二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解

TheNumericalSolutionsofSecond-OrderOrdinaryDifferentialEquationswiththeBoundaryValueProblemsThenumericalsolutionsforsolvingdifferentialequationsarevarious.Itformedanindependentresearchbranch.Thekeypointisthediscretizationofthedefinitesolutionproblemsofdifferentialequations.Thegoalofthispaperisthenumericalmethodsforsolvingsecond-orderordinarydifferentialequationswiththeboundaryvalueproblems.Thispaperintroducesthemathematicsknowledgewiththetheoryoffinitedifference.Throughsolvingtheproblems,reviewingwhathavebeenlearnedsystematicallyandunderstandingtheideasandmethodsofthefinitedifferencemethodinadeeperlayer,wecanestablishafoundationforthefuturelearning.Forthesecond-orderordinarydifferentialequationswiththeboundaryvalueproblems,wereviewtwokindsofnumericalmethodscommonlyusedforlinearboundaryvalueproblems,i.e.shootingmethodandfinitedifferencemethod.Therearemainlytwowaystocreatethesefinitedifferencemethods:i.e.TaylorseriesexpansionmethodandNumericalIntegration.Thelateroneismoreflexible,becauseatthesametimeitcangettheestimatesofthetruncationerrors.WegivetheexactcalculatingstepsandMatlabcodes.Moreover,wecomparetheadvantagesanddisadvantagesindetailofthesetwomethodsthroughaspecificnumericalexample.Inthefirstchapter,wewillintroducesomebackgroundsoftheordinarydifferentialequationsandthedifferencemethod.Inthesecondchapter,wewillobtaindifferenceschemesofthenumericalsolutionsoftheSecond-OrderordinarydifferentialequationswiththeboundaryvalueproblemsthroughtheTaylorexpansion.Inthethirdchapter,weusingMatlabtosolvethespecificexamplesonthebasisofthesecondchapter,andanalyzingtheerrors.KEYWORDS:OrdinaryDifferentialEquations,BoundaryValueProblems,FiniteDifferenceMethod,TaylorExpansion,NumericalSolution

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目录TOC\o"1-3"\h\u21712前言 ）图3-1给出了精确解曲线和步长为0.1的数值解曲线．图3-6给出了取不同步长的误差图曲线．图3-1精确解曲线图3-2步长0.01数值解曲线图3-3步长为时的误差曲线图3-4步长为时的误差曲线图3-5步长为时的误差曲线图3-6不同步长时的误差曲线例2考虑下面方程(3-2)解：可解出方程的精确解即解析解为，对方程进行Matlab编程，下面给出部分节点的数值解，精确解及误差．图3-4给出了精确解曲线和步长为0.1的数值解曲线．图3-12给出了取不同步长的误差图曲线．图3-5，3-6给出了步长为0.005，0.002，的数值解曲线.在图3-7中表示出该方程精确解的曲线.在图3-8中画出了步长为0.01时的数值解曲线.图3-9到图3-11分别表示了步长为0.01，0.005，0.002时的误差曲线图.x数值解精确解|数值解-精确解|0.1105230749422740.2442911562256080.4049715998575030.5967459651629510.8243776237974211.0932878994694601.4096417854116101.7804444124272702.2136495810241000.1105170918075650.2442805516320340.4049576422728010.5967298790565080.8243606353500641.0932712802343101.4096268952293301.7804327427939702.2136428000412600.598313470928651.060459357415941.395758470212891.608610644321381.698844735653631.661923515960951.489018227673891.166963329768400.67809828405707表3-4算例3-2部分节点处数值解、精确解和误差的绝对值（QUOTE）x数值解精确解|精确解-数值解|0.1105185876165060.2442832028256840.4049611317292040.5967339006533290.8243648825369371.0932754351174101.4096306178423401.7804356602558302.2136444953184600.1105170918075650.2442805516320340.4049576422728010.5967298790565080.8243606353500641.0932712802343101.4096268952293301.7804327427939702.2136428000412601.495808941653912.651193650060613.489456402938634.021596820669164.247186872641254.154883105567113.722613003187552.917461850771021.69527720617069表3-5算例3-2部分节点处数值解、精确解和误差的绝对值（QUOTE）x数值解精确解|数值解-精确解|0.1105173311388170.2442809758263470.4049582005903420.5967305225173820.8243613149058221.093271945021531.409627490852891.780433209592282.213643071288220.1105170918075650.2442805516320340.4049576422728010.5967298790565080.8243606353500641.093271280234311.409626895229331.7804327427939722.213642800041262.393312522885884.24194312675935.583175414769496.434608736949346.795557583316746.647872234921695.956235513693294.667983073414212.71246968441829表3-6算例3-2部分节点处数值解、精确解和误差的绝对值（QUOTE）图3-7精确解曲线图3-8步长0.01数值解曲线图3-9步长为时的误差曲线图3-10步长为时的误差曲线图3-11步长为时的误差曲线图3-12不同步长时的误差曲线§3.2算例结果分析表3-1和表3-2给出了取步长和步长为时计算得到的部分数值结果，数值解很好地逼近精确解.表3-3给出了QUOTE时计算得到的部分数值结果，随着计算步长的减小，误差越来越小，数值结果越来越精确．在第一个方程中，利用差分格式在两个区间中误差值分别取到极大值．若是在实际应用中只需考虑在这两个区间中的误差分别取到最小，那么就能够达到总体误差取到最小的效果．对实际应用有很重要的作用．从表3-3和表3-4、表3-7和表3-8数值的比较中也可以得出与第一个算例一样的结论，即当步长越小时，误差越小.不同的是，此方程的误差值的极大点只有一个．所以我们不能在没有确定具体方程之前，就判断它是一个或者两个误差极点．从两个不同的误差图图3-6和图3-12中可以看出，误差的数量级均符合要求，数值解很好地逼近了精确解.从而验证了差分格式解是存在的、稳定的，收敛[15-18]的的结论．误差的大小还和方程有关系，当方程光滑性质比较好时，用差分格式得出的数值解会更精确． 由上面两个例子可以看出数值解基本与精确解符合，误差在所能允许的范围内，因此第二章建立的差分格式[19-21]是正确的．

