解答题训练（四）

PAGEPAGE8解答题训练（四）1．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）已知在函数的图象上的三点的横坐标分别为，求的值.2．某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.3．如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.4．已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（Ⅰ）当的坐标为时，求过三点的圆的方程；（Ⅱ）证明：以为直径的圆恒过点.5．已知函数（）．（Ⅰ）试讨论在区间上的单调性；（Ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.6．对于数列，令为，，，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，，，，的创新数列为，，，，.定义数列：是自然数，，，，的一个排列.（Ⅰ）当时，写出创新数列为，，，，的所有数列；（Ⅱ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由.解答题训练（四）参答1．解：（Ⅰ）由图可知，，最小正周期.由，得.……………3分又，且，所以，即.………………5分所以.………………6分（Ⅱ）因为所以.…7分所以.由余弦定理得.…………11分因为，所以.……………13分（其它解法酌情给分）2．解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为，，元.……………2分都付元的概率为；都付元的概率为；都付元的概率为；故所付费用相同的概率为.……………6分（Ⅱ）依题意，的可能取值为，，，，.……………8分；；；；.故的分布列为……………11分所求数学期望.………13分3．（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面，所以//平面．……………2分因为为矩形，所以//．又平面，平面，所以//平面．……………4分又，且，平面，所以平面//平面．……………5分又平面，所以平面．……………6分（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.……………7分由已知得，易得，．则，，．，．……………8分设平面的法向量，则即令，则，．所以．……………10分又是平面的一个法向量，所以．故所求二面角的余弦值为．……………13分4．（Ⅰ）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，由消得.(1)令，解得.代入方程(1)，解得.……………3分设圆心的坐标为，由，得，解得.故过三点的圆的方程为．……………5分（Ⅱ）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，切线的方程为即，切线的方程为即．……………7分又因为切线过点，所以得.①又因为切线也过点，所以得.②所以，是方程的两实根，由韦达定理得．……………9分因为，，所以．将代入，得.……………13分所以以为直径的圆恒过点．……………14分5．（Ⅰ）解：由已知，.…2分由，得，.………4分因为，所以,且．所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增．……………6分（Ⅱ）证明：由题意可得，当时，（，且）.即，所以，.……………8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得.……………11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，所以.……………14分6．解：（Ⅰ）由题意，创新数列为，，，，的所有数列有两个，即数列，，，，；数列，，，，.……………4分（Ⅱ）存在数列，使它的创新数列为等差数列.数列的创新数列为，因为是中的最大值，所以.由题意知，为中最大值，为中的最大值，所以，且.若为等差数列，设其公差为，则且，当时，为常数列，又，所以数列为，，，.此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列；……………8分当时，因为，所以数列为，，，，.此时数列为，，，，；……………10分