专题28 函数的伸缩变换问题（解析版）

专题28函数的伸缩变换问题一、单选题1．（2021·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，当时，当时，，当时，，因此当时，，选B.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.2．（2021·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可.【详解】因为，所以，因为时，，所以,因为函数满足，所以，所以，，又因为，恒成立，故，解不等式可得或.【点睛】考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.3．（【百强校】2016届山西省榆林市高三二模理科数学试卷（带解析））定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：当时，，又，因此当时，函数，从而，选C.考点：分段函数性质，不等式恒成立【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.4．（2021·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：∵，故①正确；由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；当时有无数个实数根，故③错误；当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,故选：C5．（2021·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知函数，若函数有9个零点，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在直角坐标系中，画出和的图像，函数有9个零点等价于和图像有9个交点.即可得到关于的不等式，从而求出实数的取值范围.【详解】解：设，则恒过定点，所以画出，的图像.由题意知，有9个零点，则，图像有9个交点.当在上时，两图像有8个交点；当在上时，两图像有10个交点，所以，解得，即.故选:C.【点睛】本题考查了函数的零点的应用，考查了数形结合的数学思想.若，则零点的个数就等价于交点的个数.画图像时，先画出的图像，再将轴下方的图像向上翻折即可.6．（2021·海南·一模）已知函数.若，，则函数在上的零点之和为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数的零点转化为的零点，即可求出零点之和.【详解】因为，，所以解得，，所以所以在上是周期为的函数，在上的所有零点为，所以在上的所有零点为的零点且，所以且，解得（且），所以函数在上的零点之和为.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的零点问题，还涉及分段函数的解析式、周期性等，同时考查学生的转化和理解能力.7．（2021·四川·阆中中学一模（理））已知函数定义域为，满足，且当时，，若对任意，都恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，首先求出函数在区间上的值域为，再根据条件，判断当时，，并求解时的解析式，和时对应的两根中较小根，即可得到的取值范围.【详解】当时，，可求得，且在上单调增，在上单调减，根据，可知当，，当，，且在上单调增，在上单调减，因为，当时，，，，令，解得或，所以对任意，都恒成立，的取值范围为，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.8．（2021·山西·大同一中高二月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由已知可分析出函数是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故在上所有的零点的和为，则函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和，求出上所有零点，可得答案．【详解】解：函数是定义在上的奇函数，．又函数，，函数是偶函数，函数的零点都是以相反数的形式成对出现的．函数在上所有的零点的和为，函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和．由时，，即函数在上的值域为，当且仅当时，又当时，函数在上的值域为，函数在上的值域为，函数在上的值域为，当且仅当时，，函数在上的值域为，当且仅当时，，故在上恒成立，在上无零点，同理在上无零点，依此类推，函数在无零点，综上函数在上的所有零点之和为8故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．9．（2021·湖北·恩施土家族苗族自治州清江外国语学校高二期末）已知函数若关于x的方程f(x)-kx=k有4个不等实数根，则实数k范围为（）A．[4,5) B．(4,5] C． D．【答案】D【分析】先求出函数解析式，方程化为，方程解转化为函数有4个不同的交点，作出图像，即可求得结果.【详解】当，而，作出函数与函数的图像，如下图所示，代入，解得，代入，解得，实数取值范围为.故选:D【点睛】本题考查函数的解析式以及图像，并利用数形结合思想求方程的解，属于较难题.10．（2021·上海市七宝中学高三开学考试）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是A．13 B．21 C．45 D．51【答案】C【分析】由题意可知函数为分段函数，根据时，，可求出其在，，上的解析式，即可知道其在上的解析式为，，即可求出，由，即可知道的解得最小值点在区间，即，解出即可.【详解】当时，即，所以，又因为.所以，.同理可得当时，，.当时，，.因为，所以.因为.所以的解的最小值点在区间，即..故选C.【点睛】本题考查绝对值函数，属于难题.绝对值函数的根本就是分段函数，而要解决分段函数，只需分段找到解析式再求解即可，解决本题的关键在于画出函数前几段的图像，根据图像找到其规律.11．（2021·安徽蚌埠·高一期中）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数的图像，将的零点问题转化为与有个交点问题来解决，画出图像，根据图像确定的取值范围.【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．