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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.2.已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A.1 B.2 C. D.3.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.4.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.5.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为()A. B.C. D.6.已知复数满足,则=()A. B.C. D.7.己知,,,则()A. B. C. D.8.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为()(参考数据:)A.48 B.36 C.24 D.129.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.10.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为______.14.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为__________.15.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_______16.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数,.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由.18.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.19.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(1)证明::(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数有两个极值点,.(1)求实数的取值范围;(2)证明:.22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。2.C【解析】
画出不等式表示的平面区域,计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图:直线的斜率为,直线的斜率为,所以两直线垂直,故为直角三角形,易得,,,,所以阴影部分面积.故选:C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法,考查数形结合思想和运算能力,属于常考题.3.A【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.4.A【解析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.5.A【解析】
设椭圆的半长轴长为,双曲线的半长轴长为,根据椭圆和双曲线的定义得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的长半轴长为,由椭圆和双曲线的定义得:,解得,设,在中,由余弦定理得:,化简得,即.故选:A【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6.B【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由,得,所以,.故选:B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.7.B【解析】
先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.8.C【解析】
由开始,按照框图,依次求出s,进行判断。【详解】,故选C.【点睛】框图问题,依据框图结构,依次准确求出数值,进行判断,是解题关键。9.A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.10.A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.11.A【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.12.C【解析】
先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对数函数的定义域需满足真数大于0,再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对函数有意义,即.故答案为:【点睛】本题考查求对数函数的定义域,还考查了指数型不等式求解,属于基础题.14.【解析】
由圆柱外接球的性质,即可求得结果.【详解】解:由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,设圆柱底面半径为,由已知有,∴,即圆柱的底面半径为.故答案为:.【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径,属于基础题.15.【解析】
先表示出渐近线,再代入点,求出,则离心率易求.【详解】解:的渐近线是因为在渐近线上,所以,故答案为:【点睛】考查双曲线的离心率的求法,是基础题.16.12【解析】
由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)没有,理由见解析【解析】
(1)求导,研究函数在x=0处的导数,等于切线斜率,即得解;(2)对f(x)求导,构造,可证得,得到,即得解【详解】(1)由题意得,∵曲线在点处的切线与直线平行,∴切线的斜率为,解得.(2)当时,,,设,则,则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,又函数,故恒成立,∴函数在定义域内单调递增,函数不存在极值点.【点睛】本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.19.(1),;(2)详见解析.【解析】
(1)当时,,当时,,当时,也满足,∴,∵等比数列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,显然数列是递增数列,∴,即.)20.(1)证明见解析(2)(3)【解析】
(1)根据题意以为坐标原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并表示出,由空间向量数量积运算即可证明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值,即为直线与平面所成角的正弦值;(3)由点在棱上,设,再由,结合,由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值,再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.【详解】(1)证明:∵底面,,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵,,点为棱的中点.∴,,,,,,.(2),设平面的法向量为.则,代入可得,令解得,即,设直线与平面所成角为,由直线与平面夹角可知所以直线与平面所成角的正弦值为.(3),由点在棱上,设,故,由,得,解得,即,设平面的法向量为,由,得,令,则取平面的法向量,则二面角的平面角满足,由图可知,二面角为锐二面角,故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了空间向量的综合应用,由空间向量证明线线垂直,求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小,计算量较大,属于中档题.21.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)先求得导函数,根据两个极值点可知有两个不等实根,构造函数,求得;讨论和两种情况,即可确定零点的情况,即可由零点的情况确定的取值范围;(2)根据极值点定义可知,,代入不等式化简变形后可知只需证明;构造函数,并求得,进而判断的单调区间,由题意可知,并设,构造函数,并求得,即可判断在内的单调性和最值,进而可得,即可由函数性质得,进而由单调性证明,即证明,从而证明原不等式成立.【详解】(1)函数则,因为存在两个极值点,,所以有两个不等实根.设,所以.①当时,,所以在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意.②当时,令得,0减极小值增所以,即.又因为,,所以在区间和上各有一个零点,符合题意,综上,实数的取值范围为.(2)证明:由题意知,,所以,.要证明,只需证明,只需证明.因为,,所以.设,则,所以在上是增函数
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