吉林省白城市洮北区第一中学2023学年高考仿真模拟数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．2．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．不等式组表示的平面区域为，则（）A．， B．，C．， D．，4．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路5．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．6．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．7．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．28．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．9．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（）A． B． C．1 D．10．设集合，，若，则（）A． B． C． D．11．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)15．数列的前项和为，则数列的前项和_____．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.18．（12分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：19．（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.20．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.21．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.22．（10分）如图，在中，点在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的长.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2、B【答案解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【题目详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【答案点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.3、D【答案解析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.【题目详解】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中，，

设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，

由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，故AB错误；

设，则的几何意义为点与点连线的斜率，由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；故选：D.【答案点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.4、D【答案解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【题目详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选：D【答案点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.5、B【答案解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【题目详解】由已知，，所以，解得.故选：B【答案点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6、A【答案解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【题目详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.7、B【答案解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【题目详解】画出约束条件，表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选B.【答案点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8、B【答案解析】

根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【题目详解】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.【答案点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.9、B【答案解析】

首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【题目详解】解：因为，所以因为所以，即，，时故选：【答案点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.10、A【答案解析】

根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.【题目详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【答案点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.11、A【答案解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．【题目详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．【答案点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．12、A【答案解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【题目详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【答案点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当和抛物线相切时，的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值.【题目详解】解：由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当最小时，的值最小.设切点，由的导数为，则的斜率为，求得，可得，，，.故答案为：.【答案点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.14、【答案解析】

首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【题目详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派的方法为：.故答案为．【答案点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15、【答案解析】

解：两式作差，得，经过检验得出数列的通项公式，进而求得的通项公式，裂项相消求和即可．【题目详解】解：两式作差，得化简得，检验：当n=1时，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，，令故填：．【答案点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．16、【答案解析】

如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.【题目详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，则，所以，所以球的半径，则球的表面积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.【答案解析】

（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.（2），则可求出，令，即可求出的取值范围，进而求出最小值.【题目详解】解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，当时，，整理可得，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整数的值为35.【答案点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了与的关系，考查了裂项相消求和.当已知有与的递推关系时，常代入进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.18、（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析【答案解析】

（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；（Ⅱ）求导，，由于在区间上的极值点从小到大分别为，，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.【题目详解】解：（Ⅰ），，当时，，，在区间上单调递减，，在区间上无零点；当时，，在区间上单调递增，，在区间上唯一零点；当时，，，在区间上单调递减，，；在区间上唯一零点；综上可知，函数在区间上有两个零点.（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，由，即，，2…，，，，，，以及的单调性，，，，，由函数在单调递增，得，，由在单调递减，得，即，故.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.19、（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【答案解析】

（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【题目详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在上单调递增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.20、（1）；（2）；（3）.【答案解析】

（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.【题目详解】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即.（2），.因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以实数的取值范围是.（3）.因为函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两不等实根，即.令，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得且.又由，所以，且当和时，