高考数学一轮总复习 必考解答题 模板成形练 理 苏教版

必考解答题一一模板成形练(-)

三角函数、平面向量及解三角形

(建议用时：60分钟)

1.在比中，cos力二幸，db,c分别是角/I,B、。所对的边.

⑴求sin24；

(2)若sin段+0=-平，c=2y/2,求△力8c的面积.

解(1)因为cos4=幸，AE(0,n),；.sin4=哗.

JJ

/.sin2/1=2sin4cosA=

(2)由sin缺+@二一平，得cos8二平，

、乙/JO

由于〃£(0,31),.'.sinB=J.

J

则sinC-sin(J+=sinJcosB+cos4sinB二

J

由正弦定理，得"黑=2,

△力比'的面积为S=)acsin

/J

2.设a",c分别为△胸的内角,4.B,。的对边”=(cos*sinjcos垓-sing,

勿与〃的夹角为1

⑴求角。的大小；

(2)已知。=]△力a'的面积求a+b的值.

CC

解(1)由条件得AncosZj-sin5ucos1

乙乙

n1

又卬•〃二|ml51COS-=-

1n

•*-cosC=~,0<C<n,因北匕。二刀.

4J

(2)S^sc=-absinC-ab-6.

乙

由余弦定理得

c12=才+炉-2a/?cosC-+IJ-ab=(a+Z?)2-3ab,

得出(a+/O'野，.，.a+b=?.

乙

3.在△/式中，角4、B、。的对边分别为a、b、c且cos2C=\--

ya

(D求心+春的值；

8

(2)若tanB=—求tan力及tanC的值.

10

A,\西24炉

解(1),「cos2C=1sinL=­r.

aa

2b

,•，C为三角形内角,-"-sinC>0,/.sinC=—.

a

abbsinB

'sinA~sinB'-asinA

2sinB-sin力sinC.

•；A+B+C-n,

/.sinB-sin(/1+6)=sinAcosC+cos/sinC.

2sinJcosC+2cos力sinC-sin/IsinC.

1I1

,/sinA•sin今0,「•----;+-----="

tanAtanC2

小111

⑵,•・高才高77

2tanC

」.tanA=----7—7.

tanC-2

..•/+8+C-n,

tanB=-tan(4+0

tanA+tanC

1-tan/tanC

_______tan2c_____

-2tanZ-tanC+2*

2=0

1lbR_9zftannrC-ftannC-+92整理得1*18口11C+16

解得，tanC-4,tan4=4.

4.已知向量0=(/sinx-cosx,1),〃=(cosx、9若/,（*）="•〃.

(D求函数FOO的最小正周期；

,。且c=3,e+—二乎（。为锐角）,

(2)已知的三内角4B,C的对边分别为a,b

2sinA-sinB,求Ca,力的值.

解(1)fCx)二m・n二小sinxcosx-cos2x+^

-J31+cos2x1

-2S,n2^-2+2

=^sin2x-^cos2x=sin^2x--^,

・•.f(x)的最小正周期为限

⑵度+^=sin乎,v0<6,<y,"二木

•••2sin/二sin反由正弦定理得b=2a.①

,•,c=3,由余弦定理，得9=才+炉-2劭cos?，②

a二木,

解①②组成的方程组，得《厂

[b=2y[i.

•,-^=y,a=442小.

必考解答题一一模板成形练(二)（对应学生用书P411）

立体几何

（建议用时：60分钟）

平面6的〃平面APD.又M比平面GMN、「.以〃平面API).

(2)•.•8C_L平面为氏/1/七平面阳氏:.BC1PA,

•••Z.加力=90°,/.BPLPA.

•:BCCBP=B,.,.处_L平面如C:.BNIPA.

,PB=BC、点N为用的中点，.••制11和

•：PCCPA=P,.•.物CL平面D

又“比平面BDN、「.平面BDNL平面ACP.

3.

如图，已知/_L矩形/时所在平面，6尸分别是/16尸。的中点.

