新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4422对数函数图象和性质的应用课件新人教A版必修第一册

第2课时对数函数的图象和性质的应用第2课时对数函数的图象和性质的应用关键能力·合作学习类型一对数函数性质在实际问题中的应用(数学运算)【典例】科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关.在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L=a·lg(a是常数)，其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米，它的强弱等级L=10分贝.关键能力·合作学习类型一对数函数性质在实际问题中的应用(数(1)已知生活中几种声音的强度如表：声音来源声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L/分贝10m90(1)已知生活中几种声音的强度如表：声音来源风吹落叶轻声耳语求a和m的值.(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.【思路导引】(1)代入表格中的已知数据求a和m的值.(2)列出不等式，利用对数函数的单调性求范围.求a和m的值.【解析】(1)将I0=1×10-12，I=1×10-11代入L=a·lg，得10=a·lg=a·lg10=a，即a=10，m=10·lg=10·lg100=20.(2)由题意得L≤50，得10lg≤50，得lg≤5，即≤105，即I≤105×10-12=10-7，答：此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.【解析】(1)将I0=1×10-12，I=1×10-11代入【解题策略】关于对数性质的应用首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最值、变化趋势等问题.【解题策略】【跟踪训练】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2

，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量的单位数.记v1=25m/s时耗氧量为O1，v2=5m/s时耗氧量为O2，则O1是O2的_______倍.

【跟踪训练】【解析】v=5log2

，当v1=25m/s时耗氧量为O1，则25=5log2

，即

=25，即O1=10×25，v2=5m/s时耗氧量为O2，5=5log2

，即=2，所以O2=10×2，所以=24=16，故O1是O2的16倍.答案：16【解析】v=5log2，当v1=25m/s时耗氧量为类型二反函数(数学运算)【题组训练】1.已知函数f(x)=2x的反函数为y=g(x)，则g的值为 (

)A.-1 B.1 C.12 D.2类型二反函数(数学运算)2.若f(x)为y=3-x的反函数，则f(x-1)的图象大致是(

)2.若f(x)为y=3-x的反函数，则f(x-1)的图象大致3.若函数g(x)是函数f(x)=，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为_______.

【解析】1.选A.因为由y=f(x)=2x，得x=log2y，所以原函数的反函数为g(x)=log2x，则g=log2=-1.3.若函数g(x)是函数f(x)=，x∈[-2，1]2.选C.由题意，f(x)与y=3-x=互为反函数，即f(x)=，故f(x-1)=(x-1)，所以f(x-1)的图象就是由f(x)=的图象向右平移一个单位得到.3.函数f(x)=，x∈[-2，1]的值域为，因为函数g(x)是其反函数，所以函数g(x)的定义域为.答案：

2.选C.由题意，f(x)与y=3-x=互为反函数，【解题策略】互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的定义域与值域互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.【解题策略】【补偿训练】函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数过点(9，2)，则a=_______.

【解析】由函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9，2)，可得y=ax图象过点(2，9)，所以a2=9，又a>0，所以a=3.答案：3【补偿训练】【解析】由函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函类型三对数函数性质的综合应用(逻辑推理)角度1单调区间、值域

【典例】(2020·杭州高一检测)函数y=(-x2+5x-6)的单调增区间为_______，值域为_______.

【思路导引】利用复合函数的单调性的符号法则“同增异减”求单调区间；先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域.类型三对数函数性质的综合应用(逻辑推理)【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，由y=为减函数，其中t=-x2+5x-6在上单调递减，故函数的单调增区间为，又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈，故y=(-x2+5x-6)∈[2，+∞).答案：

[2，+∞)【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，【变式探究】将本例中函数的底数变为2，试求该函数的单调增区间和值域.【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，由y=log2t为增函数，其中t=-x2+5x-6在上单调递增，故函数的单调增区间为，又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈，故y=log2(-x2+5x-6)∈(-∞，-2].故该函数的值域为(-∞，-2].【变式探究】角度2函数性质的综合应用

【典例】已知函数f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)(a>0，且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.(2)若f(x)>0，求x的取值范围.角度2函数性质的综合应用

四步内容理解题意条件：函数的解析式结论：(1)判断并证明奇偶性(2)解不等式思路探求(1)奇偶性的定义⇒奇偶性(2)f(x)>0⇒loga(10+x)>loga(10-x)⇒分情况解不等式四步内容理解条件：函数的解析式思路(1)奇偶性的定义⇒奇偶性新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4422对数函数图象和性质的应用课件新人教A版必修第一册【解题策略】解决综合性问题的关注点(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提.(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性.【解题策略】【题组训练】1.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是_______.

