2静定多跨梁受力分析

静定结构的受力分析§3-1

梁的内力计算回顾§3-2

静定多跨梁§3-3

静定平面刚架§3-4

静定平面桁架§3-5

组合结构§3-6

三铰拱§3-7§3-8体方法及其截取顺序的优选刚体体系的虚功原理2FFBFAyFAx无多余

约束几何不变。如何求支座反力?静定结构3FFBFAyFAxFC超静定结构有多余

约束几何不变。如何求全部反力?45体系的几何组成与静力特性的关系静力特性体系的分类几何组成特性几何不变体系无多余约束的几何不变体系约束数目正好布置合理静定结构：仅由平衡条件就可求出全部反力和内力有多余约束的几何不变体系约束有多余布置合理超静定结构：仅由平衡条件求不出全部反力和内力几何可变体系几何瞬变体系约束数目够布置不合理内力为无穷大或不确定几何常变体系缺少必要的约束不存在静力解答静定结构的定义：从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。平衡方程为：或：

Fx

0

Fy

0

M

0MA

MB

Mc6

0

0

0（A,B,C不在同一直线上）§3-1杆件受力分析一、

体1.内力正负号在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。QFQFFNFNFNFNMMM

M

F782.体作

体应注意下列几点：

体与其余部分的联系要全部切之以相应的约束力；约束力要与被切断的约束性质相应；FxAFyAAM

ACNCFFQCFxAAFyAAACB93）

体只画受到的力，不画该

体施加给其余部分的力；不要遗漏力。

体受力图应包括荷载以及受到的全部约束力；已知力按实际方向表示，注明数值。未知力按正方向表示。10二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系yF

0Qy

q

dx

F

0FQ

dFQydFQdx

q2QM

-(M

dM)

F

dx

dF

)

dx

0QdxdM

FMO

0

Fx

0yM＋dMxqyqxF

+dFNNdxo1.

微分关系MFNFQFQ

dFQqxdx

dFN

0dF

qxNdxyd

2

M

qdx2小结：剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷载的集度，但正负号相反。弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。3弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的集度，但正负号相反。4轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载的集度qx

，但正负号相反。二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系

qy

FQdFQdx

dxdMdFN

qxdx2

dx11

qyd

2

M12因此：若剪力等于0，M

图平行于杆轴；若剪力为常数，则M

图为斜直线；若剪力为x的一次函数，即为均布荷载时，M

图为抛物线。

0

FyBM

0FQB右

FP

FQB左

0FQB右

FQB左

FPB

左B

右M

M

(FQB左

F

)

dx

02QB右MB

左

MB

右xy2.

集中荷载与内力之间的增量关系FPMB左MB右FQB右dxBFQB左1314小结：1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP

。2）M

图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。

0

FyB

M

03.

集中力偶与内力之间的增量关系mxMB左MB右dxFQB右yBFQB左FQB右

FQB左

(F

F

)

dx

0QB左

QB右

215B

左M

m

MB

右MB

右

MB

左

m1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M

图有台阶，台阶高度等于m。2）左右截面剪力不变。小结：mm/2m/2l

/216l

/2小结：荷载、内力图之间的关系梁上情况无外力均布荷载(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处剪力图水平线斜直线为零处有突变(突变值=FP)变号无变化无影响弯矩图一般为斜直线抛物线下凸有极值有尖角(向下）有极值有突变（突变值=M）为零荷载-内力关系17荷载-内力关系q>0荷载-内力关系20FQ=0截面荷载-内力关系单跨静定梁的内力图单跨静定梁的内力图三、分段叠加法作弯矩图分段叠加法是依据叠加原理得到的作M图的简便作图法。叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。只有线性变形体才适用叠加原理。qABBA=AB+

qMA23MBMAMBMAMB现在

分段叠加法的做法，见下图。ABFPm

q

C

D

q

BAFPC

CD

DmMCMC

MDMDBAFPm

q

C

C

D

DMCMCMDMD24在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的M

图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M图的问题。ABDCFPqmC25DABMCMD基线基线基线26步骤：1

支座反力（不一定是全部反力）2选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的M

值，将各控制面的M

值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。3对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的M图。例

