正态分布-完整版教学设计

2.4正态分布【学习目标】1.通过正态曲线了解正态分布2.了解正态曲线的基本特点，了解正态曲线随着参数和变化而变化的特点，了解正态分布的3原则。3.会计算正态分布的概率【学习重、难点】学习重点：理解并掌握正态曲线的特点学习难点：掌握3原则【问题导学】1.什么是正态曲线？什么是正态分布？正态分布的密度函数是什么？3.什么是标准正态分布？密度函数是什么？如何将一般正态分布转化为标准正态分布？4.正态曲线的特点是什么？5.什么是3原则？【典例探究】典例1.下列关于正态曲线性质的叙述：曲线关于直线对称，这条曲线在轴的上方；曲线关于直线对称，这条曲线只有当时才在轴的上方；曲线关于轴对称，因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数；曲线在时位于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的位置由确定，曲线的形状由确定；越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”。其中正确的有典例2.已知随机变量X服从正态分布，，则（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84典例3.已知，求落在区间（1.35,1.45）内的概率。典例4.在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布，现在已知该班同学中成绩在分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？【基础训练】1.关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2.设随机变量服从正态分布,若,则c=()A.1 B.2C.3 D.4 3.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（）A. B.C.D.4.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（）A.该市这次考试的数学平均成绩为80分；B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D.该市这次考试的数学成绩标准差为10.10．商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10kg～10.2kg的概率是多少？【知识构建】【拓展训练】选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2,62)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.22．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．3．设随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p4．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)的概率相等，落在区间(－2,4)内的概率为99.7%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为()A．(1，eq\f(1,\r(2π))) B．(1，eq\r(2))C．(eq\f(1,\r(2π))，1) D．(1,1)5.已知随机变量服从正态分布，，则（）A． B． C． D，二、填空题6.如图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.7.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．8.设X～N(5,1)，则P(6<X≤7)=三、解答题9.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．10．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在[80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72～88mm间的零件大约占总数的百分之几？【高考链接】（2022•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内概率为（）A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%2.4正态分布的答案典例1（1）（4）（5）（6）典例2A典例3因为，所以落在区间（1.35,1.45）内的概率为典例4成绩服从正态分布，成绩在内的同学占全班同学的，成绩在内的同学占全班同学的。设该班有x名同学，则内的同学占全班同学的，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%，故成绩在90分以上的人仅有1人。基础训练DBAB解：∵X～N(10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P(9.8<X≤10.2)＝P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544.又∵正态曲线关于直线x＝10对称，∴P(10<X≤10.2)＝eq\f(1,2)P(9.8<X≤10.2)＝0.4772，∴质量在10kg～10.2kg的概率为0.4772.拓展训练1.解析：选C.由P(ξ<4)＝0.8知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.2.解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62，所以Y～N(2,62)．答案：Y～N(2,62)3.解析：选D.如图，P(ξ>1)表示x轴、x>1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x轴、x<－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p，所以P(－1<ξ<0)＝eq\f(1－2p,2)＝eq\f(1,2)－p.4.解析：选A.正态总体落在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称，所以μ＝1.又在区间(－2,4)内的概率为99.7%，∴1－3σ＝－2,1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up5(eq\f(x－1eq\s\up3(2),2))，x∈R，∴最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2π)))).A解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③7.解析：由正态分布的特征易得P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×[1－2P(0<ξ<1)]＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1.8.解：由已知得P(4<X≤6)＝0.6826P(3<X≤7)＝0.9544.又∵正态曲线关于直线x＝5对称，∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.由对称性知P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)，所以P(6<X≤7)＝eq\f(0.2718,2)＝0.13599.解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(x－μeq\s\up3(2),2σeq\s\up5(2))))＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(x－8000eq\s\up3(2),2×500eq\s\up5(2))))，x∈(－∞，＋∞)．(2)∵P(7500<ξ≤8500)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.又∵正态曲线关于直线x＝μ＝8000对称，∴P(8000<ξ≤8500)＝eq\f(1,2)P(7500<ξ≤8500)＝0.3413，即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的34.13%.10.解：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在[80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故概率密度函数解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,8\