2.(2020·长春高一检测)已知函数f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)，a>0且a≠1.(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性.(2)若a>1，指出函数的单调性，并求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值.【题组训练】【解析】1.因为-x2+3x+4=所以有0<-x2+3x+4≤所以根据对数函数y=log0.4x的图象(图略)即可得到：log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4=-2，所以函数的值域为[-2，+∞).答案：[-2，+∞)【解析】1.因为-x2+3x+4=2.(1)函数f(x)是奇函数，证明如下，由题意知，解得-3<x<3，故函数f(x)的定义域为(-3，3)，关于原点对称.由f(-x)=loga(-x+3)-loga(3+x)=-f(x)，故函数f(x)是奇函数.(2)当a>1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)为增函数，则函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，故f(x)max=f(1)=loga2.2.(1)函数f(x)是奇函数，证明如下，【补偿训练】函数y=(x2-x-12)的单调增区间是_______.

【解析】由x2-x-12>0得x<-3或x>4.令g(x)=x2-x-12，则当x<-3时，g(x)单调递减，当x>4时，g(x)单调递增.又y=u是减函数，故y=(x2-x-12)在(-∞，-3)上单调递增.答案：(-∞，-3)【补偿训练】课堂检测·素养达标1.已知函数f(x)=log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))=(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x，得x=2y，即g(x)=2x，所以g(2)=22=4，则f(g(2))=f(4)=log24=2.课堂检测·素养达标1.已知函数f(x)=log2x，若函数g2.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (

)A.(1，+∞) B.(-∞，1)C.[1，+∞) D.[-1，+∞)【解析】选C.因为y=x，y=log2x在[1，+∞)上单调递增，所以当x≥1时，x+log2x≥1+log21=1.2.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 ()3.(教材二次开发：综合运用改编)函数y=-log3x的反函数g(x)=_______.

【解析】y=-log3x=，故g(x)=.答案：

3.(教材二次开发：综合运用改编)4.函数f(x)=ln(2-x)的单调减区间为_______.

【解析】由2-x>0，得x<2.又函数y=2-x在x∈(-∞，2)上单调递减，所以函数f(x)=ln(2-x)的单调减区间为(-∞，2).答案：(-∞，2)4.函数f(x)=ln(2-x)的单调减区间为_______5.已知函数f(x)=log2

为奇函数，则实数a的值为_______.

【解析】由奇函数得f(x)=-f(-x)，a2=1，因为a≠-1，所以a=1.答案：15.已知函数f(x)=log2为奇函数，则实数a的第2课时对数函数的图象和性质的应用第2课时对数函数的图象和性质的应用关键能力·合作学习类型一对数函数性质在实际问题中的应用(数学运算)【典例】科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关.在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L=a·lg(a是常数)，其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米，它的强弱等级L=10分贝.关键能力·合作学习类型一对数函数性质在实际问题中的应用(数(1)已知生活中几种声音的强度如表：声音来源声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L/分贝10m90(1)已知生活中几种声音的强度如表：声音来源风吹落叶轻声耳语求a和m的值.(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.【思路导引】(1)代入表格中的已知数据求a和m的值.(2)列出不等式，利用对数函数的单调性求范围.求a和m的值.【解析】(1)将I0=1×10-12，I=1×10-11代入L=a·lg，得10=a·lg=a·lg10=a，即a=10，m=10·lg=10·lg100=20.(2)由题意得L≤50，得10lg≤50，得lg≤5，即≤105，即I≤105×10-12=10-7，答：此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.【解析】(1)将I0=1×10-12，I=1×10-11代入【解题策略】关于对数性质的应用首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最值、变化趋势等问题.【解题策略】【跟踪训练】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2

，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量的单位数.记v1=25m/s时耗氧量为O1，v2=5m/s时耗氧量为O2，则O1是O2的_______倍.