（2021·北京市十一学校高三开学考试）函数=，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．（－，1） B．（－，1]C．（0，1） D．[0，+）【答案】A【分析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数和的图像有且只有两个交点，来求得实数的取值范围.【详解】当时，，故.当时，，故.以此类推，当时，.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知的取值范围是时，和的图像有且仅有两个交点.即方程有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.13．（2021·江西宜春·高考模拟（文））已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可以对函数的解析式进行分析，根据时函数的解析式推导出、、等区间的函数解析式并确定每一段区间内的函数的值域，然后将函数有零点转化为有解，通过求解以及偶函数的相关性质即可得出结果．【详解】函数有零点即有解，即，由题意可知，当时，，当时，，所以当时，，此时的取值范围为；当时，，此时的取值范围为，时，；当时，，此时的取值范围为，时，；当时，，此时的取值范围为，所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，因为函数是定义在上的偶函数，所以当时，也有两解，所以函数共有四个零点，故选B．【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质以及偶函数的相关性质，考查通过函数性质求函数解析式，考查化归与转化思想，考查函数的值域的求解，体现了综合性，是难题．二、多选题14．（2021·江苏·南京市第二十九中学高二月考）对于函数，则下列结论中正确的是（）A．任取，都有恒成立B．C．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是D．函数有且仅有个零点【答案】BC【分析】作出的大致图象，然后逐项分析：A．根据在处的取值进行分析；B．根据取值特点进行计算并判断；C．根据图象对应的最值点进行分析；D．结合图象并根据的取值进行判断.【详解】作出的大致图象如下图所示：A．取，所以，所以，故错误；B．因为，所以，故正确；C．显然不符合条件，由图象可知：的最大值点为，，所以若不等式恒成立，只需，即，又因为，所以在上递减，所以，所以，故正确；D．令，当时，，，又，所以，所以，所以在上有零点，又因为，所以是的一个零点，又因为，且时，，所以，所以在上有零点，所以至少有三个零点，故错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分段函数的分析以及作出函数图象，通过图象可分析出的最值以及的取值特点，从而可计算出函数值的和以及解决不等式恒成立、零点问题.15．（2021·全国·高三专题练习）对于函数，下面结论正确的是（）A．任取，都有恒成立B．对于一切，都有C．函数有3个零点D．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是【答案】ABC【分析】先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与的图象,数形结合可判断C,D选项.【详解】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;由题可知,所以即,故选项B正确;作出的图象，因为，由图象可知与有3个交点,故选项C正确;结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,即时,不等式恒成立,又,所以,即在时恒成立,设,则,故时,,函数在上单调递减,所以时,,又,所以,即,故选项D错误.故选:ABC.【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（）A．当时，B．当时，函数的值域C．当且时，D．当时，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当时，，进而得当时，，故的值域；对于C选项，结合B选项得当且时，进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，，故A选项正确；对于B选项，由于当，函数的值域为，所以当时，，由于，所以，因为，所以，所以当时，，综上，当时，函数的值域，故B选项错误；对于C选项，由B选项得当时，，故当且时，，故C选项正确；对于D选项，取，，则，，不满足式，故D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当时，，且当，函数的值域为，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.17．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.【详解】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；在上单调递增且值域为；故的图象如下：由题设，有个零点，即有7个不同解，当时有，即，此时有1个零点；当时有，即，∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；当时有或或，∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；当时有或或，∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；当时有或，∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；综上，要使有7个零点时，则，()故选：BD【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.18．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程有个不同的解B．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为C．对于实数，不等式恒成立D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】BC【分析】由题作出函数图象，利用数形结合即解.