(D求证：“〃平面PAD]

⑵求证：EFLCD',

证明⑴取外的中点&连接的用.因为用为△阳9的中位线,

所以A勿。且尸G='S

又AE"CD、且熊=：CD,

所以力勿用且熊二股

故四边形力必1G为平行四边形，所以印〃AG.

又力仁平面PAD、E耳平面PAD,

所以/环〃平面PAD.

⑵因为用_L平面48。C"平面ABCD,

所以为_L微在矩形4版中，ADLCD,

又川n力0=4所以切上平面处〃

因为月仁平面四〃，所以

又EF"AG、所以/汜LCD

4.

如图，在平行四边形4809中，A8=2BC=4,乙力比=120°,£必分别为题施的中点,

将△/龙沿直线应翻折成△"DE、连接"C,A1B、F为A'。的中点，/r=4.

（D求证：平面4施1平面版；

（2）求证：物平面4DE.

证明⑴由题意得，必是△月龙沿〃/；,翻折而成，DECADE.

・「乙力优=120°,四边形力颇是平行四边形，

14=60°.又•••{〃=>£=2,

・・・△/龙和△力应都是等边三角形.连接4M.，必

是原的中点，-A1MLDE,AF二木.

在△〃必中，,度二〃+。犷-2%•〃犷・cos600=42+l2-2X4Xl•cos600,

在△"比中，A'.l7+.l^=（A/3）2+（V13）2=42=J,C.

.•・△/比是直角三角形，.•./ML就：

又•「"『红应：址n庞二断ML平面阅9.

又•「"忙平面HDE、

平面力,施'_L平面8微

⑵取比'的中点网连接成阳

・「©c=DC=4,FtN分别是力,C,a*的中点，

:.FN//A'D.

又川£分别是平行四边形力微的边的四的中点，

:.BN//DE.

又•••©DCDE=D、FNCNB=N,

平面H比〃平面A忸

•;FI七平面FNB,...月夕〃平面力，DL

必考解答题一一模板成形练（三）（对应学生用书PH3）

直线与圆及圆锥曲线

（建议用时：60分钟）

1•已知圆C的方程为V+（"4）2=4,点。是坐标原点.直线/：片履与圆。交于KN

两点.

（1）求才的取值范围：

211

（2）设0（勿，〃）是线段柳V上的点，且百07=7犷+法尸•请将〃表示为0的函数.

解⑴将片布代入（”4）2=4,得（1+扃/-8履+12=0（*）,由4=（-8炉-4（1

+〃）><12>0得〃2>3.所以左的取值范围是（-8,-^3）U（V3,+8）.

⑵因为M、川在直线/上，可设点KN的坐标分别为（八kx。、（X2,te）,则|〃必2=（1

+〃）疝|刚2=（]+05又|附2=序+户=（1+〃）贰

____1_1g2________I]

由两=时+可得,1+六n广1+W>+1+P/

211小+照2-2xix>

所以薪=丁房=------编-------

,..,8k12si236

由（*）知M+加二丁口，汨加=育%，所以加二51—3,

因为点。在直线/上，所以女吟代入勿2二三£可得5/?2-3///=36,

mOK-S

由，=5j36_3及1>3得0</<3,即（-小，0）U（0,小）.

依题意，点。在圆。内，则〃>0,

,36+36A/15/77+180

所以〃二军—•

■X/15/77+180,

综上，〃与勿的函数关系为〃="———（加E（-木r，0）U（0,水r）.

D

2.已知圆C：（X+/）2+/=16,点力（小，0）,0是圆上一动点，力0的垂直平分线交。

于点M设点时的轨迹为£

（D求轨迹£的方程；

,、4

（2）过点尸（1,0）的直线/交轨迹£于两个不同的点4氏△力如（0是坐标原点）的面积5=与

求直线4,的方程.

