高等代数 学习指南

学习指南学习方法只是个传说所谓学习方法就像武侠小说中的“葵花宝典”一样是虚构的。但别人的经验和教训的确值得借鉴，中学的学习方式必须改变。学习数学的方法：听课、看书、写作业。听课之前应了解一下这次课要讲什么内容（用三五分钟的时间翻翻教材就行了）；课堂上要认真听老师讲解思想方法，要学习数学的语言表达和规范；课后要用一定的时间看教材，领悟课堂内容，同时还要学习数学的书面语言表达和规范，然后再做作业，写作业要尽量模仿规范的数学表达。要想学好就得多听、多看、多想、多练。尽快掌握数学语言，要能把任何想法严谨清楚地表达出来。学习可分成两步：理解思想方法，再严谨清楚地表达出来。数学是一种工具，所以它的理论形成的往往有固定的模式：问题方法理论应用和扩展。代数学研究集合上的运算以及运算之间的关系。要考察任意两个运算之间的关联。这种思想贯穿于整个课程。两种运算之间的联系通常以“换序”的形式表现出来，比如乘法与加法的关系a(b+c)=ab+ac，其中左边是先加再乘，右边是先乘再加。另一种思想方法是分类：等价关系、不变量、标准形。重视等式：尽量把关系用等式表示出来。高等代数的内容有三个基本模块：多项式、矩阵、向量空间。多项式多项式的内容相对独立，除了其自身的价值，主要用作研究矩阵和向量空间的工具。在学习一元多项式时，可将其与整数集的性质对照学习，因为二者都有带余除法，所以许多性质都相似，用我们熟知的整数性质来类比将使学习一元多项式变得容易。多项式的基本问题还是根的问题。如果我们知道了多项式f(x)的所有的根，这个多项式基本就搞清楚了。但是，f(x)在所考虑的数域上可能根本就没有根，而且即使有根我们也可能找不出来，所以需要换一个思路。因为a是f(x)的根等价于说x-a是f(x)的因式，所以“寻根”其实就是因式分解。因式分解唯一定理是多项式内容的核心。因式分解唯一定理也是“把复杂对象分解成简单对象”这朴素的思想方法的一个具体表现。在因式分解唯一定理之前的内容基本上是为陈述和证明这个定理做准备的，当然，为此引入的概念、证明的定理本身也是重要的。带余除法是判断整除的有效工具（无论是在理论上还是在具体问题中都是如此），其完整的表达是：f=gq+r，其中r=0或degr<degg.常见的错误是忽视了后半句。其实没有后半句前面的等式毫无价值。带余除法的证明其实就是长除法的一般化，也就是说只要会长除法，就能理解证明的思想，问题是怎样把它严谨清楚地表达出来，这表明掌握数学语言是多么的重要。最大公因式既是多项的重要属性，也是研究多项式的重要工具。可以把最大公因式看做衡量两个多项式关系的一种尺度，互素当然是最简单的情形。互素的一个非常常用的等价表述是：“线性组合”等于1。后者体现了等式的重要性。互素经常作为条件出现在各种定理中。有两个很有用结果：1. 若f|h，g|h，且f与g互素，则fg|h；2. 若f|gh，且f与g互素，则f|h.它们描述了乘法和整除关系之间的联系。既然要讨论多项式的分解，我们当然希望把多项式分解成一些“不能再分的多项式”的乘积。“不能再分的多项式”就是既约多项式。在分解意义下它们就是最简单、最基本的多项式。一个既约多项式f和一个多项式g的关系只有两个极端：f|g或f与g互素。既约多项式有一个重要性质：若既约多项式整除一个乘积，则必整除其中的某个因子。现在就可以证明因式分解唯一定理了。因式分解唯一定理只是一个存在性定理，目前还人们还没发现进行因式分解的有效方法。接下来就是考虑特殊数域上多项式的因式分解唯一定理的具体形式了，其本质是确定既约多项的形式。主要讨论复数域、实数域和有理数域这三个最重要的数域。很多人多有一种错觉，认为有理数域上的问题最简单，复数域上的问题最复杂，但真实情况恰恰相反。复数域的多项式简单是因为有代数学基本定理：每个非常数的多项式在复数中都有根。根据代数学基本定理，复数域上的既约多项式恰好是一次式。所以，复数域上的多项式都可分解成一次式的乘积。实数域上情况稍微复杂一些：实数域上的既约多项式恰好是一次式或判别式小于0的二次式。