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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合.为自然数集,则下列表示不正确的是()A. B. C. D.2.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.3.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)4.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格5.设集合,则()A. B. C. D.6.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知抛物线C:,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(A在x轴上方),且满足,则直线l的斜率为()A.1 B.C.2 D.38.已知的垂心为,且是的中点,则()A.14 B.12 C.10 D.89.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)10.若函数的图象过点,则它的一条对称轴方程可能是()A. B. C. D.11.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.12.已知复数(为虚数单位,),则在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为________________.14.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之________.“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:1.同意画“○”,不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲乙丙15.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.16.已知向量,若向量与共线,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线与抛物线交于两点.(1)当点的横坐标之和为4时,求直线的斜率;(2)已知点,直线过点,记直线的斜率分别为,当取最大值时,求直线的方程.18.(12分)在直角坐标系中,已知直线的直角坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知直线与曲线、相交于异于极点的点,若的极径分别为,求的值.19.(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.21.(12分)已知抛物线与直线.(1)求抛物线C上的点到直线l距离的最小值;(2)设点是直线l上的动点,是定点,过点P作抛物线C的两条切线,切点为A,B,求证A,Q,B共线;并在时求点P坐标.22.(10分)设,,其中.(1)当时,求的值;(2)对,证明:恒为定值.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】
集合.为自然数集,由此能求出结果.【题目详解】解:集合.为自然数集,在A中,,正确;在B中,,正确;在C中,,正确;在D中,不是的子集,故D错误.故选:D.【答案点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2、A【答案解析】
由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【题目详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【答案点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.3、C【答案解析】
首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【题目详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【答案点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.4、D【答案解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【题目详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【答案点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.5、C【答案解析】
解对数不等式求得集合,由此求得两个集合的交集.【题目详解】由,解得,故.依题意,所以.故选:C【答案点睛】本小题主要考查对数不等式的解法,考查集合交集的概念和运算,属于基础题.6、D【答案解析】
根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【题目详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.【答案点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7、B【答案解析】
设直线的方程为代入抛物线方程,利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果.【题目详解】设,(,).易知直线l的斜率存在且不为0,设为,则直线l的方程为.与抛物线方程联立得,所以,.因为,所以,得,所以,即,,所以.故选:B.【答案点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力,属于中档题.8、A【答案解析】
由垂心的性质,得到,可转化,又即得解.【题目详解】因为为的垂心,所以,所以,而,所以,因为是的中点,所以.故选:A【答案点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9、C【答案解析】
根据并集的求法直接求出结果.【题目详解】∵,∴,故选C.【答案点睛】考查并集的求法,属于基础题.10、B【答案解析】
把已知点坐标代入求出,然后验证各选项.【题目详解】由题意,,或,,不妨取或,若,则函数为,四个选项都不合题意,若,则函数为,只有时,,即是对称轴.故选:B.【答案点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴,掌握正弦函数的性质是解题关键.11、C【答案解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【题目详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【答案点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.12、B【答案解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系,可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【题目详解】因为时,所以,,所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.【答案点睛】本题考查复数的几何意义,考查学生的计算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
在二项展开式的通项中令的指数为,求出参数值,然后代入通项可得出结果.【题目详解】的展开式的通项为,令,因此,的展开式中的系数为.故答案为:.【答案点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.14、91【答案解析】
设共有选票张,且票对应张数为,由此可构造不等式组化简得到,由投票有效率越高越小,可知,由此计算可得投票有效率.【题目详解】不妨设共有选票张,投票的有,票的有,票的有,则由题意可得:,化简得:,即,投票有效率越高,越小,则,,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为.故答案为:.【答案点睛】本题考查线性规划的实际应用问题,关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.15、18【答案解析】
先由,可得,再结合等差数列的前项和公式求解即可.【题目详解】解:因为,所以,.故答案为:18.【答案点睛】本题考查了等差数列基本量的运算,重点考查了等差数列的前项和公式,属基础题.16、【答案解析】
计算得到,根据向量平行计算得到答案.【题目详解】由题意可得,因为与共线,所以有,即,解得.故答案为:.【答案点睛】本题考查了根据向量平行求参数,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【答案解析】
(1)设,根据直线的斜率公式即可求解;(2)设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理得,,结合直线的斜率公式得到,换元后讨论的符号,求最值可求解.【题目详解】(1)设,因为,即直线的斜率为1.(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为.联立方程组,可得则,令,则则当时,;当且仅当,即时,解得时,取“=”号,当时,;当时,综上所述,当时,取得最大值,此时直线的方程是.【答案点睛】本题主要考查了直线的斜率公式,直线与抛物线的位置关系,换元法,均值不等式,考查了运算能力,属于难题.18、(1),.(2)【答案解析】
(1)先将曲线的参数方程化为直角坐标方程,即可代入公式化为极坐标;根据直线的直角坐标方程,求得倾斜角,即可得极坐标方程.(2)将直线的极坐标方程代入曲线、可得,进而代入可得的值.【题目详解】(1)曲线的参数方程为(为参数),消去得,把,代入得,从而得的极坐标方程为,∵直线的直角坐标方程为,其倾斜角为,∴直线的极坐标方程为.(2)将代入曲线的极坐标方程分别得到,则.【答案点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法,直角坐标方程化为极坐标方程的方法,极坐标的几何意义,属于中档题.19、(1)见解析;(2).【答案解析】
(1)取的中点,连接、,连接,证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值,进而可求得其正弦值.【题目详解】(1)取中点,连接、、,且,四边形为平行四边形,且,、分别为、中点,且,则四边形为平行四边形,且,且,且,所以,四边形为平行四边形,且,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,,,因此,二面角的正弦值为.【答案点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(Ⅰ).(Ⅱ).【答案解析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【题目详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【答案点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.21、(1);(2)证明见解析,或【答案解析】
(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出;(2)设,,,,表示出直线,的方程,利用表示出,,即可求定点的坐标.【题目详解】(1)设抛物线上点的坐标为,则,时取等号),则抛物线上的点到直线距离的最小值;(2)设,,,,,,直线,的方程为分别为
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