最小二乘法市公开课金奖市赛课一等奖课件

第5章线性参数最小二乘法处理最小二乘法是用于数据处理和误差预计中一个很得力数学工具。对于从事精密科学试验人们说来，应用最小二乘法来处理一些实际问题，仍是当前必不可少伎俩。

第1页第一节最小二乘法原理

最小二乘法发展已经历了200多年历史，它最早起源于天文和大地测量需要，其后在许多科学领域里取得了广泛应用。尤其是近代矩阵理论与电子计算机相结合。使最小二乘法不停地发展而久盛不衰。最小二乘法产生是为了处理从一组测量值中寻求最可信赖值问题。第2页一、问题背景

在测量试验数据处理中，经常需要依据两个量一批观察数据(xi，yi)，i=1，2，…，n求出这两个变量Y与X之间所满足一个函数关系式Y＝f(X)。若变量间函数形式依据理论分析或以往经验已经确定好了，而其中有一些参数是未知，则可经过观察数据来确定这些参数；若变量间详细函数形式还未确定，则需要经过观察数据来确定函数形式及其中参数。

第3页一、问题背景在多数预计和曲线拟合问题中，不论是参数预计还是曲线拟合，都要求确定一些(或一个)未知量，使得所确定未知量能最好地适应所测得一组观察值，即对观察值提供一个好拟合。处理这类问题最惯用方法就是最小二乘法。在一些情况下，即使函数值不是随机变量，最小二乘法也可使用。

第4页设X和Y两个物理量之间函数关系为假定此函数关系f已知，但其中a1，a2，…，ak等参数还未求出，现对于X和Y有一批观察数据：{xi，yi}，i＝1，2，…,n，要利用这批数据在一定法则之下作出这些参数a1，a2，…，ak预计。第5页假设诸观察值相互独立且服从正态分布。在等精度观察情况下，即认为各误差服从相同正态分布N(0，σy)。现在问题是一个参数预计问题：需要给出a1，a2，…，ak预计值，，…，。处理这类问题最惯用方法就是最小二乘法。在一些情况下，即使函数值不是随机变量，最小二乘法也可使用。普通依据测量实际情况，可假设变量X测量没有误差(或与Y误差相比很小，可略去)，而变量Y测量有误差，故关于Y观察值yi能够写成这里y0i表示xi对于Y变量真值，△i表示对应测量误差。第6页二、最小二乘法准则与正规方程在参数预计问题中，最小二乘法法则是：所选取参数预计值，，…，应使变量Y诸观察值yi与其真值预计值(又叫拟合值)，即f(xi；a1,a2，…ak)之差平方和为最小。用式子表示时，记残差νi为最小二乘法就是要求=最小在这个条件下，利用数学中求极值方法能够求出参数，，…，。这么求出参数叫参数最小二乘预计。第7页正规方程依据数学分析中求函数极值条件：=最小共得k个方程，称正规方程，求此联立方程解可得出诸参数预计值(j＝1，2，…，k)。第8页不等精度情况下最小二乘法以上是等精度观察情况，若诸观察值yi是不等精度观察，即它们服从不一样方差σi2正态分布N(0，1)，那么也不难证实，在这种情况下，最小二乘法可改为：选取参数估值应使诸观察值yi与其预计值之差加权平方和为最小。用式子表示就是要使=最小其中，wi为各观察值yi权。wi＝σ2／σi2，，i＝1，2，…，n。这里σ2为任选正常数，它表示单位权方差。第9页不等精度情况下最小二乘法正规方程一样地，依据数学分析中求函数极值条件：共得k个方程，称正规方程，求此联立方程解可得出诸参数预计值(j＝1，2，…，k)。第10页最小二乘法几何意义从几何图形上可看出,最小二乘法就是要在穿过各观察点(xi，yi)之间找出这么一条预计曲线，使各观察点到该曲线距离平方和为最小。YX第11页三、最小二乘法与最大似然法关系假如假定各观察值是相互独立且服从正态分布，期望值是μ(xi；a1，a2，…，ak)，方差是σi2,则观察值似然函数为最大似然法要求上式取极大值，这就相当于要求指数项中=最小这就说明了在观察值服从正态分布条件下，最小二乘预计与最大似然预计是一致。第12页观察值不服从正态分布时最小二乘预计实质上，按最小二乘条件给出最终止果能充分地利用误差抵偿作用，能够有效地减小随机误差影响，因而所得结果含有最可信赖性。假若观察值不服从正态分布，则最小二乘预计并不是最大似然预计。但应该指出，在有些问题中观察值即使不服从正态分布，但当样本容量很大时，似然函数也趋近于正态分布，所以，这时使用最小二乘法和最大似然法实质也是一致。第13页不服从正态分布时最小二乘法统计学性质若观察值是服从正态分布，这时最小二乘法和最大似然法实际上是一回事。但观察值不服从正态分布或其分布未知时，这时用最小二乘法显得缺乏理论验证。但应该指出，作为一个公理来使用，最小二乘法依然是能够接收，而且能够证实，所得到预计依然含有一些很好统计性质，这些性质是：(1)解是无偏，即(2)解是观察值线性组合，且有最小方差。这称为高斯—马尔可夫定理;(3)加权残差平方和期望值是当σ2＝1，即取wi＝1/σi2，这时称为χ2量。期望值为n－k。第14页第二节线性参数最小二乘法普通情况下，最小二乘法能够用于线性参数处理，也可用于非线性参数处理。因为测量实际问题中大量是属于线性，而非线性参数借助于级数展开方法能够在某一区域近似地化成线性形式。所以，线性参数最小二乘法处理是最小二乘法理论所研究基本内容。第15页一、线性参数测量方程普通形式