作图示单跨梁的M、FQ图。1）求支座反力8

8yAF

1

(87

4

4

4

16)

1

136

17kN()F

yF

(8

4

4

1

7

)

7

k

N

(

)AFC8kN4kN/m16kN.mBD

E1m1m1m

FyF=7kN4mFyA=17kN

1m解：27FM

0Fy

02）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。已知MA＝0，MF＝0。C8kNA17kNMC1m

1m

FQCA2mMD

16kN.mF7kNDFQDF取右图AC段为

体：

0

MCMC

8117

2

0MC

34

8

26kN.m(下拉)取右图DF段为

体：

MD

0MD

16

7

2

0MD

16

14

30kN.m(下拉)283)作M图将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M

图即可。M图（kNm·

）DA172630723B

CE

F163026C

DA

F4829303)作M图将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M

图即可。A172630M图（kNm·

）723B

C

D

E

FCAF4)作FQ图1797BD

EFQ图（kN）

731例

作图示单跨梁的M、FQ图。yA8

40

21)

1040

/

8

130kN()E

M

0

F

1

(1606

40

4

2

80

40

2FyE

(160

40

6

40)

130

440

130

310

kN

(

)

0

Fy解：130kN1）求支座反力40kNAFD160kN40kN/m80kNm·E2m2m310kN4mB

C1m

1m2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值。已知MA＝0

，MF＝0。1m

1mA130kNMcCFQCA160kN80kNm·

ADMDC1m

1m

2m130kNFQDC取右图AC段为

体：

80kNm·

0

MCMC

130

2

80

340kN.m(下拉)取右图AD段为

体：

MD

0MD

130

4

80

160

2

600

320

280kN.m(下拉)32对悬臂段EF：

ME

02EM

40

2

1

40

22

80

80

160kN.m(上拉)130kN40kNAFD160kN40kN/m80kNm·EB1m

1m2m2m310kN4mC33343)

作M、FQ图将MA、MC、MD、ME、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。FDE30FQ

图（kN）A

B

CM图（kNm·

）340FADB

CE130210280140160小结：1弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；2

应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；3先画M图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。35分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，构件材料和结构几何变形均处于线弹性阶段。A36BO图中：OA段即为线弹性阶段AB段为非线性弹性阶段三、分段叠加法作弯矩图用作楼梯梁、屋面梁等。BAl四、斜杆（斜梁）受力分析3738q'dsq'dx

cosq'ds

qdx q

工程中

把自重转换成水平分布的，推导如下：ABllABdx作用在斜梁上的均布荷载根据荷载分布情况的不同，有两种方法表示：▲自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。▲人群等活荷载：力是沿水平方向分布，方向垂直向下。qq′39四、斜杆受力分析F

=ql/2ACxFyB=ql/2FxA=0以下图示斜梁为例进行

。qBqlcosθlqlθl

tgθθqlsinθyA解：1）支座反力如上图示。2）求任一截面C之MC、FQC、FNC

。1

MC

0MC

1

qx2

1

qlx

02

2(0

x

l

)M

C

2

qx

(l

x

)(下拉)qxsinθqxsqxcosθ(qlsinθ

)/2(qlcosθ)/2

Aql/2取右图AC段为

体：qql/2xMCθFQCC

FNCr40qxcosθqxsinθqx(qlsinθ

)/2(qlcosθ)/2ql/2sAqql/2xMCθC

FNCFQCr22QCQC

Fr

0F

qx

cos

ql

cos

0F

q(

l

x)

cos(0

x

l)2412NCNCF

1

ql

sin

qx

sin

0F

q(

l

x)

sin(0

x

l)

FS

0斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。qlqlcosθθqlsinθ(qlcosθ)/2AB(qlcosθ)/2θ42斜梁VS

水平梁

——支座反力（1）反力F

F

0

0XA

XAF

F

0YA

YAF

F

0YB

YB斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。ABab

x

LFp1CFp2Fp1Fp2CABL43x斜0

0CY

AP1M

F

x

F

(x

a)QCY

AP1F

0

F

FNCF

0

00NC

YA

P1

QCF

(F

F

)sinF

sin

0QC

YA

P1QCF

(F

F

)cos

F

cosM

F

x

F

(x

a)