解（1）由题意|阳+|皿=|.桅1+|随|=|卬=4>2镉，所以轨迹£是以4C为焦点，

长轴长为4的椭圆，

即轨迹月的方程为%

⑵记力(汨，71),6(尼，㈤，

由题意，直线小的斜率不可能为0,而直线*=1也不满足条件,

故可设用的方程为“孙+1,

■?+4y=4,

时…1,

消)得(4+*/+2my-3=0,

一4+2d3+4~-m—2yl3+

所以与;

4+序72=4+序.

2m+3

S=^\OP\\yi-y2\

一nf+4

由s=3，解得/=1,即/»=±1.

故直线4,的方程为*=±，+1,

即x+y-1=0或x-p-1=0为所求.

3.已知过点火(-4,0)的动直线，与抛物线G：戈=2.(。>0)相交于民。两点.当直线/

的斜率是J时，AC=W.

(D求抛物线G的方程；

(2)设线段旗的中垂线在y轴上的戳距为b,求。的取值范围.

解⑴设庾小，7i),C(x2,㈤，当直线/的斜率是:时，/的方程为片;(*+4),即x=2y

-4,

'x-2py,

联立彳o,得2j/—(8+0y+8=O,

x=2y-4

8+p+ylff+16p8+p-ylff+6p

二必二------4-----------1度二------4---------

由已知应'=4通.•.次:4乂，

・••可得22+16p-36=0

•.•夕>0可得%=1,%=4,p=2,

••・抛物线G的方程为夕=4乂

(2)由题意知直线)的斜率存在，且不为0,

设/：y=A(>+4),8C中点坐标为(照，yo),

x=4y,

得六一由得女＜一或衣＞必+

由44x-16〃=0,4＞04D,x=2k±2yll4k.

1y=kx+4

:,XB+XC-2k

Xn+Xc

…Xo~^~=2k'M=A(;vb+4)=2发+4k

，切中垂线方程为y-2li-Ak=-1a-2A),

K

:・b=21k+1)\b>2.

22伤

4.已知椭圆C：点+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为凡&离心率为拳.以原点为圆

心、，椭圆的短轴长为直径的圆与直线¥-产+镜=0相切.

(D求椭圆C的方程；

(2)如图，若斜率为处〃之0)的直线/与不轴、椭圆。顺次相交于4MA点在椭圆右顶

点的右侧)，且乙肥A二乙物4求证直线，过定点(2,0),并求出斜率4的取值范围.

解(D由题意知e=(=乎，...「=*=♦J=寺,即，=2左又•.・力=-^=^=1,.•.3=2,

3Zcla£、/1+1

2

4=1,•••椭圆方程为5+V=L

乙

(2)由题意，设直线，的方程为产二取+/(4工0),M{x\,7)),MA2,现).

y-kx+m,

由〈？得(2〃+1)+4*m*+2B-2=0.

Y+2y?=2

由A=16^-4(2^+l)(2/^-2)>0,得步<2〃+l,

-2km+ylA/f-2m+\-2km-ylAJ(-2m+2

，/Xl=2六+11X22尸+1

-4km2ni-2

则有由十及二赤Y，汨加二赤7

•/人NAR=乙肥4

且ZJ假4#900,对肥+力肥=0.

又以则宣+,=°，

kx\+mkx?+m

即----r+----r=0,

xi-1X2-1

化简得2kx\x2+(/»-A)(xi+x2)-2z»=0.

-4km2Z?7—2

将小+及=2/(+1,汨*2=2「+1代入上式得m~~2匕

・•・直线）的方程为V二府-2匕即直线过定点（2,0）.

将/*=-2k代入nf<2〃+1,

得4/<2〃+1,即〃七又•「杼0,直线/的斜率4的取值范围是（-察O）U（O,

必考解答题一一模板成形练（四）（对应学生用书P415）

实际应用题

（建议用时：60分钟）

1.在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如

图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积

是多少？

箱子的容积为Mx）ugfXsin60°XA=~ax-（0<<a）.

乙oo

132

由/（x）=7ax-6y=（）解得乂=0（舍），照=不落

且当xE（0,|a）时，V1（x）>0；

当xE修，，时，F（A）<0,

2

所以函数KO在*=评处取得极大值.

o

这个极大值就是函数〃（才）的最大值：O5X修»-卜（豺二景.

