微分几何练习题库及答案

...kszl.kszl《微积分几何》复习题 本第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章61．已知a(1,1,1),b(1,0,1)，则这两个向量的夹角的余弦cos=632．已知a(0,1,1),b(1,0,1)，求这两个向量的向量积ab(-1,-1,-1)．3且与向量a(1,0,1)X-Z=04．求两平面

xyz0与

:xy2z1x1

y z11 2 3 1 25．计算21)it3jk13i8jk．t26．设f(t)(sint)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t)) 0 ．t0已知r(uvuvuvuv，其中ut2vsint，则dr(2tcost,2tcost,2vtucost)dt已知t，t2，则dr(,)(asincos2atcossinasinsin2atcoscosacos)dt．已知4rt)dt(1,2,3)，6rt)dt(2,1,2)，求2 44art)dtb6art)dt)，其中a(2,1,1)，b(11,0)2 2已知rt)a（a为常向量，求rt)ac已知rt)ta（a为常向量，求rt) 1tac24已知f(t(2t)j(logt)kg(t(sint)i(cost)jt0，则40

d(fg)dt26cos4．dt第二章曲线r(t)(2t,t3,et)在任意点的切向量为(2,3t2,et)14．曲线r(tacoshtasinhtat在t0点的切向量为(0,aa)15．曲线r(tacostasintbt在t0点的切向量为(0,ab)设有曲线Cxetyetzt2，当t1

xee

yez111 21exetcost,yetsintzet，当t0x1yz1第三章设rr(uvrru v

0，则称参数曲面是正则的；如r:Gr(G)是一一的 ，则称参数曲面是简单的．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 坐标;易;3分)平面r(uvuv,0)的第一基本形式为du2dv2，面积元为悬链面r(uv)(coshucosv,coshusinvu的第一类基本量是Ecosh2uF0Gcosh2uzaxyx

，y

的交角的余弦值是

a2xy0 00 0 (1a2x0

2)(1a2y2)0正螺面r(uvucosvusinvbv的第一基本形式是du2u2b2)dv2．24 ． 双 曲 抛 物 面 r(u,v)(a(uv),b(uv),2uv) 的 第 一 基 本 形 式 是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)的平均曲率为0 （正螺面、第一基本量、第二基本量；中3分钟）方向(d)dudv是渐近方向的充要条件是

(d)0Ldu22MdudvNdv20n两个方向(d)dudv和(δδuδv共轭的充要条件是II(drδr)0LduδuM(duδvdvδuNdvδv0EL函数FM方向(d)dudv

FM0GNLdu0Ndv根据罗德里格定理，如果方向(d)(dudv是主方向，则dn

dr，其中n

是沿(d)方向的法曲率n第四章高斯方程是rij

krijk

Lni,j1,2，魏因加尔吞方程为nij

Likj,k

gkjri

，i,j1,21 g

g gij用g 表示为(gij)ij

det(g

)22

12．g gij 12 11g测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线(CP点的测地曲率的绝对值等于(CP点的切平面上的正投影曲线(C)的曲率35．,,g n

之间的关系是2

22．g n如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．d2uk

k

dui

du

0,k1,2ds2

i,j

ijds ds波涅公式为Ksk)g iG G i1．如果G波涅公式为kG i1

()2．i二、单选题第一章．已知a(1,0,1)，b(1,2,1)，则这两个向量的内积ab为（C （内积；易2分钟）A 2 B C 0 D 1求过点P(1,1,1且与向量a(1,0,1)平行的直线的方程是（A （直线方程；易2分钟）xz

x1

yz1y1

2 3xyC x1yz1 D z1．已知a(1,11),b(1,0,1),c(1,1,1，则混合积为（D （混合积；较易2分钟）A 2 B C 1 D 已知rt)(et,t,et)，则r(0)为（ A （导数；易2分钟Ａ(１，０，１) Ｂ(-１，０，１)Ｃ(０，１，１) Ｄ(１，０，-１)．已知rt)r(t)，为常数，则r(t)为（ C （导数；易2分钟）Ａta Ｂa ＣＤ上述a为常向量．已知r(x,y)(x,y,xy)，求dr(1,2)为（D （微分；较易2分钟）Ａ(dx,dy,dx2dy) Ｂ(dxdy,dxdy,0)第二章圆柱螺线r(cost,sint,t)的切线与z轴（C ）.(螺线、切向量、夹角；较易2分)Ａ平行 Ｂ垂直 Ｃ有固定夹角

