2021-2022学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试题及答案解析

第=page2525页，共=sectionpages2525页2021-2022学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列方程中没有实数根的是(

)A.x2−2x+2=0 B.x2−4x+4=0 C.矩形、菱形都具有的性质是(

)A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分

C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等已知反比例函数y=kx经过点A(3,2)、B(−1,m)，则m的值为(

)A.−6 B.−23 C.23身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m，则旗杆高为(

)A.14米 B.16米 C.18米 D.20米在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为(

)A.14 B.13 C.12如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是(

)

A.BC2=AC⋅CD B.ABAC用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要正方体个数为a，最多需要正方体个数为b，则a+b的值为(

)A.14 B.15 C.16 D.17已知5+12是一元二次方程x2−x+m=0A.5−12 B.3−52 C.2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”(如图)，体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，若AG=BH=CE=DF=a，AF=BG=CH=DE=b，且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的值为(

)A.2−3 B.2 C.2 D.如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF与DE交于点M、与DB交于点G，则下列结论：①AF⊥DE；②AE=EG；③AM=23MF；④S△AEM

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）已知ab=32，那么a+ba−b矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=40°，则∠AOB=______°.一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：实验次数100200300400摸出红球78161238321则袋中原有红色小球的个数约为______个．如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A(−1,2)

已知2x2−3x−2=0.则x2如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，DE=14AD，BF=14BC，连接EF交菱形的对角线AC于点O

如图，△ABC中AB=AC，A(0,8)，C(6,0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）解方程：(x+3)(x−3)=x−3四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题6.0分)

小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A(餐厅)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．

(1)若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为______．

(2)若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明．(本小题6.0分)

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=22，D、E为AB上两点，且∠DCE=45°．

(1)求证：△ACE∽△BDC；

(2)若AD=1，求DE的长．(本小题8.0分)

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于C、D两点，与x、y轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB=4，CE=3，CEBE=12．

(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式．(本小题8.0分)

为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．

(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？

(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？(本小题8.0分)

如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．

(1)在图中画出小明的位置(用线段FG表示)．

(2)若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．(本小题10.0分)

如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y=kx的图象过AB上一点E，BE=2，AEOE=35．

(1)求k的值．

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．

(3)点P是直线OF(本小题10.0分)

如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且APAE=12，连接BE．

(1)当DP=2时，求BE的长．

(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．

(3)如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A.Δ=(−2)2−4×1×2=−4<0，则方程没有实数解，所以A选项符合题意；

B.Δ=(−4)2−4×1×4=0，则方程有两个相等的实数解，所以B选项不符合题意；

C.方程化为x2−2x=0，Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，则方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；

D.方程化为x2−2x−2=0，Δ=(−2)2−4×1×(−2)=12>0，则方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．

故选：A2.【答案】B

【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，

∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，

故选：B．

由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

3.【答案】A

【解析】解：∵反比例函数y=kx经过点A(3,2)，

∴k=3×2=6，

∴y=6x，

将点B(−1,m)代入反比例函数解析式得：

m=−6，

故选：A．

根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案．

4.【答案】D

【解析】解：设旗杆高为x m．

根据在同一时刻身高与影长成比例可得：1.61.2=x15，

故x=20．

答：旗杆高为20米，

故选：D．

5.【答案】C

【解析】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，

∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为24=12，

故选：C．

画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．

此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率6.【答案】B

【解析】解：∵BC2=AC⋅CD，

∴BCAC=CDBC，

又∵∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，

∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，

∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选D7.【答案】C

【解析】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，

由主视图可得第一列和第三列最少有2个正方体，最多有4个正方体，

那么最少需要5+2=7个正方体，即a=7．

最多需要5+4=9个正方体，即b=9．

则a+b=7+9=16．

故选：C．

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．

此题考查学生对图形的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

8.【答案】C

【解析】解：∵5+12是一元二次方程x2−x+m=0的一个根，

设另一根为a，

∴a+5+12=1，

解得：a=1−5+129.【答案】D

【解析】解：∵AG=BH=CE=DF=a，AF=BG=CH=DE=b，

∴正方形EFGH的面积为(a−b)2，正方形ABCD的面积为(a2+b2)，

∵正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，

∴(a−b)2=12(a2+b2)，

∴a2−4ab+b2=0，

∴ab−4+ba=0，

设ab=x，

∴x−4+1x=0，

∴x2−4x+1=0，

解得10.【答案】B

【解析】解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，

∴AE=BE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，AD=BA，

∴△DAE≌△ABF(SAS)，

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠BAF+∠AED=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥DE，故①正确，符合题意；

