苏教版高二数学选修2 2 14 导数在实际生活中的应用课件

1．4导数在实际生活中的应用第1章导数及其应用1．4导数在实际生活中的应用第1章导数及其应用学习导航第1章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用．(难点)2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点、难点)学法指导1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.学习导航第1章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问1.生活中经常遇到求______________、_________________、__________________等问题，我们通常把这些问题称为优化问题．(有时也可以称为最值问题)2.利用导数解决优化问题的实质是__________________．3．解决优化问题的基本思路利润最大用料最省效率最高建立数学模型1.生活中经常遇到求______________、_____4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．注意：根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值．4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题(

)(2)生活中的优化问题都必须利用导数解决(

)(3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点(

)√×√1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)√×√2．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．42．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为___3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_____________．0.03243．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0＜x＜0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.0324时，y′＞0；当0.0324＜x＜0.0486时，y′＜0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：(1)圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？(链接教材P35例1)面积、体积最值问题在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在极大值(极小值)，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有惟一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大值(或最小值)，这一点在解决实际问题中很有用．方法归纳1.

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？1.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图)，设计要求：储油罐的高度和圆柱底面半径相等，都为r米．市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍．设圆锥母线和底面所成角为θ(弧度)，总费用为y(元)．(1)将y表示成θ的函数关系式；(2)当θ为何值时，总费用y最小？(链接教材P35例2)成本最低(费用最省)问题要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数解析式是解题的关键．方法归纳2.

如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？2.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件利润(收益)最大问题利润(收益)最大问题苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单位为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．方法归纳3.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？3.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．又由已知条件可知，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0，30]．(2)根据(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在故当x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．x[0，2)2(2，12)12(12，30]f′(x)－0＋0－f(x)↘

极小值↗

极大值↘

故当x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？易错警示因忽视对应用问题中函数表达式的实际意义而致误现有一批货物由海上从A地运往B地，已苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件[错因与防范]

(1)易忽视函数的定义域为(0，35]，误认为当x＝40时取得最小值．(2)生活中的利润最大，用料最省，效率最高等应用问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能解决的一般数学问题，解答此类问题应注意结合实际问题的定义域，所得结果要有实际意义．[错因与防范](1)易忽视函数的定义域为(0，35]，误认4．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？4．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件1．4导数在实际生活中的应用第1章导数及其应用1．4导数在实际生活中的应用第1章导数及其应用学习导航第1章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用．(难点)2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点、难点)学法指导1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.学习导航第1章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问1.生活中经常遇到求______________、_________________、__________________等问题，我们通常把这些问题称为优化问题．(有时也可以称为最值问题)2.利用导数解决优化问题的实质是__________________．3．解决优化问题的基本思路利润最大用料最省效率最高建立数学模型1.生活中经常遇到求______________、_____4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．注意：根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值．4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题(

)(2)生活中的优化问题都必须利用导数解决(

)(3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点(

)√×√1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)√×√2．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．42．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为___3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_____________．0.03243．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0＜x＜0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.0324时，y′＞0；当0.0324＜x＜0.0486时，y′＜0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：(1)圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？(链接教材P35例1)面积、体积最值问题在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在极大值(极小值)，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有惟一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大值(或最小值)，这一点在解决实际问题中很有用．方法归纳1.

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？1.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图)，设计要求：储油罐的高度和圆柱底面半径相等，都为r米．市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍．设圆锥母线和底面所成角为θ(弧度)，总费用为y(元)．(1)将y表示成θ的函数关系式；(2)当θ为何值时，总费用y最小？(链接教材P35例2)成本最低(费用最省)问题要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数解析式是解题的关键．方法归纳2.

如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？2.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件利润(收益)最大问题利润(收益)最大问题苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件苏教版高二数学选修2214导数在实际生活中的应用课件方法归纳经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单位为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．方法归纳3.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？3.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．又由已知条件可知，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0，30]．(2)根据(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在故当x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．x[0，2)2(2，12)1