Ｄ有固定夹角4 3设有平面曲线C:rr(s)，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙错的是C．Ａα为单位向量 ＢααＣαβ Ｄβα直线的曲率为（B（2分钟）Ａ–１ Ｂ０ Ｃ１ Ｄ２关于平面曲线的曲率C:rr(s)的是（D（2分钟）Ａ(s)α(s) Ｂ(s)(s)，为α(s)的旋转Ｃ(s)αβ Ｄ(s)r(s)|对于平面曲线“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（D）（曲率；易2分Ａ充分不必要条件 Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件 Ｄ充要条件下列论不正的是（D （基本向量；易2分钟）Ａα,β,γ均为单位向量 ＢαβＣβγ Ｄα//β（）（2)A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件对于空间曲线C（D（2分钟)A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件xa(tsintycostz4asint在点t

的切线与z轴关系为（D．2 2Ａ垂直 Ｂ平行 Ｃ成第三章

的角 Ｄ成的角3 4x2a2

y2z2b2 c2

1的参数表示为C（2分钟）A(x,y,z)(coscos,cossin,sin) B(x,y,z)(acoscos,bcossin,sin)C(x,y,z)(acoscos,bcossin,csin) D(x,y,z)(acoscos,bsincos,csin)x2a2

y2b2

z21的参数表示的是D（2分钟）c2A(x,y,z)(acoshusinv,bcoshucosv,sinhu) B(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)C(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) D(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)x2a2

y2b2

z21的参数表示的是A（2分钟）c2A(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) B(x,y,z)(acoshucosv,bsinhusinv,ccoshu)C(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) D(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)x2a2

y22z的参数表示的是B（2分钟）b2A(x,y,z)(ucosv,usinv,u2) B(x,y,z)(aucosv,businv,u2)2 2C(x,y,z)(aucoshv,businhv,u2) D(x,y,z)(acosv,bsinv,v)2x2a2

y22z的参数表示的是C（2分钟）b2A(x,y,z)(acoshu,bsinhu,u) B(x,y,z)(coshu,sinhu,u)C(x,y,z)(a(uv),b(uv),2uv) D(x,y,z)(au,bv,uv)．曲面r(u,v)(2uv,u2v2,u3v3)在点M(3,5,7)的切平面方程为B（2分钟）A21x3y5z200 B18x3y4z410C7x5y6z180 D18x5y3z160球面ru,v)(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式为D（2分钟）AR2(du2sin2udv2)BR2(du2cosh2udv2)CR2(du2sinh2udv2)DR2(du2cos2udv2)正圆柱面ru,v)(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式为（C（2分钟）du2dv2

du2dv2

du2R2dv2

du2R2dv2在第一基本形式为I(du,dv)du2sinh2udv2uv(v1

vv2

)的曲线段的弧长为B（弧长；中；2分钟）coshv2

coshv1

sinhv2

sinhv1coshv1

coshv2

sinhv1

sinhv2设M为R3中的2维C2正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B．AE0 BF0 CG0 DM0以下正确的是（D（2分钟）Adn

(dr) Bdn

(dr)(dr(dr)Cdn u

(drv

) Ddn以下正确的是（C（2分钟）AI(dr,CI(dr,

(δr))II(dr,δr) BI(dr,(δr))I( (dr),δr) DI(d(δr))

(δr))I((δr))II(

(δr),dr)(dr),δr)以下正确的是A（2分钟）AI(dr,(δr))CI(δr))

(δr))II(dr,δr) BI(dr,I( (dr),δr) DII(dr,

(δr))II((δr))II(

(dr),δr)(dr),δr)高斯曲率为常数的的曲面叫C（2分钟）A极小曲面 B球面 C常高斯曲率曲面 D平面第四章B69．gijgjii,j

（2分钟）A 1 B 2 C 0 D -1B70．g kjj

j l

（2分钟）A g Bg C g D gkj kl ki ijAkij

（2分钟）A 1gkl(gil

g gjl ij)

1gkl(gil

g gjl ij)2 ui

ui ul

2 ui

ui ul...kszl.kszlC 1gkl(gil

g gjl ij)

1gkl(gil

g gjl ij)2 ui

ui ul

2 ui

ui ul72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于 ．A 0 B 1 C2 D 3．当参数曲线构成正交网时，参数曲线曲线的测地曲率为 （刘维尔定理、测地曲率；中4分钟）1 lnE2 E 2 E u

