2021年广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波高级中学高三数学文联考试题含解析

2021年广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题p：?x∈R，32x+1＞0，有命题q：0＜x＜2是log2x＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．p∧q C．p∧￢q D．￢p∨q参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：∵命题p：?x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，∴命题q为假，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．2.若复数为纯虚数，则实数的值为A．

B．

C．

D．或参考答案：A3.已知数列｛｝满足，，则其前6项之和是(

)A.16

B.20

C.33

D.120参考答案：C，，，所以,选C.4.若（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】按照复数的运算法则，先将化为形式，再按照复数的几何意义，即可求解.【详解】复数对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.5.若正数满足，则（

）A.有最小值36，无最大值 B.有最大值36,无最小值C.有最小值6，无最大值 D.有最大值6，无最小值参考答案：A6.函数在区间(2，4)内的零点个数是A．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．3参考答案：C略7.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：B8.函数y=|lg（x-1）|的图象是

参考答案：C略9.已知抛物线上有一条长为8的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为（）A.2 B..3 C.4 D.5参考答案：B【分析】根据题意求得准线方程，分别过A作于A1，过B作于B1设弦AB的中点为M，过M作于M1,则可表示出,根据的范围和抛物线定义可得.【详解】由题意得抛物线的准线l的方程为，过A作于A1，过B作于B1，设弦AB的中点为M，过M作于M1，则，设抛物线的焦点为F，则，即（当且仅当A，B，F三点共线时等号成立），所以，解得，即孩AB的中点到x轴的最短距离为.选.故答案B.【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质．关键是对抛物线的定义的灵活利用．

10.已知，若在上恒成立，则实数a的取值范围是A．［－1，0］ B．(－∞，－1］ C．［0，1］ D．(－∞，0］∪［1，+∞）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①②，使得成立；③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一

点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是 参考答案：①②④.略12.已知

且

与

的夹角为

，k的值是

参考答案：13.设空间向量，，且，则

，

．参考答案：试题分析：因为则考点：空间向量共线的充要条件14.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当时，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn…x2n，若，则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．参考答案：3×（2n﹣1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×=3，依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×=3，依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如图所示：则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=3×（2n﹣1）．故答案为：3×（2n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题15.对于函数，若存在区间，当时，函数的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是_____▲______.参考答案：略16.已知x、y满足约束条件则的最小值为_________。参考答案：－317.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为________________.参考答案：-2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．参考答案：解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以（1）又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a=0．于是代入（1）式得：，；令S'（b）=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。略19.（本小题满分分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格（元/kg）1015202530日需求量（kg）1110865

(Ⅰ)求关于的线性回归方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量的预测值为多少？

参考公式：线性回归方程，其中，.参考答案：(Ⅰ)解:由所给数据计算得

,………………1分

,

……………………2分

,……………3分

.………4分.

………6分.

………8分所求线性回归方程为.

………9分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知当时,.………11分

故当价格元/kg时，日需求量的预测值为kg.

…12分20.（本题满分12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．（I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．参考答案：（I）的分布列为：123P的数学期望

（Ⅱ）事件D发生的概率是.解析：当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，为偶函数；∴事件D发生的概率是.

12分21.(12分)某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐场带来的经济收入情况，对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如下表：年份201120122013201420152016年份代码x123456使用率y(%)111316152021

(I)请根据以上数据,用最小二乘法求水上摩托使用率y关于年份代码x的线性回归方程，并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率。(Ⅱ)随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的I型、Ⅱ型两种，每辆价格分别为1万元、1.2万元。根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年，娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计，使用年限如条形图所示：

已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益－购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购I型水上摩托还是Ⅱ型水上摩托？附：回归直线方程为，其中，参考答案：解：（1）由表格数据，得，，，∴，∴，∴水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程为．当时，，故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%．（2）由频率估计概率，结合条形图知Ⅰ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，∴每辆Ⅰ型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）．由频率估计概率，结合条形图知Ⅱ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.2,0.4和0.3，∴每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）．

22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线：(为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.参考答案：解：（Ⅰ）曲线的普通方程为：；