所以当箱子底边长为多时，箱子容积最大，最大值为景.

2.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC,其中力£是一个游泳地，

计划在地块处8。内修一条与池边46相切的直路,（宽度不计），切点为M并把该地块分为

两部分，现以点。为坐标原点，以线段小所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边

/£满足函数夕=-f+2（oWxW/）的图象，且点J/到边面距离为《*内5

2

（D当Q时，求直路/所在的直线方程；

O

（2）当t为何值时，地块如蛇在直路/不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

解⑴卷3.1：12A-+9/-22=0

⑵必9-2+2）,过切点材的切线）：y-（-4+2）=-2MX-力

即片-23+，2+2,令“2得汨，故切线/与仍交于点修，2）;

令y=0,得*=£+巳又*=^+5在］/g递减，所以工二^+“总用故切线,与3交

于点（川,0）

.••地块以比在切线1右上部分区域为直角梯形，

面积5=氐2_£_：+2_9・2-4一£一［=4一（£+5<2,£=1时取到等号，S”“=2.

3.济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进

行了实地调研.据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成

反比，比例常数为以4>0）.现已知相距36km的A,8两家化工厂（污染源）的污染强度分

别为正数况b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之

和.设x（km）.

（D试将J，表示为x的函数；

（2）若a=l时，y在*=6处取得最小值，试求。的值.

kakb

解（1）设点C受力污染源污染指数为；，点C受8污染源污染指数为正二7其中在为比例

XOUX

系数，且QO.

从而点。处污染指数广：+诏（。J<36）.

kkb

(2)因为a=l,所以，y=-+77—.

XOvX

y'=v「?l+b36-^14令V=°，得/=7376^，

当^f0-丁用时，函数单调递减；

+8时，函数单调递增；

当x=1+的时,函数取得最小值.

又此时％-6,解得6-25,经脸证符合题意.

所以,污染源〃的污染强度6的值为25.

4.某个公园有个池塘，其形状为直角zr=90°,力8=200米，比•二100米.

（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在力民BC、。上取点仅E,£如图（1）,使得

EF//AB,EFIED,在△麻喂食，求△颜面积品团的最大值；

（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB,BC、CA上取点D,E,F、如图（2）,建造△叱

连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△游为正三角形，求△麻边长的最小值.

解⑴Rt△力政?中，乙。=90°,48=200米，8c=100米.

「cosB=%三可得8=60。

-：EF//AB,:.(CEF=(B=60°

设五二八（0</<1）,贝IJ四=4CB=100A米,

CD

Rt△处中，科2咨2001米，

0至U比的距离d=*CE=50731米，

•・•。至ij的距离为理宽=米，

•・.点〃到哥'的距离为

A=50V3-5()V3^=50^3(1-仙米

可得S饵呼=；所•力=5000y/3(1-4)米2

•••^(1-^)^1[A+(1-4)]2=1,当且仅当4二1时等号成立,

q3乙

.•・当4二)时，即E为川？中点时，S△好的最大值为

1254米2

(2)设正△应产的边长为况jCEF=a,

贝Ij677=a・sina,AF=y[3-a*sina.

该乙EDB二乙1、可得

乙1=180°-Z.B-ZZO=120°-乙DEB、a=180°-60°-4颇=120°-乙DEB

「.LADF=180°-60°一乙1二1200-a

#-asina

在△回也高会

sinZ/ZZ/7

、4一asina

K|1-sin1200-a

2

化简得a[2sin(120°-a)+sina]=73

=-.....理后------二仿.木---；-2半(其中。是满足tan0二亭的锐

2sina一43cosa,^7sina-q)yjl1乙

角).

「•△戚边长最小值为隼米.

必考解答题一一模板成形练(五)(对应学生用书P417)

数歹IJ

(建议用时：60分钟)

1,已知数列｛4｝的前〃项和为S,且2S=1-&.