1 lnE2 G 2 G v1lnG12 E 2 E v

1 lnE2 G 2 G u．如果测地线同时为渐进线，则它必为 （测地曲率、法曲率、曲率；中2分钟）A直线 B平面曲线 C抛物线 D圆柱螺线．在伪球面(K1)上，任何测地三角形的内角之和 （高斯波涅定理；中4分钟）A等于 B小于 C大于 D不能确定三、多选题第一章76.若r(t(x(t

(t),

(t)),i1,2,3为向量函数，则下列论述正确的是（D）（4分钟）i i i iＡr(t)(x(t),y(t),z(t))1 1 1 1Ｂr(t)(x(t),y(t),z

(t))(x(t),y(t),

(t))(x),y),z(t))1 1 1

1 1

1 1 1Ｃ(r(t),r(t),r(t))(r(t),r(t),r(t))1 2 3 1 2 3Ｄ(r(t),r(t),r

(t)) (r(t),r(t),

(t))(r(t),r(t),

(t))(r(t),r(t),r(t))1 2

1 2

1 2

1 2 3Ｅ(r(t),r(t),r(t))(r(t),r(t),r

(t))1 2 3 1 2 3m,n 为常向量，r(t)为向量函数，则下述正确的是（C（4分钟）Ａbmrt)dtmbrt)dt Ｂbmrt)dtmbrt)dta a a aＣbm,n,rt))dtmn)brt)dt Ｄbm,n,rt))dtmn)brt)dta a a aＥbm,n,rt))dtmn)brt)dta a第二章下列曲线中为正则曲线的有（4分钟）Ａr(x)(x,x3)，x(,) Ｂr(x)(x2,x3)，x(,)Ｃr(x)(x2,x3)，x(0,) Ｄr(x)(cosx,x)，x(,) Ｅr(x)(x,x)，x(1,2)下列曲线中是正则曲线的有（4分钟）Ａr(cost,sint,t)， t(,)Ｂr(sin3t,3t,0)， t(,)Ｃr(cost,cos2t,sint)， t(,)Ｄr(cost,1costsint,sint)， t(,)Ｅr(2sin2t,2sin2ttant,t)， t(,)下列式子正确的是（4分钟）Ａγαβ ＢγαＣβkαγ ＤγβＥγ∥β．第三章曲面zx3y3在点M(1,2,9)的（D（4分钟）A切平面方程为3x12yz180切平面方程为3x14yz80x13

y312

z91x13Ex14

y212y212

z91z91正螺面rucosv,usinv,av)的C（4分钟）Axasinvyacosvzuauv0Bxasinuyacosuzvauv0Cxasinuyacosuzvauv0xucosvD法线方程为

yusin

zavasinv acosv uxucosvE法线方程为

yusinv

zavasinu acosu v（）不能作为曲面的第一基本形式（4分钟）I(du,dv)du24dudvdv2I(du,dv)du24dudv4dv2I(du,dv)du24dudv6dv2I(du,dv)du24dudv2dv2I(du,dv)du24dudv5dv2一般螺面ru,v)ucosv,usinv,f(u)av)的第一类基本量是（（4分钟）A E1(f(u))2

B E1(f(u))2C Faf(u) D Ga2u2E Ga2u2（D）是旋转常高斯曲率曲面（4分钟）A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章ABC 86．对于曲面上的正交坐标网，测地曲率g

（设曲线的切方向与ru

的夹角为．v2E Gd v2E G

cos

sinuE2 G uE2 G vds

1 lnEcos

1 lnGsin2 E ud2 E uds d

cosgvsin

sincosds dds gu

gvcosgv

sin曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD（分钟）A满足方程d2uk

duik

du

0的曲线ds2

i,j

ijds dsB满足g

0的曲线...kszl.kszlC除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线D满足0的曲线E满足n

