新版北师大九年级下22二次函数的图象与性质课件4

二次函数的图象与性质第4课时

二次函数的图象与性质2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=2(x－3)2

－5(2)y=－0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5）（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0）（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位.（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.（3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位.【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax²+bx+c的顶点式【探究新知】这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax²+bx+c的因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.结论顶点坐标公式因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.结论根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

【跟踪训练】根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：【跟踪训练【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x²+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流.y/mx/m

桥面

-5O10

5【例题】如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标（1）将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;y/m

x/m

桥面-50510由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.【解析】方法一（1）将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐y/m

x/m

桥面-50510（2）y/mx/m桥面-50510（2）（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二y/m

x/m

桥面-50510（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二y/m确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，0）.（2）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，-3）.（3）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，-1）.（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5,顶点坐标为（0.5，-2.25）.（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6,顶点坐标为（-6，27）.【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1.（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A.a+b=-1B.a-b=-1C.b<2a

D.ac<0【解析】选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0,∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；∵对称轴，∴b＞2a，故C错.1.（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】选C.

2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1，的值分别为（）3．（安徽·中考）若二次函数配方后为则【答案】选D.A.0，5B.0，1，的值分别为（4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.a＞0

B.c＜0C.b2－4ac＜0D.a＋b＋c＞0【答案】选D.

4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图xyOA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．（

莱芜·中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过()【答案】选D.xyOA.第一象限B.第二象限5．（莱芜·中考6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是

.【答案】6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²(a≠0)的关系1.相同点:(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最大(或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随x的增大而减小.【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2.不同点:(1)位置不同.(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.2.不同点:(1)位置不同.3.联系:(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位（当时向右平移，当时向左平移）,再沿对称轴整体上(下)平移||个单位(当>0时向上平移;当<0时,向下平移)得到的.3.联系:(a≠0)的图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

根据图形填表：３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行.——冰心希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催二次函数的图象与性质第4课时

二次函数的图象与性质2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=2(x－3)2

－5(2)y=－0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5）（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0）（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位.（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.（3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位.【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax²+bx+c的顶点式【探究新知】这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax²+bx+c的因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.结论顶点坐标公式因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.结论根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

【跟踪训练】根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：【跟踪训练【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x²+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流.y/mx/m

桥面

-5O10

5【例题】如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标（1）将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;y/m

x/m

桥面-50510由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.【解析】方法一（1）将函数y=x2+x+10配方,求得顶点坐y/m

x/m

桥面-50510（2）y/mx/m桥面-50510（2）（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二y/m

x/m

桥面-50510（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二y/m确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，0）.（2）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，-3）.（3）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1，-1）.（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5,顶点坐标为（0.5，-2.25）.（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6,顶点坐标为（-6，27）.【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点坐标为（1.（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A.a+b=-1B.a-b=-1C.b<2a

D.ac<0【解析】选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0,∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；∵对称轴，∴b＞2a，故C错.1.（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】选C.

2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1，的值分别为（）3．（安徽·中考）若二次函数配方后为则【答案】选D.A.0，5B.0，1，的值分别为（4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.a＞0

B.c＜0C.b2－4ac＜0D.a＋b＋c＞0【答案】选D.

4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图xyOA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．（

莱芜·中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过()【答案】选D.xyOA.第一象限B.第二象限5．（莱芜·中考6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是

.【答案】6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²(a≠0)的关系1.相同点:(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最大(或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随x的增大而增