【详解】当时，；当时，；当，则，；当，则，；当，则，；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于A，当时，有3个交点，与不符合，故A错误；对于B，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m，n之间，又，，，故B正确；对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；对于D，取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误.故选：BC.三、双空题19．（2021·福建安溪·高二期末）已知函数，则________，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．【答案】8【分析】（1）根据分段函数的表达式，直接代入即可；（2）求出当时，函数的解析式和图像，利用与直线的交点个数进行判断即可【详解】解：由题意得，当时，，，当时，，，当时，，，作出函数的图像如图所示，设直线，当分别过时，则，得，，得，由图像可知要使方程有且只有一个实根，则在之间的区域，即，即实数的取值范围是，故答案为：8，【点睛】此题考查函数与方程的应用，利用数形结合是解此题的关键，综合性较强，属于较难题20．（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）设函数，.①的值为_______；②若函数恰有个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】1【分析】①根据分段函数的解析式，求得的值.②求得的部分解析式，由此画出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围.【详解】①.②当时，，所以.当时，，所以.当时，，所以.当时，，所以.画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.四、填空题21．（2021·宁夏·青铜峡市第一中学高二月考（理））设，方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________．【答案】【分析】不防令，由题意的图象是关于对称的，可得．助于的图象可以得到，之间的关系，最终将表示成的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．【详解】解：∵时，，∴在与上的图象关于对称，作出图象如下：不防令，可得，，∴．∴，，，∴，，令，则原式化为：，，其对称轴，开口向上，故在递增，∴，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的方法，体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查．22．（2021·四川资阳·高三期末（文））已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为__________．【答案】2或3.【详解】由题意得，当时，直线的方程为：，其与时的图象只有一个交点，当时，，则将直线的方程代入到中，得，由得，，当时，，在定义域内，此时在时，直线与有两个交点，综合有三个交点；当时，，不在定义域内，此时在时，直线与有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与的图象的公共点个数为2或3.【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当时，将直线直线代入到中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.23．（2021·江苏·模拟预测）已知函数，若方程在上有两个不相等的实数根，，则的取值范围是___________.【答案】【分析】先求得当时，的解析表达式，研究其单调性，进而根据方程在上有两个不相等的实数根，，得到.求得，，得到，利用三角换元思想，求得取值范围.【详解】因为，所以，而，所以当时，，在[3,4]上单调递减，当时,∴在上,上,所以在上单调减，上单调递增，,因为方程在上有两个不相等的实数根，，可知.由得，，所以，因为，所以设，，，则.故答案为：【点睛】本题考查函数的解析式，函数的单调性，取值范围问题，关键是求得后，注意到，的平方和恒为1，想到利用三角换元思想求解，特别要注意，根据>≥0,缩小角的范围.24．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是_________.①；②函数有5个零点；③函数在上单调递增；④函数的值域为【答案】③【分析】根据解析式直接计算即可判断①，由解析式画出函数在上的图象可判断②，③，计算，结合图象即可求值域，判断④.【详解】因为，所以，，故①错误；当时，，当时，，所以画出函数的图象如下所示，由图可得函数有4个零点，故B错误，函数在上单调递增，故③正确；，，故函数的值域为，故④错误；故答案为：③【点睛】本题主要考查了函数的图象，分段函数，函数的零点，值域，单调性，数形结合的思想，属于中档题.25．（2021·北京市第五中学模拟预测）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.【答案】（﹣∞，]；【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论．【详解】解：因为，，，时，，，，时，，，，；当，时，由解得或，若对任意，，都有，则．故答案为：，．【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．26．（2021·全国·高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由分段函数根据单调性求得在的最小值，根据求出，的最小值，将问题转化为解不等式即可得出结果.【详解】根据已知，当时，，则当时，在处取到最小值，当时，在处取到最小值，所以在时在处取到最小值,又因为，可知当时，在时取到最小值，且，则.为使当时，恒成立，需，当时，可整理为，解得；当时，可整理为，解得.综上，实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于难题.27．（2021·四川省南充市白塔中学高三期中）已知函数，把函数的图象与直线交点的横坐标按从小到大的顺序排成一个数列，则数列的前项和__________.【答案】【分析】根据分段函数解析式求得数列的通项公式，由等差数列前项和公式求得.【详解】当时，；当时，，；当