所以，实数域上的多项式都可分成一些一次式和一些判别式小于0的二次式的乘积。有理数域的情形相当复杂：有任意次数的既约多项式，而且根本不知道既约多项式都长什么样。这一部分主要是证明Eisenstein判别法。有理数域上多项式的处理方法是化成整系数多项式，两个基本的思想方法中学就学过：1. 去分母——把有理系数化成整系数；2. 提取系数的公因式——把整系数的公因子提出来使剩下的多项式的系数互素。所以真正需要考虑的多项式是系数互素的整系数多项式，这正是本原多项式的由来。有两个自然的问题需要考虑：1. 两个本原多项式的乘积是否本原多项式？答案是肯定的（Gauss引理）。2. 一个整系数多项式不能分解成次数更低的整系数多项式之积是否也不能分解成次数更低的有理系数多项式的乘积？答案也是肯定的（这个结论也称为Gauss引理）。Eisenstein判别法只能用来判别很特殊的一类多项式的既约性，有很大局限性。对于以后的学习来说，上面的两个Guass引理更重要。矩阵矩阵的内容主要有：矩阵的运算（包括基本运算、函数、映射）、初等变换、线性方程组、矩阵的标准形。矩阵的加法、数乘、乘法、行列式、秩数、转置、取逆都可视为“运算”这会使相应内容在“运算以及运算之间的关系”的思想下很容易理解。行列式可以看做矩阵衍生的概念，可理解为方阵的数字特征。行列式是矩阵研究的有力工具，比如矩阵秩的定义是依靠行列式的，矩阵可逆性的判别是依赖于行列式乘法定理的，Jordan标准形中用到的行列式因子等等。学习行列式时要熟练掌握行列式的基本性质和一些计算行列式的常用技巧。矩阵的初等变换是处理矩阵最简单有效的工具。初等变换的思想结合分块矩阵常有事半功倍之效，比较典型的就是Schur公式。矩阵、n元向量、线性方程组三者联系很密切，它们的许多问题都可互相转化，特别是在讨论线性关系时：一个矩阵可拆成行向量组，也可拆成列向量组；一个向量组合在一起就是一个矩阵；一个线性方程组有解当且仅当常数列是系数矩阵的列的线性组合。线性方程组既可以看做矩阵的应用，也可作为研究矩阵的有力工具，特别是在探讨线性映射的核时，解空间即为核的坐标集。线性方程组的学习要从解的结构和解法两方面把握。要细心体会约化行阶梯形在这部分内容中的作用。矩阵的学习还要要把握住几点：1. 对矩阵乘法尽量用分块的方式去理解：AB的i列可看作以B的i列中元素为系数对A的各列做线性组合；向量的线性组合可以用矩阵的方式记，这样会使许多问题的思考变得简单而直观。2. 在学习Jordan标准形时先把概念读懂，再理清脉络，最后细究证明将是一个使问题清晰明了的有效方法。3. 实正规矩阵的正交相似标准形是在酉相似标准形的基础改进而成，把握住正规矩阵非实特征值的特征向量实部与虚部正交即可实现改进。向量空间高等代数以矩阵、有限维向量空间为核心。从同构角度来看，数域F上的n维向量空间及其上线性变换分别等同于F上全体n元列向量构成的向量空间及F上n阶矩阵，线性变换对向量的作用效果等同于n阶矩阵与n元列向量的乘法。因此，线性变换与n维向量空间中向量的关系可理解为n阶矩阵对n元列向量的乘法，这是直观而易于接受的。那么我们为什么不直接考虑列向量、矩阵这些具体的对象，而是要引入向量空间这个抽象的概念呢。这是学习高等代数时需想明白的一个问题，可以从下面几个方面来寻找这个问题的答案：矩阵只是一个模型、一个特例，不能用其直接阐释深刻的数学现象，它只是一个工具，一种手段，有其自身的局限性。相比之下，向量空间更易于成为数学研究的具有广泛意义和价值的对象：向量空间的表述方式可以使矩阵理论有更为开放的应用领域；无限维向量空间已经不能用矩阵解读了，因此向量空间的内涵远非矩阵所能涵盖。所以发展向量空间的一般理论既要依靠矩阵这个拐杖，又要有随时扔掉它的能力。当然关于这个问题的思考要贯穿于高等代数学习的始终。在学习时将二者的联系理清是重要的，最简单的原理可归纳为：在给定基底下，向量对应坐标，线性变换对应矩阵。以此为衔接点可使有限维向量空间的结果与矩阵的结果建立起一一对应。我们在学习时要留心