0的曲线四、叙述题第三章解]设GSR3，如果存在一个连续一一映射rGR3使得r(GS，则称S是一张曲面，而rr(xS的参数表示．坐标曲线Srr(uvuvG，r(uv的像叫uv的像叫v曲线和v0 0曲线都叫坐标曲线．第一基本形式I(du,dv)Edu22FdudvGdv2（Eru

r，Fr

r，Gr

r）为v曲面的第一基本形式．而E、F、G叫曲面的第一类基本量．第二基本形式II(du,dv)Ldu22MdudvNdv2（Lruu

n，Mruv

n，Nrvv

n）为曲面的第二基本形式．而LMN为曲面的第二类基本量．PLNM20P点为曲面的椭圆点．S上一点P处的一个切向量(d)dudv，则P点沿方向(d)的法曲率定义为 (d)II(dr,dr)/I(dr,dr)．n

(d)达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率．nK1

叫曲面的高斯曲率．2H0的曲面叫极小曲面．五、计算题第二章求旋轮线xatsint),ya1cost)的0t（5分钟）r(t)a(tsinta(1cost))的切向量为r(t)aacostasint0t一段的弧长为：s

rt)dt

2a 1costdt8a．0 0求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量（0分钟【解】由题意知 r(t)(sinttcost,costtsint,ettet)，r(t)(2costtsint,2sinttcost,2ettet)，在原点时有 r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)。rrrα ,β

，γ ，(r(r,r)r(r,rrrrr

α(0,

, 2),β( ,

336),γ( , ,33

3)。2662 2 3 6 6 3 3 3266圆柱螺线为r(t)acostasintbt（分钟）①求基本向量αβγ；②求曲率和挠率；【解】①由题意有又由公式α

r(t)(asint,acost,b)，γ(t)(acost,asint,0)，rr(rr)rrr(rr)r(rr)rrrrrrrra2b2a2b2

(asint,acost,b),β(cost,sint,0),a2b2a2b2

(bsint,bcost,a).rr②由一般参数的曲率公式rr②由一般参数的曲率公式

(t)

(r,rrrrrr2有 ，

b及挠率公式r3及挠率公式

a2b2

a2b2第三章求正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)的切平面和法线方程（5分钟）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，切平面方程为xucosvyusinvzbvcosvsinv00bsinvxbcosuyuzbuv0,usinvucosvb...kszl.kszlxucosv法线方程为

yusin

zbv ．bsinv bcosv u求球面r(,acoscosacossinasin)上任一点处的切平面与法线方程．【解】

r (asincos,asinsin,acos)，r(acossin,acoscos,0)，e e e1 2 3rr

asincos asinsin acosacossin acoscos 0a2cos(coscos,cossin,sin) 球面上任意点的切平面方程为(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin)0,即coscosxcossinysinza0，法线方程为(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin),xacoscos即 coscos

yacossincossin

zasinsin ．求旋转抛物面za(x2y2)（5分钟）【解】参数表示为r(x,y)(x,y,a(x2y2))，r(1,0,2ax)，rx

(0,1,2ay)，ErrxGrr

14a2x2，Frrx y14a2y2，

4a2xy，I(dx,dy)(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy2．求正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)（5分钟）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，Erru u

1，Frru v

0，Grrv v

u2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv2．...kszl.kszl计算正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)（5分钟）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，r (0,0,0)，ruu

(sinv,cosv,0)，rvv

(ucosv,usinv,0)，rru

i j k cosv sinv 0(bsinv,bcosv,u)，usinv ucosv bvrn ur vr|rr|u v

(bsinv,bcosv,u)b2b2u2Erru u

1，Frru v

0，Grrv v

u2b2，Lruu

n0，Mruv

n

，Nrvv

n0．b2u2计算抛物面zx2y2的高斯曲率和平均曲率（b2u2【解】设抛物面的参数表示为r(x,y)(x,y,x2y2)，则r(1,0,2x)，rx

(0,1,2y)，r (0,0,2)，rxx

r (0,0,0)，ryx

(2)，rrx

i j k1 0 2x(2x,2y,1)，0 1 2yrrn x y |rr|x y

(2x,2y,1)4x4x24y21Errx x

14x2，Frrx y2

4xy，Grry y

14y2，Lrxx

n

，Mr4x4x24y21

n0，Nr nyy

24x4x24y214 0LNMKEGF2

4x24y21(14x2)(14y2)(4xy)2

4(4x24y21)2，1GL2FMEN 4x24y22H ．2 EGF2 3(4x24y21)2计算正螺面r(uvucosvusinvbv（分钟）【解】直接计算知u2a2E1，F0，Gu2a2，L0u2a2

a ，N0，K

LNM2 a2 ．EGF2 (u2a2)2第四章求位于正螺面xucosvyusinvzavxucosvyusinvzav（u=常数）的测地曲0 0 0（5分）du2u2a2)dv2v-曲线uu0正交网的坐标曲线的测地曲率得