(D求数列｛融｝的通项公式；

101

⑵记4=10对区,数列｛九｝的前〃项和为北,求证z5<2.

解⑴当〃=1时，25=1-51,2.3)=1-ai,/.ai=-；

<3

2Sn=1-a„,

当〃22时,

2«Sn-1—1—3n-I,

两式相减得24=an-\-&(〃22),

即3d二品.】(〃22),又4-1W0,「.-^=:(〃22),

3n-1J

•・•数列｛&,｝是以《为首项，;为公比的等比数列.

JO

(2)由(1)知bn=lo

.•.北=1+2+3+…+〃=

二1222

£Tk1X22X3nn+I

2.数列｛&｝的前〃项和为S,若句:2,且&=S-+2〃(〃22,〃£N).

⑴求S；

(2)是否存在等比数列｛儿｝满足以二句，灰二五左二信？若存在，求出数列｛4｝的通项公式；

若不存在，说明理由.

解(1)因为£=S-i+2〃，

所以有S-ST=2〃对〃22,成立，

即a=2〃对〃22成立，X<ai=2•1.

所以a=2〃对械N•成立.

所以对〃EN*成立，所以｛,｝是等差数列，

a\+an

所以有S二n=n+n,//GN*.

2

⑵存在.

由(1),得a=2〃，成立，

所以有左=6,加=18,又8=2,

所以由仇=a,=a.,,bs=M则£

所以存在以5=2为首项，公比为3的等比数列｛4｝,

其通项公式为4=2-3"<

3.已知数列｛&,｝是首项&=1的等差数列，其前〃项和为&数列｛优｝是首项4=2的等比

数列,且列£二16,噂匹二氏

(1)求晶和bn；

⑵令a=l,Q*=侬・i,oz^i=azr+kba(k=1,2,3,…)，求数列｛c“｝的前2〃+1项和“i.

解(I)设数列W的公差为d数列｛4｝的公比为4

则a=1+(〃-1)d,bn=2gl.

由公公="，得Q=2=Z?I=2,

由①W=2q(2+中=16,解得d=2.

an-2n-1,bn-2”.

⑵..•舅i=c1+国+(a+b)+a+(&+2•Z>2)+…++(&〃+nb)=1+£”+(Z?i+2bi

+…+nb》.

令力二bi+2灰+・•,+nb„,

贝lj4=2+2・22+-+/?•2；

/.2J=22+2•2、+…+(〃-l)2"+〃・2"“，

-4=2+2?+…+2"-〃・2"：

二.力二〃・2""-2"”+2.

2〃1+瓯*

又S产-----------=4/J,

%M=1+4〃2+〃・2""-2""+2

fl+,

=3+4/+(y?-l)2.

4.已知数列｛&,｝满足：ai=1,3(1-=2(1-a,),bn=l-at,tc„-a„.\-a„(n

£N,).

(D证明数列｛4｝是等比数列，并求数列伍｝、｛是的通项公式.

(2)是否存在数列｛&｝的不同项a；j以(/</<«)使之成为等差数列？若存在，请求出这

样的不同项S%◎(/</<〃)；若不存在，请说明理由.

(3)是否存在最小的自然数必对一切〃EN*都有(〃-2)a,<M恒成立？若存在，求出M的值,

若不存在，说明理由.

⑴证明因为&#±1,团=),3(1-^+1)=2(1-£),bn=\-

]2

所以筌^=1-31=1，所以｛4｝是以，为首项，£为公比的等比数列，

bn1-o446

3

所以儿二(所以或-X

,X|)=14

所以①=备+1-a：=；X仔)j(〃E10

⑵解假设存在以J,c(/<j<〃)满足题意，则有2c产c+办代人得

2x|xgy-'=|x(|y)+3修)一化简得2'7"=3，T+2f;

即2-，|_*一二3」二左边为偶数，右边为奇数不可能相等.

所以假设不成立，这样的三项不存在.