【跟踪训练】【解析】v=5log2

，当v1=25m/s时耗氧量为O1，则25=5log2

，即

=25，即O1=10×25，v2=5m/s时耗氧量为O2，5=5log2

，即=2，所以O2=10×2，所以=24=16，故O1是O2的16倍.答案：16【解析】v=5log2，当v1=25m/s时耗氧量为类型二反函数(数学运算)【题组训练】1.已知函数f(x)=2x的反函数为y=g(x)，则g的值为 (

)A.-1 B.1 C.12 D.2类型二反函数(数学运算)2.若f(x)为y=3-x的反函数，则f(x-1)的图象大致是(

)2.若f(x)为y=3-x的反函数，则f(x-1)的图象大致3.若函数g(x)是函数f(x)=，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为_______.

【解析】1.选A.因为由y=f(x)=2x，得x=log2y，所以原函数的反函数为g(x)=log2x，则g=log2=-1.3.若函数g(x)是函数f(x)=，x∈[-2，1]2.选C.由题意，f(x)与y=3-x=互为反函数，即f(x)=，故f(x-1)=(x-1)，所以f(x-1)的图象就是由f(x)=的图象向右平移一个单位得到.3.函数f(x)=，x∈[-2，1]的值域为，因为函数g(x)是其反函数，所以函数g(x)的定义域为.答案：

2.选C.由题意，f(x)与y=3-x=互为反函数，【解题策略】互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的定义域与值域互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.【解题策略】【补偿训练】函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数过点(9，2)，则a=_______.

【解析】由函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9，2)，可得y=ax图象过点(2，9)，所以a2=9，又a>0，所以a=3.答案：3【补偿训练】【解析】由函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函类型三对数函数性质的综合应用(逻辑推理)角度1单调区间、值域

【典例】(2020·杭州高一检测)函数y=(-x2+5x-6)的单调增区间为_______，值域为_______.

【思路导引】利用复合函数的单调性的符号法则“同增异减”求单调区间；先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域.类型三对数函数性质的综合应用(逻辑推理)【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，由y=为减函数，其中t=-x2+5x-6在上单调递减，故函数的单调增区间为，又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈，故y=(-x2+5x-6)∈[2，+∞).答案：

[2，+∞)【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，【变式探究】将本例中函数的底数变为2，试求该函数的单调增区间和值域.【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，由y=log2t为增函数，其中t=-x2+5x-6在上单调递增，故函数的单调增区间为，又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈，故y=log2(-x2+5x-6)∈(-∞，-2].故该函数的值域为(-∞，-2].【变式探究】角度2函数性质的综合应用

【典例】已知函数f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)(a>0，且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.(2)若f(x)>0，求x的取值范围.角度2函数性质的综合应用

四步内容理解题意条件：函数的解析式结论：(1)判断并证明奇偶性(2)解不等式思路探求(1)奇偶性的定义⇒奇偶性(2)f(x)>0⇒loga(10+x)>loga(10-x)⇒分情况解不等式四步内容理解条件：函数的解析式思路(1)奇偶性的定义⇒奇偶性新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4422对数函数图象和性质的应用课件新人教A版必修第一册【解题策略】解决综合性问题的关注点(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提.(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性.【解题策略】【题组训练】1.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是_______.

2.(2020·长春高一检测)已知函数f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)，a>0且a≠1.(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性.(2)若a>1，指出函数的单调性，并求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值.【题组训练】【解析】1.因为-x2+3x+4=所以有0<-x2+3x+4≤所以根据对数函数y=log0.4x的图象(图略)即可得到：log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4=-2，所以函数的值域为[-2，+∞).答案：[-2，+∞)【解析】1.因为-x2+3x+4=2.(1)函数f(x)是奇函数，证明如下，由题意知，解得-3<x<3，故函数f(x)的定义域为(-3，3)，关于原点对称.由f(-x)=loga(-x+3)-loga(3+x)=-f(x)，故函数f(x)是奇函数.(2)当a>1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)为增函数，则函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，故f(x)max=f(1)=loga2.2.(1)函数f(x)是奇函数，证明如下，【补偿训练】函数y=(x2-x-12)的单调增区间是_