得d 2 ds

0．由u2G E G uu2G E六、证明题

g u2a20第二章证明曲线r(etcost,etsint,0)的切向量与曲线的位置向量成定角（5分钟）r(etcostetsint,0)r(et(costsint),et(sintcost),0)，则有：cos

r

，rrrre2t2etet2故夹角为

。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．4证明：若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线（0分钟）【证明】若r和r对一切线性相关，则存在恒不同时为0f(tg(t使f(t)r(tg(t)r(t)0。则 r(t)r(t)0。又(t)

rrrrr

，故k(t)0。于是该曲线是直线．证明圆柱螺线xacost,yasint,zbt的主法线和z（0分钟）【证明】由题意有

r(t)(asint,acost,b),r(t)(acost,asint,0)。rrr由β(rr)rrrr

知βcostsint,0)

。另一方面z轴的方向向量为

a

，而aβ

，故aβ，即主法线与z轴垂直．证明曲线xasin2t,yasintcost,zacost的所有法平面皆通过坐标原点（5分钟）【证明】由题意可得r(t)(asin2t,acos2t,asint)，则任意点的法平面为asin2txasin2tacos2tyasint costasintzacost)0将点（0,0,0）代入上述方程有0 0 0 0 0 0 0左边asin2t(0asin2t)acos2t(0asint costasint(0acost)0右边，故结论成立．0 0 0 0 0 0 01t 1 1x

1

,y ,z1t2

1

为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程（分钟）1t 1 1【证明】设A B C D0，整理比较两边同次项可得1t 1t2 1tAD0,2AC0,ABCD0，ADB4DC2Dx4y2z10．第三章求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）（5分钟）【证明】设正螺面的参数表示是r(u,v)(ucosv,usinv,bv)，则r(cosv,sinv,0)，ru

(usinv,ucosv,b)，rru v

(cosv,sinv,0)(usinv,ucosv,b)0，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．证明马鞍面zxy（5分钟）【证明】参数表示为r(x,y)(x,y,xy)，则r(1,0,y)，rx

(0,1,x)，rxx

(0,0,0)，rxy

(0,0,1)，ryy

(0,0,0)，rrx

(y,x,1)，n

rrx y |rr|x y

(y,x,1)x2x2y21Lrxx

n0，Mrxy

n

1 ，Nrx2x2y21

n0，LNM200

1 1 0，x2y21 x2y21故马鞍面zxy上所有点都是双曲点．II(du,dv)I(du,dv)

与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的（5分钟）【证明】设球面的参数表示为r(u,v)(Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，则r(Rcosvsinu,Rcosvcosu,0)，ur(Rsinvcosu,Rsinvsinu,Rcosv)，vr (Rcosvcosu,Rcosvsinu,0)，uur ruv

(Rsinvsinu,Rsinvcosu,0)，r (Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，vvErru u

R2cos2v，Frru v

0，Grrv v

R2，(r,r,u v uuEGu v uuEGF2

)Rcos2v，M

(r,r,

)0，u v uvEGF2(ru v uvEGF2u v vvEGu v vvEGF2

)R，(L,M,N)1R

(E,F,G)，故球面是全脐的．证明平面是全脐的（5分钟）【证明】设平面的参数表示为r(x,y)(x,y,0)，则r(1,0,0)，rx

(0,1,0)，r (0,0,0)，rxx

(0,0,0)，ryy

(0,0,0)，Errx x

1，Frry

0，Grry

1，Lrxx

n0，Mrxy

n0，Nryy

n0(L,M,N)0(E,F,G)，故平面是全脐的．设有曲面zf(x,y)，试证曲面的第二基本形式与函数f(x,y)（分钟）zf(x,y的参数表示为r(x,y)(x,y,f(x,y，则r(1,0,f，rx x

(0,1,f)，ry xx

(0,0,

)，rxx

(0,0,

)，r (0,0,f)，xy yy yyi j k

rr

(ff,1)f2f21x yrr1 0 f(fff2f21x y

x y ，xx y x yx0 1 fyf

|rr|x yff2ff2f21xxxyf2f21x yxxNr

nn

，Mrxyff2f2f21x y

n

xy ，yyf2f21f2f21x y

1 (

dx22fxx

dx