]/2、/?—4

=X，X-

(3),/(〃-2)cn-(n-l)cfl♦i4(3)3~1

(1—2)C\<(2—2)&<(3—2)e<(4—2)t;i,

(4—2)a=(5-2)C5,(5-2)^>(6-2)a>(7-2)a>……

即在数列｛5-2)G｝中,第4项和第5项是最大项，当〃=4时(〃-2)G=2X)X侨=/

所以存在最小自然数必=1符合题意.

必考解答题一一模板成形练(六)(对应学生用书P419)

函数与导数

(建议用时：60分钟)

1.已知函数f(x)=-y+ax+b[a,Z?ER).

(D求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若对任意aE[3,4],函数/tr)在R上都有三个零点，求实数〃的取值范围.

解(1)因为F(x)=-x+ax+b,

3G制

所以「a)=

当a=0时，f(x)W0,函数fCO没有单调递增区间；

当a>0时，令f(x)>0,得0<X<刀

J

故F(x)的单调递增区间为(0,

9;

当a<0时，令f(x)>0,得手<x<0.

O

故人力的单调递增区间为仔a,0)

综上所述，当&二0时，函数FCO没有单调递增区间；

当心0时，函数储的单调递增区间为(o.1a)；

当a<0时，函数4)的单调递增区间为隼0J.

(2)由(1)知，a£[3,4]时，f(x)的单调递增区间为(0,，，，单调递咸区间为(-8,0)和

氤+8)

所以函数f(x)在o处取得极小值/(0)=b,

函数r(x)在*=学处取得极大值(引二篝+”

由于对任意[3,4],函数Ax)在R上都有三个零点，

f0<0,[Z?<0,

所以｛/2合即4a

>0解得一百<人<”

lvJ'反+*。，

4aL

因为对任意aE[3,4],一方怛成立,

乙I

所以实数。的取值范围是(-4,0).

2.已知函数f(x);2+lnx-l,aER.

X

(1)若曲线y=F(x)在点Hl,珀处的切线平行于直线y=-x+l,求函数y=f(x)的单调区

间；

⑵若a>0,且对*W(0,2e]时，r(*)>0恒成立，求实数a的取值范围.

解(D直线y=-x+1的斜率k=-1,

函数y=F(x)的导数为/U)=+

f(1)=-a+l=-1,即a=2.

221x—2

/.f(x)=-IIn1,f1(A)=-7i-=-s—.

xxxx

••,F(x)的定义域为(0,+°°).

由/U)>0,得x>2；由fU)<0,得0<x<2.

」•函数Ax)的单调增区间是(2,+8),单调减区间是(0,2).

⑵F(x)>0对x£(0,2e］恒成立，

即彳+In*-1>0对xE(0,2e］恒成立.

即a>^r(l-Inx)对xE(0,2e］恒成立，

设g(x)=x(l-lnx)=x-xlnx,xE(0,2e］.

g'(A)=1-Inx-1=-Inx,

当0<x<l时,"(x)>0,4x)为增函数.

当l<xW2e时，/U)<0,g(x)为减函数，

所以当x=l时，函数以力在*E(0,2e］上取到最大值.

，g(x)Wg(l)=1-In1=1,二•a的取值范围是(1,+8).

3.已知函数/V)=9+而+cx-3,y二尸3为f(x)的导函数，满足/(2-x)=f(*)；

f(x)=0有解，但解却不是函数f(x)的极值点.

(D求汽力；

(2)设以入)=小?0>0,求函数g(x)在［0,4上的最大值；

(3)设方(力=Inf(力,若对于一切［0,1］,不等式力(力(2x+2)恒成立,求

实数1的取值范围.

解⑴F(x)=V+2bx+c,

,:f(2-x)=f(x),.,.函数/V)的图象关于直线x=l对称，b=-1.

由题意，F(x)=V-2x+c=0中J=4-4<?=0,故。=1.

所以f(x)=\x-x+x-3.

J

⑵•••/(x)=^-2bx+1

=(一)2,

•**g(x)=x\x-1|

y-x、x》i,

X-X,x<1.

