是一簇曲线,不同ν曲线下面积的分布是不同的,tt同面积。⒊t分布中,无论自由度为多少时,t分布曲线下的面积都为1。⒉t界值表t分布曲线下的尾部面积〔即概率P〕与横轴tt4t界值表:横标目为自由度υ,纵标目为概率P。t界值:表中数字表示当υ和P确定时,单侧或双侧尾部面积Pt假设P等于某预指定的α,那么:单侧尾端概率(one-tailedprobability)t界值,即单侧尾部面积Pt界值用tα,υ表示。(two-tailedprobability)t界值,即两侧尾部面积Pt界值用tα/2,υ表示。⒊t分布规律单侧:P〔t≤-tα,υ〕=α或P〔t≥tα,υ〕=α。双侧:P〔t≤-tα/2,υ〕+P〔t≥tα/2,υ〕=α,那么图中非阴影局部面积的概率为P〔-tα/2,υ<t<tα/2,υ〕=1-α从t界值表可以看出:⑴自由度相同时,t界值越大其对应的P值越小,反之亦然。⑵概率P〔或尾部面积〕相等时,υ越大,t界值越小。⑶t界值相等时,双侧概率为单侧概率的两倍。⑷υtz界值。例如,t0.05/20.05/2=1.96四、总体均数的估计统计推断的内容:参数估计〔包括点估计与区间估计〕和假设检验。参数估计:指用样本指标〔统计量〕估计总体指标〔参数〕。⒈点估计●方法:将样本统计量直接作为总体参数的估计值。●缺点:未考虑抽样误差的影响,估计的正确程度很难评价。⒉区间估计●方法:按事先给定的概率〔1-αCI〔1-α〕:可信度或置信度,也可表示为100〔1-α〕%,常取95%可信区间通常由两个可信限或置信限表示,较小者称为下限〔U⒊总体均数可信区间的计算⑴z分布法①σ时
x
/ nN〔0,1/ n
<z<z
〕=1-α,代入z通过推导可得:α/2 α/2总体均数μ双侧可信区间为〔xz ,xz 〕或简写为xz /2 x /2 x /2 x单侧可信区间为:μ>xz 或μ<xz x x②σ未知时,但n足够大〔n>50〕时,s 接近 ,t分布逼近z分布,那么x x总体均数μ双侧可信区间为〔xz s,xz s〕或简写为xz s/2x /2x /2x单侧可信区间为:μ>xzsx或μ<xzs x⑵t分布法
x t tσ未知时,t= sx
n-1t分布,此时P〔-
α/2,υ〕=1-α,代入t通过推导可得:总体均数μ双侧可信区间为〔xt s,xt s〕或简写为xt s/x /x /2, x单侧可信区间为:μ>xt s, x
或μ<xt s, x【说明】当σ未知时,无论n是否足够大,可信区间均可采用t分布法计算,采用t界值计算的可信区间更加确切。⒋总体均数的95%可信区间的含义95%95%五、二项分布对于n次独立的试验,如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与A之一,在每次试验中出现A的概率是常数π〔0<π<1〕,因而出现对立事件A的概率是1-π,那么称这一串重复的独立试验为n重贝努力试验,简称Bernolli试验。Bernolli试验条件:①每次试验只有两种互斥的结果;②在相同条件下独立重复n次试验,所谓“独立〞即各次实验结果互不影响;③每次试验中A发生的概率都相同,各次试验条件相同。⒈二项分布的概念nxAx0,1,2,…,n概率函数为P〔x=k〕=C
kk)nk k=0,1,2,…,n n
n!k!n (nk)!k!X服从参数为n和π的二项分布,记为X~Bn,π⒉二项分布的概率⑴二项分布是一种离散型概率分布。 ⑵二项分布的概率之和等于1,即k0
kk)nk=[π+〔1-πn⑶单侧累积概率:m例阳性:P〔〕
mk
Ckk)nkn至少m例阳性:P〔x≥m〕=1-P〔x≤m-1〕⒊二项分布的均数与标准差设X~B〔n,π〕,那么有阳性结果发生数X的总体均数μ=nπ;总体方差2n) 总体标准差 n根据中心极限定理,n较大,nπ与n1-π〕较接近时,二项分布接近于正态分布;⑵当n→∞时,二项分布B〔n,π〕的极限分布是总体均数位nπ,总体方差为nπ〔1-π〕的正态分布N[nπ,nπ〔1-π〕]。六、Poisson分布⒈Poisson分布的概念 k假设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,其概率分布为〔x=k= e
,k=0,1,2,…;那么称x服从参数为μ的Poisson分布,记为X~Ⅱ〔μ。 k!k为观察单位中某稀有时间发生的次数;μ>0,为某一常数;e=2.7182…是自然对数的底数。⒉Poisson分布的应用泊松分布是一种重要的离散型概率分布,用于描述在单位时间或空间内随机事件发生的次数。特点:罕见事件〔发生概率很小〕而观察例数n很大的二项分布,可将较难计算的二项分布转换为泊松分布去处理。μ为泊松分布所依赖的唯一参数,表示单位时间〔或单位面积、单位空间〕内某随机事件平均发生数,即总体均数。⒊Poisson分布的图形μ=nπμ值越小,分布越不对称,随μ的增大,Poisson注:当μ=20时,泊松分布接近于正态分布,在实际工作中,当μ≥20时,就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。⒋Poisson分布的特征⑴总体均数与总体方差相等。⑵可加性:m个互相独立的随机变量X1,X2,…,Xm分别服从μ1,μ2,…,μm的泊松分布,那么其和x1+x2+…+xm也服从均数为μ1+μ2+…+μm的泊松分布。可加性的应用:将假设干个相互独立的小观察单位合并成一个大的观察单位,从而使均数μ≥20,以便将服从泊松分布的资料按正态分布近似处理。七、总体率的估计抽样资料计算样本率不能直接代替总体
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