如图，过点E作EH//AF，则∠EHB=∠AGB=∠GMD+∠MDG>90°，

∵点E是AB的中点，

∴点H是BG的中点，

∴△EHB与△EHG不全等，

∴BE≠EG，

即AE≠EG；故②错误，不符合题意；

∵BF=AE=BE，AB=2AE，

∴AF=5BF=5AE，

∵∠EAM+∠AEM=90°，∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠AEM=∠AFB，

∵∠AME=∠ABF=90°，

∴△AEM∽△AFB，

∴AMAB=AEAF=EMBF，即AM2AE=AE5AE，

∴AM=255AE，

∴MF=AF−AM=5AE−255AE=355AE，

∴AM=23MF，故③正确，符合题意；

∵∠AEM+∠EAM=90°，∠EAM+∠DAM=90°，

∴∠AEM=∠DAM，

∵∠EMA=∠AMD=90°，

∴△AEM∽△DAM，

∴S△AEMS△ADM=(AEAD)2=(12)2=14，故④正确，符合题意；

故选：B．

先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE=BF、∠DAE=∠ABF=90°、AD=BA，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAF+∠AED=90°判定①；过点E作EH//AF11.【答案】5

【解析】解：∵ab=32，

∴设a=3k，b=2k，

则a+ba−b=3k+2k3k−2k=5．

故答案为：5．

12.【答案】80

【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=40°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=40°+40°=80°．

故答案为：80．

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

13.【答案】40

【解析】解：由图表可得摸到红球概率约为45，

设袋中原有红色小球的个数为x，则xx+10=45，

解得：x=40，

经检验x=40是原方程的解，

答：袋中原有红色小球的个数约为40个．

故答案为：40．

根据图表求出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x，根据概率公式列出算式，然后求解即可．14.【答案】−1<x<0或x>1

【解析】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为(1,−2)，

由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；

则−1<x<0或x>1．

故答案为：−1<x<0或x>1．

易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．

考查一次函数和反比例函数的交点问题；正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称是本题的关键．

15.【答案】174【解析】解：∵2x2−3x−2=0，x≠0，

∴x−1x=32，

∴(x−1x)2=94，

x2−2+1x2=916.【答案】53【解析】解：连接CE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形，∠DAC=∠ACB，

∴S△ADC=34AD2=43，

∵DE=14AD，BF=14BC，

∴AE=CF，

在△AEO和△CFO中，

∠AOE=∠COF∠EAO=∠FCOAE=CF,

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴AO=CO，

∵DE=14AD，

∴S△CDE=14S△ADC=3，S△ACE=3317.【答案】(0,9【解析】解：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，

∵点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，

∴t=AD53v+CDv=1v(AD53+CD)，

∵∠AHD=∠AOC=90°，∠DAH=∠CAO，

∴△ADH∽△ACO，

∴ADAC=DHCO，

∵A(0,8)，C(6,0)，

∴OC=6，OA=8，

∴AC=10，

∴AD10=DH6，

∴DH=AD53，

∴t=1v(DH+CD)=1v(DH+BD)，

当B、D、H点三点共线时，t=1v×BH，此时t有最小值，

∵∠BDO=∠ADH，

∴∠DBO=∠OAC，

∵∠BOD=∠AOC=90°，

∴△BDO∽△ACO，

∴ODBO=OCAO，即OD6=68，

∴OD=92，

∴D(0,92)，

故答案为：18.【答案】解：(x+3)(x−3)−(x−3)=0，

(x−3)[(x+3)−1]=0．

即(x−3)(x+2)=0．

∴x−3【解析】先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解．

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．

19.【答案】(1)13，

解：(2)画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种：BC、CB，

∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率=2【解析】解：(1)若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为13，

故答案为：13，

(2)见答案．

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种，再由概率公式求解即可．

此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=20.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠A=∠B=12(180°−90°)=45°，