当0<婷g时，g(x)2=g(m)-m-m

当g〈后1+，时,双力叫二局=；,

当m>1时，4才)==g16=m-/n.

综上=5

(3)A(x)=21n|x-11,h{x+1-t)=21n|x-t\,h(2x+2)=21n|2;r+11

当届[0,1]时，|2x+l|=2x+l,所以不等式等价于0<次-Y<2彳+1恒成立，

解得-入-1<£<3x+1,且杼R

由力£[0,口得-才-1£[-2,-1],3A-+1G[1,4],所以

又、羊£,.F6[0,1],••.所求的实数1的取值范围是(-1,0).

4.已知函数f(x)=A[(log^)2+(logra)2]-(log^)3-(log^a)3,

g(x)=(3-发)(logM+logs),

(其中a>l),设£=log“x+loga

(D当xE(l.a)U(a,+8)时，试将F(x)表示成力的函数力(力，并探究函数为1)是否有

极值；

⑵当£(1,+8)时，若存在照E(l,+8),使汽刖)>晨照)成立，试求々的范围.

解⑴:(log“x)2+(log*a)''=(log/+logm)2-2

*-2.

323

(log#、(logxa)=(logM+log点)[(log,x+logva)-3]=t-31,

3

A(t)=-t+kf+3t-2kt(t>2).

力'(t)=-3t2+2Af+3

设九t2是h'")=0的两根，贝J[/<0,•••力'(。=0在定义域内至多有一解，

欲使力⑺在定义域内有极值，只需"（，）=-31+2X+3=0在（2,+8）内有解，且"（£）

9

的值在根的左右两侧异号，••・〃（2）>0得〃>7

99

综上：当女aa时力（力在定义域内有且仅有一个极植，当女忘彳时力&）在定义域内无极值.

⑵・•・存在照£（1,+8）,使〃⑷>g（幻成立等价于f（x）一g（x）的最大值大于0.

t=log“x+log*a,m（t）=-^++/ct-2k,（£22）,

k

（，）=-3/+2&+片=0得£】=A,t2=-T.

J

当女>2时，加（。鹏二勿（公>0得”>2；

J17-1

当0<反2时，/〃（Dm=/»（2）>0得—<〃W2；

当〃=0时，加（£）««二勿（2）<0不成立.

当一6WR<0时，

-\FL7-1

勿（，）nax=力（2）>0得一6W4<—-----；

当在<-6时，加&）皿:《一§>0得—6.

综上得：〃的取值范围是1-8,一可一）u性匚,+8）.

必考附加题一一模板成形练（一）

1.如图，在直三棱柱力a'-45。中，乙劭。=90°,AB=AC=2,44=6,点瓦厂分别在棱

防，如上，且比'=驷，CxF=\cCx.

OO

（1）求异面直线力£与力/所成角的大小；

⑵求平面力掇、与平面力比'所成角的余弦值.

解(1)建立如图所示的直角坐标系，

则加0,0,0),£(2,0,2),4(0,0,6),尸(0,2,4),

从而赤二(2,0,2),(0,2,-2).

->龙•诵-41

记川西4蹶夹角为伊，则有cos0=-----~=~r>-----9-

\AE\­|J>|、8・782

又由异面直线四与4尸所成角的范围为(0.兀)，

可得异面直线力£与力石所成的角为60°.

⑵记平面4跖和平面力仇?的法向量分别为〃和⑷

则由题设可令〃=(1,y,z),且有平面力宽的法向量为0:万1二@0,6),苏'=(0,2,4),AE

=(2,0,2).

由〃•万LO,得2y+4z=0；由〃•能=0,得2+2z=0.

所以z=-l,y=2,即A=(1,2,-1).

记平面力伊与平面4町所成的角为B、

士an•in_6A/6

有cosP=n----i-=~r=-于.

51•\m\也・66

由图形可知户为锐角，所以cosf二噜.

2.已知数列｛4｝满足打；+4-产2(〃22,〃EM).

/Un

(1)求坛坛猜想数列｛4｝的通项公式，并用数学归纳法证明；

(2)设x=£,y=£二比较V与■的大小.