线性参数测量方程普通形式为（5-7）

对应预计量为（5-8）

第16页误差方程其误差方程为（5-9）

第17页二、线性参数误差方程式矩阵形式设有列向量和n×t阶矩阵(n＞t)则线性参数误差方程式(5—9)可表示为即（5-10）

第18页等精度测量最小二乘原理矩阵形式即或（5-11）

（5-12）

残余误差平方和最小这一条件矩阵形式为第19页不等精度测量最小二乘原理矩阵形式最小二乘原理矩阵形式为或（5-14）

（5-13）

式中P为n×n阶权矩阵。线性参数不等精度测量还能够转化为等精度形式，从而能够利用等精度测量时测量数据最小二乘法处理全部结果。第20页三、线性参数最小二乘法正规方程为了取得更可取结果，测量次数n总要多于未知参数数目t，即所得误差方程式数目总是要多于未知数数目。因而直接用普通解代数方程方法是无法求解这些未知参数。最小二乘法则能够将误差方程转化为有确定解代数方程组(其方程式数目恰好等于未知数个数)，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解代数方程组称为最小二乘法预计正规方程(或称为法方程)。

第21页1．线性参数最小二乘法处理基本程序

线性参数最小二乘法处理程序可归结为：（1）依据详细问题列出误差方程式；（2）按最小二乘法原理，利用求极值方法将误差方程转化为正规方程；（3）求解正规方程，得到待求预计量；（4）给出精度预计。对于非线性参数，可先将其线性化，然后按上述线性参数最小二乘法处理程序去处理。建立正规方程是待求参数最小二乘法处理基本步骤。第22页2．等精度测量线性参数最小二乘法处理正规方程

线性参数误差方程式为最小二乘法处理正规方程为（5-19）

这是一个t元线性方程组．当其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得欲求预计量第23页线性参数正规方程矩阵形式

正规方程(5—19)组，还可表示成以下形式表示成矩阵形式为第24页线性参数正规方程矩阵形式（5-21）

又因有即（5-22）

若令则正规方程又可写成（5-22）

（5-23）

若矩阵C是满秩，则有第25页数学期望

因式中Y、X为列向量(n×1阶矩阵和t×l阶矩阵)可见是X无偏预计。

其中矩阵元素Y1，Y2，…，Yn为直接量真值，而Xl，X2，…，Xn为待求量真值。第26页例5—1在不一样温度下，测定铜棒长度以下表，试预计0℃时铜棒长度y0和铜线膨胀系数α。解：（1）列出误差方程式中,li——在温度ti下铜棒长度测得值；α——铜线膨胀系数。令y0＝a，αy0=b为两个待预计参量，则误差方程可写为第27页(2)列出正规方程为计算方便，将数据列表以下：将表中计算出对应系数值代人上面正规方程得第28页（3）求出待求预计量

求解正规方程解得待求预计量即第29页按矩阵形式解算由正规方程，有第30页则所以（4）给出试验结果铜棒长度yt随温度t线性改变规律为第31页3．不等精度测量线性参数最小二乘法处理正规方程

不等精度测量时线性参数误差方程仍如上述式(5—9)一样，但在进行最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即用矩阵表示正规方程与等精度测量情况类似，可表示为（5-27）

即第32页上述正规方程又可写成（5-28）

该方程解，即参数最小二乘法处理为（5-29）

令则有（5-30）

第33页例5—2某测量过程有误差方程式及对应标准差以下：

试求x1，x2最小二乘法处理正规方程解。解：（1）首先确定各式权第34页（2）用表格计算给出正规方程常数项和系数（3）给出正规方程（4）求解正规方程组解得最小二乘法处理结果为第35页四、最小二乘原理与算术平均值原理关系为了确定一个量X预计量x，对它进行n次直接测量，得到n个数据l1，l2，…，ln，对应权分别为p1，p2，…，pn，则测量误差方程为(5-35)第36页其最小二乘法处理正规方程为(5-36)由误差方程知a＝l，因而有可得最小二乘法处理结果(5-37)这正是不等精度测量时加权算术平均值原理所给出结果。第37页对于等精度测量有