MC

YA

P10C相应简支梁C点的内力为：斜梁C点的内力为：Fp10MCFQCFNCMCACxaFP1FYA0FYA044FQC斜梁结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，求剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。(qlcosθ)/2(qlcosθ)/2(qlsinθ)/2ql2/8M

图FQ

图(qlsinθ)/2FN

图内力图45ACxθl

/cosθqlcosθlqlθqlsinθ46例

作图示斜梁的内力图(注意支座)。qB90°FQBFyAFxA解：1)求A、B截面剪力和轴力

0

FsF

N

A

B

q

l

s

i

n

0FNAB

ql

sinF

0

r2QABF

1

ql

cos

ql

cos

02QABF

1

ql

cosFQABlθBFNABAsqqlcosθrFQBAqlθl/cosθ247FQB

ql

2

cos2

l

1

ql

cosA

M

02)

求跨中截面MC

0

MC2

2

2Cl2

cosM

1

q

(

l

)2

1

ql

cos

1

0FNAB取图示CB段为

体：FQABBl/2（qlcosθ）/2MCqC4

8

8CM

1

ql

2

1

ql2

1

ql2

(下拉)483)

作内力图。qlsinθFN图qlcosθ/2qlcosθ/2FQ

图ql2/8M

图49A注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。qBDC50§3-2

静定多跨梁受力分析一、静定多跨梁的构造特征和受力特征由若干根

铰联接后

几个相连跨度的静定结构——称为多跨静定梁：51§3-2

静定多跨梁受力分析一、静定多跨梁的构造特征和受力特征1.构造特征静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。BA

C

DABC附属部分1附属部分2

D基本部分522.

受力特征由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。二、内力分析解题步骤：1

画组成次序图；2从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。3

对于每一段单跨

分段叠加法作M

图。53例1

作图示静定多跨梁的M图和FQ图。ADB

CEF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m

1m3m1.5m

1.5m

1m解：1）作组成次序图组成次序图ABDCEF4kN/m10kN5420kNDMyC

0

F

1

(101.5

61)

9

3kN

()3

3

Fy

0FyD

13kN

()ABCDE

4kN/m

2）求附属部分和基本部分的约束力10kN20kN1m

1.5m1.5m

1m3m9kN1.5m

1.5m对于CE段梁:14kN3kN5513kN6kNF6kNBM

0yAF

1

(201.5

31)

27

9kN()3

3

0

FyFyB

14kN

()ABDCE4kN/m10kN20kN1m

1.5m1.5m

1m3m9kN1.5m

1.5m对于AC段梁:14kN3kN13kN566kNF6kN3）内力图如下图示ABDCEF13.54.5M图（kNm·

）364.5BDCEFQ图（kN）9113766F5758例2

作图示静定多跨梁的M图和FQ图。40kNAB80kNCD40kNm·E

F40kNHGKL40kNm·20kN/m2m2m2m2m

2m

1m1m

2m

2m组成次序图解：1）作组成次序图40kNABCDEFGH80kN

40kNm·40kNKL40kNm·20kN/m梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。FyA40kNABC80kNDEF2）求附属部分和基本部分的约束力40kNm·L20kN/m125kN10kNDF10kN

40kNH65kN5915kNFyCGFyHK40kNm·25kNFyL对于AD段梁：yAF

1

(40

2

70

2)4

60

15kN

()4M

0

CFy

0Fyc

125kN

()40kNAC10kN80kNDBFyC=125kNFyA=15kN2m2m602myHF

1

(40

5

10

6

20

2

1

40)4

1

(200

60

40

40)

65kN

()4

ML

0

0

FyFyL

25kN()H对于FL段梁：

10kN

40kNK20kN/mF

GFyH=65kN

40kNm·yLLF

=25kN1m1m

2m

2m613）内力图ACDHK30BL14020E2010F

G603040ABCD

EF

GHK1555M

图（kNm·

）701015L2550FQ图（kN）622m2m2m

1m