112

解(1)当〃=2时，工+万=2,解得金二§；

193

当〃=3时，工+鼻=2,解得左=7

猜想“岛.

证明：①当〃=1时，M=-

②假设当〃=A(〃EN*)时，即加=Wy,

A'1

I14

贝IJ当/7=〃+1时，—+^=2,gp-y—+v~j-=2,

bk、\bk^\n+1

1kk+2k-1

•••五7=2-77T=77T-二口也成立.

由①②得儿二岛•

3.三棱柱力勿-46G在如图所示的空间直角坐标系中，已知力8=2,AC=4,44=3.〃是

比、的中点.

(1)求直线DB\与平面4G〃所成角的正弦值；

(2)求二面角4-M-G的大小的正弦值.

解⑴由题意,力(0,0,0),6(2,0,0),C(0,4,0),"(1,2,0),4(0,0,3),8(2,0,3),

G(0,4,3).危=(1,2,-3),(0,4,0).

设平面46〃的法向量为〃=(%y,z).

:n*M-^+2y-3z=0,z?•松=4y=0.

x=3z,y=0.令z=l,得x=3,〃=(3,0,1).

设直线与平面月4〃所成角为8、

•・•欣=(1,-2,3),

I3X1+0X-2+1义3|3相

0=|cos(DBi、n)

VTOX^/H-35,

(2)设平面力心〃的法向量为(a,b,c).

漉=(2,0,0),

•.7•a+2。-3c=0,m・48=2a=0.

a=0,2。=3c.令。=2,得Z?=3,卬=(0,3,2).

设二面角片G的大小为a

,।,、।降・〃|

/.cos°=cosQn、n)=--------r

Wl■I加

10X3+3X0+2X11/

713X^10-^65,

.3J7:

则nilw"相二65'

二•二面角片-4〃-G的大小的正弦值为

4.已知整数〃24,集合心｛1,2,3,…，〃｝的所有3个元素的子集记为4,念…，Ae(C

GN*).

(D当〃=5时，求集合4.4,…，4•中所有元素之和；

(2)设期为4中的最小元素，设4=仍+如+…+如试求区(用〃表示).

解(1)当〃=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有请二

6个，所以含有数字1的集合有6个.同时含2,3,4,5的子集也名有6个.

于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)Xd=15X6=90.

⑵证明不难得到1W血W〃-2,m,EZ,并且以1为最小元素的子集有CL个，以2为最

小元素的子集有比.2个，以3为最小元素的子集有Ct」个，…，以〃-2为最小元素的子集

有戏个，则只二期+以+…+灰^

=1XC^-[+2Cn-2+3C«-3+…+(n-2)C2

=(77—2)C2+(/?-3)Ca+(〃—4)C：+…+C^-i

=C2+(〃-3)(C：+C3)+(〃-4)C：+…+Cfl-i

=C2+(z?-3)(C3+CO+(77-4)C<+,,,+C^-i

=C2+(〃-3)C：+(〃-4)C4++Cff-i

=Cl+Ci+(/?-4)(Ci+Ci)+…+C-i

=C；+C；+(/7—4)C5++Cn-I

=cl+c：+瑶+…+-=c3.

必考附加题一一模板成形练(二)(对应学生用书P423)

1.如图，圆锥的高心=4,底面半径加=2,。为"的中点，£为母线阳的中点，尸为底

面圆周上一点，满足.EFIDE.

(D求异面直线跖与劭所成角的余弦值；

(2)求二面角。-公-6的余弦值.

解(1)以。为原点，底面上过。点且垂直于如的直线为x轴，如所在的直线为，轴，0P

所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，则4(0,2,0),P(0,0,4),X0,0,2),F(0,1,2).

设网孙为.0)(胸〉0,外＞0),且总+4=4,

则赤=(的yo-1,-2),应'=(0,1,0),

'：EFLDEy即建上庞贝IJ旗•应'=%-1=0,

故外=1.

(木,1,0),~EF=(^