则由最小二乘法所确定预计量为此式与等精度测量时算术平均值原理给出结果相同。由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理是一致，算术平均值原理能够看做是最小二乘法原理特例。第38页第三节精度预计对测量数据最小二乘法处理最终止果，不但要给出待求量最可信赖预计量，而且还要确定其可信赖程度，即应给出所得预计量精度。第39页一、测量数据精度预计

为了确定最小二乘预计量X1，X2，…，Xt精度，首先需要给出直接测量所得测量数据精度。测量数据精度也以标准差σ来表示。因为无法求得σ真值，因而只能依据有限次测量结果给出σ预计值，所谓给出精度预计，实际上是求出预计值。第40页（一）等精度测量数据精度预计

设对包含t个未知量n个线性参数方程组（5－7）进行n次独立等精度测量，取得了n个测量数据l1，l2，…，ln。其对应测量误差分别为δ1，δ2，…，δn，它们是互不相关随机误差。因为普通情况下真误差δ1，δ2，…，δn是未知，只能由残余误差νl，ν2，…，νn给出σ预计量。第41页前面已证实是自由度为（n－t）χ2变量。依据χ2变量性质，有（5-39）取（5-40）能够证实它是σ2无偏预计量因为第42页习惯上，式5-40这个预计量也写成σ2，即（5-41）因而测量数据标准差预计量为（5-43）第43页例5．3试求例5．1中铜棒长度测量精度。已知残余误差方程为将ti，li，值代人上式，可得残余误差为第44页（二）不等精度测量数据精度预计

不等精度测量数据精度预计与等精度测量数据精度预计相同，只是公式中残余误差平方和变为加权残余误差平方和，测量数据单位权方差无偏预计为（5-44）

通常习惯写成（5-45）

测量数据单位权标准差为（5-46）

第45页二、最小二乘预计量精度预计最小二乘法所确定预计量X1，X2，…，Xt精度取决于测量数据精度和线性方程组所给出函数关系。对给定线性方程组，若已知测量数据l1，l2，…，ln精度，就可求得最小二乘预计量精度。

第46页下面首先讨论等精度测量时最小二乘预计量精度预计。设有正规方程现要给出由此方程所确定预计量xl，x2，…，xt精度。为此，利用不定乘数法求出xl，x2，…，xt表示式，然后再找出预计量xl，x2，…，xt精度与测量数据l1，l2，…，ln精度关系，即可得到预计量精度预计表示式。第47页设d11，dl2，…，dlt；d2l，d22，…，d2t：…；dtl，dt2，…，dtt分别为以下各方程组解：第48页则各预计量xl，x2，…，xt方差为（5-52）

对应标准差为（5-53）

式中，σ为测量数据标准差。不等精度测量情况与这类似。

第49页矩阵形式结果表示利用矩阵形式能够更方便地取得上述结果。设有协方差矩阵(n×n阶矩阵)式中第50页等精度独立测量若l1，l2，…，ln为等精度独立测量结果，即且相关系数ρij=0，即Dlij=0协方差矩阵于是预计量协方差为第51页式中各元素即为上述不定乘数，可由矩阵(ATA)求逆而得，或由式(5—51)求得。各预计量xl，x2，…，xt方差为第52页不等精度测量一样，也可得不等精度测量协方差矩阵式中σ——单位权标准差。矩阵式中各元素即为不定乘数，可由(ATPA)求逆得到，也可由式(5—54)求得。第53页例5—4

试求例5—1中铜棒长度和线膨胀系数预计量精度

已知正规方程为测量数据li标准差为第54页解：依据所给正规方程系数，可列出求解不定乘数方程组（1）列出求解不定乘数方程组，并求解分别解得第55页（2）计算预计量a、b标准差可得预计量a、b标准差为因（3）求出y0、α标准差故有第56页第四节组合测量最小二乘法处理

所谓组合测量，是指直接或间接测量一组被测量不一样组合值，从它们相互组合所依赖若干函数关系中，确定出各被测量最正确预计值。

在精密测试工作中，组合测量占有十分主要地位。比如，作为标准量多面棱体、度盘、砝码、电容器以及其它标准器检定等，为了减小随机误差影响，提升测量精度，可采取组合测量方法。通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，它是最小二乘法在精密测试中一个主要应用。第57页组合测量应用为简单起见，现以检定三段划线间距为例，说明组合测量数据处理方法。如图5—1所表示，要求检定刻线A、B、C、D间距离x1、x2、x3。第58页（1）测量方案及测量数据测量数据

组合测量方案第59页（2）误差方程依据测量方案列出误差方程误差方程矩阵形式（3）写出误差方程相关矩阵第60页（4）求解预计量x1、x2、x3最正确预计值由式（5-24）得式中第61页所以最终解得第62页（5）计算各次测量误差值

ν1=－0.013mmν2=0.002mmν3=0.007mmν4=0.005mmν5=－0.015mmν6=0.008mm将最正确预计值代入误差方程得第63页（6）计算各次测得数据标准差=0.000536mm3

因为是等精度测量，测得数据l1，l2．l3，l4，l5，l6标准差相同，为第64