总结本文主要应用了常微分方程数值解和边值问题数值解的相关理论，对二阶常微分方程边值问题的数值解法进行了研究．在微分方程理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究地十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用．二阶常微分方程是常微分方程中的重要组成部分，由于大部分方程不能很容易地求解其解析解，故对此类方程的数值解法的研究是十分必要的．本文利用差分格式对求解区间进行分割，然后利用Taylor展开建立差分方程．有限差分法可以适应很多线性边值问题的求解，这个格式具有较好的收敛性以及较小的误差．因此，所建立的差分格式可用．

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致谢非常感谢贾小尧老师在我大学的最后学习期间——毕业设计阶段给予自己的指导，从最初的定题，到资料的收集，到写作、修改，到论文定稿．他给了我耐心的辅导和无私的帮助．为了指导我们的毕业论文，他放弃了自己的休息时间．他的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在此我向他表示我诚挚的谢意．同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年时间里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人做事．正是由于他们，我才能在个方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！感谢我的挚友马青青，贾梦丽，郭珍珍等等．我们在一起度过了很多快乐的日子．在我迷茫的时候，是她们陪在我身边，无声地激励我．在她们的帮助下，我顺利的解决了生活和学习中遇到的各种困难．最后深深地感谢呵护我成长的父母，每当我遇到困难的时候，父母总是在鼓励我、鞭策我，让我不断地前进．回顾20多年来的历程，每个脚印都充满着他们的关爱和教诲．父母给了我最宽厚的爱，我唯有永无止境的奋斗，期待将来的成就可以让父母为之骄傲．我相信我可以做到．写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样的也意味着新的学习生活的开始．我将谨记我曾是一名河南科技大学数统学院的学子，在今后的工作中把认真坚持的优良传统发扬光大．由于自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误．恳请阅读此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！

附录§1.程序§1.1例1程序精确解clear;s=1;t=exp(1);a=0;b=1;N=101;h=(b-a)/(N-1);x=linspace(0,1,N);x(1)=[];N=N-1;fori=1:N-1R(i)=exp(x(i).^2);endR=R';x(N)=[];plot(x,R,'g');数值解clear;s=1;t=exp(1);a=0;b=1;N=101;h=(b-a)/(N-1);x=linspace(0,1,N);x(1)=[];N=N-1;fori=1:N-1q(i)=2*x(i).^2;p(i)=-3*x(i);r(i)=2*exp(x(i)*x(i));endfori=1:N-1b1(i)=-2+h.^2*q(i);endfori=1:N-2c1(i)=1+h*p(i)/2;endfori=2:N-1a1(i-1)=1-h*p(i)/2;endA=diag(b1)+diag(a1,-1)+diag(c1,1);d1(1)=h*h*r(1)-(1-h*p(1)/2)*s;fori=2:N-2d1(i)=h.^2*r(i);endd1(N-1)=h.^2*r(N-1)-(1+h*p(N-1)/2)*t;D=d1';Y=inv(A)*D;x(N)=[];plot(x,Y,'g');求解误差clear;s=1;t=exp(1);a=0;b=1;N=101;h=(b-a)/(N-1);x=linspace(0,1,N);x(1)=[];N=N-1;fori=1:N-1q(i)=2*x(i).^2;p(i)=-3*x(i);r(i)=2*exp(x(i)*x(i));endfori=1:N-1b1(i)=-2+h.^2*q(i);endfori=1:N-2c1(i)=1+h*p(i)/2;endfori=2:N-1a1(i-1)=1-h*p(i)/2;endA=diag(b1)+diag(a1,-1)+diag(c1,1);d1(1)=h*h*r(1)-(1-h*p(1)/2)*s;fori=2:N-2d1(i)=h.^2*r(i);endd1(N-1)=h.^2*r(N-1)-(1+h*p(N-1)/2)*t;D=d1';Y=inv(A)*D;fori=1:N-1R(i)=exp(x(i).^2);endR=R';x(N)=[];fori=1:N-1E(i)=R(i)-