又∵∠ACE=∠DCE+∠ACD=45°+∠ACD=∠A+∠ACD=∠BDC，

∴△ACE∽△BDC；

(2)解：在Rt△ACB中，CA=CB=22，

由勾股定理得，AB2=CA2+CB2，

∴AB=(22)2+(22)2=4，

设DE长为x，

∵AD=1，

∴BD=AB−AD=3，AE=1+x，【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B，由外角性质可得出：∠ACE=45°+∠ACD=∠A+∠ACD=∠BDC，由此可证明△ACE∽△BDC；

(2)在Rt△ACB中，由勾股定理求出AB=4，由相似三角形的性质得出ACBD=AEBC，可求出DE的长，则可得出答案．

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE21.【答案】解：(1)∵CEBE=12，CE=3，

∴BE=2CE=6，

∵OB=4

∴OE=BE−OB=2，

∴C(−2,3)，B(4,0)

将C(−2,3)代入y=kx得：k=−2×3=−6；

将C(−2,3)，B(4,0)代入y=ax+b得−2a+b=34a+b=0，解得a=−12b=2，

∴一次函数的解析式为y=−12x+2，反比例函数的解析式为y=−6x；

(2)【解析】(1)根据已知条件求出B、C点坐标，用待定系数法求出直线BC和反比例函数的解析式；

(2)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出点B、C、D的坐标是解此题的关键．

22.【答案】解：(1)40+(1000−850)÷50×10=70(件)．

答：售价为850元时，当天的销售量为70件；

(2)方法一：设每件服装售价x元，

(x−500)[(40+1050(1000−x)]=40×(1000−500)+4000,

化简得x2−1700x+720000=0，

解得：x1=800，x2=900，

∵使顾客得到尽可能大的实惠，

∴x=800．

答：每件售价为800元．

方法二：设每件服装降价x元．

(1000−500−x)(40+1050x)=40×(1000−500)+4000，

解得：x1=100，x2=200，【解析】(1)每降低50元多售出10件，可知售价为850元时，降低(1000−850)元，多售出[(1000−850)÷50×10]件，进而即可列出算式求解．

(2)利润=售价−进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．

考查了一元二次方程的应用，掌握利润=售价−进价，根据一件商品的利润乘以销售量=总利润列出方程是解决问题的关键．

23.【答案】解：(1)如图，

作太阳光线BE，过点C作BE的平行线交DE于点F，过点F作FG⊥AC，

则FG就是所求作的线段．

(2)∵上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，

∴CG=2FG=3，

∵FG//CD，

∴∠EFG=∠D，∠EGF=∠ECD，

∴△EFG∽△EDC，

∴FGCD=EGEC，

∴1.5CD=25，

解得：CD=3.75(【解析】(1)作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的位置；

(2)易得小明的影长，利用△EFG∽△EDC可得路灯CD的长度．

综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．

24.【答案】(1)证明：∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB，∠OAB=90°，

∵AEOE=35，

设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，

∵AE+BE=AB，

即3x+2=4x，

∴x=2，

∴AE=3x=6，AO=4x=8，

∴点E坐标为(6,8)，

∴k=6×8=48；

(2)OF⊥DF，

证明：由(1)知，反比例函数y=48x，

将x=8代入y=48x得y=6，

∴D(8,6)

∴BD=BC−CD=8−6=2，

∵点F是线段AB的中点，

∴AF=BF=4，

∵AFAO=12=BDBF，∠OAF=∠FBD=90°

∴△AOF∽△BFD，

∴∠AOF=∠BFD，

∴∠AFO+∠AOF=∠AFO+∠BFD=90°，

∴∠OFD=180°−(∠AFO+∠BFD)=90°，

∴OF⊥DF；

(3)延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，

∵四边形OABC为正方形，

∴∠FAG=∠BAO=∠B=90°，

∵∠AFG=∠BFD，AF=BF，

∴△AFG≌△BFD(ASA)，

∴AG=BD=2，

由(2)得OF⊥DF，

∴OF为线段DG的垂直平分线，

∴PG=PD，

∴PD+PC=PG+PC=CG，

在正方形OABC中，AO=OC=8，

∴OG=AO+AG=10，

∴C(8,0)，G(0,10)，

设直线CG的解析式为y=mx+n，代入C(8,0)，G(0,10)，

得8m+n=0n=10，

解得m=−54n=10，

∴直线CG的解析式为y=−54x+10，

设直线OF为y=ax，代入F(4,8)，

∴a=2，

∴直线OF【解析】(1)设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，则3x+2=4x，求出x即可求点E