云南省临沧市重点中学2023学年高考考前模拟数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A．30 B． C． D．622．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率A． B．C． D．3．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种4．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）A．-1 B．1 C．0 D．25．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A． B． C． D．6．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B．C． D．7．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A． B． C． D．8．关于函数有下述四个结论：（）①是偶函数；②在区间上是单调递增函数；③在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④9．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（）A．0 B．1 C． D．10．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为()A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（）．A． B． C． D．12．函数在的图象大致为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．14．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．15．已知等差数列的前项和为，且，则______.16．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：，，，，.②参考公式：相关系数，，.18．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.19．（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列，，.(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若，求数列的前n项和，并求证：.20．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．21．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线．（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．22．（10分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【答案点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.2、B【答案解析】

设，则，，因为，所以．若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，，设，则，在中，易得，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率．故选B．3、B【答案解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【题目详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B【答案点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.4、B【答案解析】

化简得到z=a-1+a+1【题目详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数，故a-1=0故选：B.【答案点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.5、D【答案解析】

三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【题目详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.【答案点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.6、B【答案解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．7、D【答案解析】

设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.【题目详解】设，，所以，，，所以.故选：D【答案点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、C【答案解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【题目详解】的定义域为.由于，所以为偶函数，故①正确.由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.当时，，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以③错误.依题意，，当时，，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【答案点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9、A【答案解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【题目详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【答案点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.10、D【答案解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．【题目详解】由题意可知，代入得：，代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，故选：D．【答案点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．11、C【答案解析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.【题目详解】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：第六次循环：第七次循环：第八次循环：所以框图中①处填时，满足输出的值为8.故选：C【答案点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.12、A【答案解析】

因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．【题目详解】由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2，而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为：VP﹣AEF＝＝＝．故答案为【答案点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．14、【答案解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.15、【答案解析】

根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.【题目详解】因为为等差数列，所以，解得，所以.故答案为：【答案点睛】本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.16、【答案解析】

由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【题目详解】由余弦定理，得，即，解得，故的面积.故答案为：【答案点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）①②3.386（万元）【答案解析】

（1）利用代入数值，求出后即可得解；（2）①计算出、后，利用求出后即可得解；②把代入线性回归方程，计算即可得解.【题目详解】（1）由已知条件得，，∴，说明与正相关，且相关性很强.（2）①由已知求得，，所以，所求回归直线方程为.②当时，（万元），此时产品的总成本约为3.386万元.【答案点睛】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）①82，②分布列见解析，【答案解析】

（1）从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【题目详解】（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件，则，所以，恰有1人“优秀”的概率为.（2）组别分组频数频率120.01260.03380.04440.02①，估计所有员工的平均分为82②的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为，∴；；；；∴的分布列为0123∵，∴数学期望.【答案点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.19、（1），；（2）详见解析.【答案解析】

（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，显然数列是递增数列，∴，即.）20、