2023学年山东省寿光市第二中学高考数学三模试卷(含解析)_第1页
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文档简介

2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.2.为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于、两点,(在、之间)与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.设函数的导函数,且满足,若在中,,则()A. B. C. D.4.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.5.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度6.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.7.已知集合,,则A. B.C. D.8.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.9.已知方程表示的曲线为的图象,对于函数有如下结论:①在上单调递减;②函数至少存在一个零点;③的最大值为;④若函数和图象关于原点对称,则由方程所确定;则正确命题序号为()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④10.已知,,分别是三个内角,,的对边,,则()A. B. C. D.11.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.12.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数在上仅有2个零点,设,则在区间上的取值范围为_______.14.已知函数若关于的不等式的解集是,则的值为_____.15.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.16.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进行业务培训,设来自甲公司的人数为,求的分布列及数学期望.18.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.19.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.(1)求椭圆的方程;(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.20.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.21.(12分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.22.(10分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.【题目详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【答案点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.2、D【答案解析】

过点作,可得出点为的中点,由可求得的值,可计算出的值,进而可得出,结合可知点为的中点,可得出,利用勾股定理求得(为双曲线的右焦点),再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【题目详解】如下图所示,过点作,设该双曲线的右焦点为,连接.,.,,,为的中点,,,,,由双曲线的定义得,即,因此,该双曲线的离心率为.故选:D.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求解,解题时要充分分析图形的形状,考查推理能力与计算能力,属于中等题.3、D【答案解析】

根据的结构形式,设,求导,则,在上是增函数,再根据在中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得到,再利用的单调性求解.【题目详解】设,所以,因为当时,,即,所以,在上是增函数,在中,因为,所以,,因为,且,所以,即,所以,即故选:D【答案点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、A【答案解析】

由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【题目详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.5、B【答案解析】

分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选B.点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.6、D【答案解析】

因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【答案点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.7、D【答案解析】

因为,,所以,,故选D.8、C【答案解析】

由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【题目详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【答案点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.9、C【答案解析】

分四类情况进行讨论,然后画出相对应的图象,由图象可以判断所给命题的真假性.【题目详解】(1)当时,,此时不存在图象;(2)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(3)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(4)当时,,此时为圆心在原点,半径为1的圆的一部分;画出的图象,由图象可得:对于①,在上单调递减,所以①正确;对于②,函数与的图象没有交点,即没有零点,所以②错误;对于③,由函数图象的对称性可知③错误;对于④,函数和图象关于原点对称,则中用代替,用代替,可得,所以④正确.故选:C【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的图象与性质,函数的零点概念,考查了数形结合的数学思想.10、C【答案解析】

原式由正弦定理化简得,由于,可求的值.【题目详解】解:由及正弦定理得.因为,所以代入上式化简得.由于,所以.又,故.故选:C.【答案点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,三角函数恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,属于中档题.11、A【答案解析】

因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【题目详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【答案点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.12、D【答案解析】

中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【题目详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【答案点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】

先根据零点个数求解出的值,然后得到的解析式,采用换元法求解在上的值域即可.【题目详解】因为在上有两个零点,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合,其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题,难度较难.对形如的函数的值域求解,关键是采用换元法令,然后根据,将问题转化为关于的函数的值域,同时要注意新元的范围.14、【答案解析】

根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.【题目详解】解:因为函数,关于的不等式的解集是的两根为:和;所以有:且;且;;故答案为:【答案点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.15、【答案解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【题目详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【答案点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.16、【答案解析】

根据题意画出图形,设,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面积公式,即可求解.【题目详解】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为.故答案为:.【答案点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及三角形相似的应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),乙公司影响度高;(2)见解析,【答案解析】

(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【题目详解】(1)由直方图知,,解得,由频数分布表中知:,解得.所以,甲公司的导游优秀率为:,乙公司的导游优秀率为:,由于,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在中的有人,乙公司旅游总收入在中的有2人,故的可能取值为1,2,3,易知:,;.所以的分布列为:123P.【答案点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,是一道中档题.18、(1)证明见解析;(2).【答案解析】

(1)令,求导,可知单调递增,且,,因而在上存在零点,在此取得最小值,再证最小值大于零即可.(2)根据题意得到在点处的切线的方程①,再设直线与相切于点,有,即,再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得,即,根据,转化为,,令,转化为要使得在上存在零点,则只需,求解.【题目详解】(1)证明:设,则,单调递增,且,,因而在上存在零点,且在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为.所以,即.(2),故,故切线的方程为①设直线与相切于点,注意到,从而切线斜率为,因此,而,从而直线的方程也为②由①②可知,故,由为正整数可知,,所以,,令,则,当时,为单调递增函数,且,从而在上无零点;当时,要使得在上存在零点,则只需,,因为为单调递增函数,,所以;因为为单调递增函数,且,因此;因为为整数,且,所以.【答案点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.19、(1);(2)【答案解析】

(1)又题意知,,及即可求得,从而得椭圆方程.(2)分三种情况:直线斜率不存在时,的斜率为0时,的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【题目详解】(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,,∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.又,解得.∴椭圆的方程为(2)由(1)可知圆的方程为,(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,此时(ii)当直线的斜率为零时,.(iii)当直线的斜率存在且不等于零时,设直线的方程为,联立,得,设的横坐标分别为,则.所以,(注:的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)由可得直线的方程为,联立椭圆的方程消去,得设的横坐标为,则..综上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范围是.【答案点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆方程是基础;通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组,应用一元二次方程根与系数,得到目标函数解析式,运用函数知识求解;本题是难题.20、(1)(2)点在以为直径的圆上【答案解析】

(1)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)设点,,则,,求出直线的方程,进而求出点的坐标,再利用中点坐标公式得到点的坐标,下面结合点在椭圆上证出,所以点在以为直径的圆上.【题目详解】(1)由题意可知,,解得,椭圆的标准方程为:.(2)设点,,则,,直线的斜率为,直线的方程为:,令得,,点的坐标为,,点的坐标为,,,,又点,在椭圆上,,,,点在以为直径的圆上.【答案点睛】本题主要考查了椭圆方程,考查了中点坐标公式,以及平面向量的基本知识,属于中档题.21、见解析【答案解析】试题分析:把不等式的左边写成形式,利用柯西不等式即证.试题解析:证明:∵,又,∴考点:柯西不等式22、(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【答案解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求

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