茆诗松概率论和数理统计教程市公开课金奖市赛课一等奖课件

第三章多维随机变量及其分布第1页在第二章,我们讨论了一个随机变量情况.在许多实际问题中,对于随机试验结果仅用一个随机变量来描述是不够,需要同时考虑两个或两个以上随机变量.

(1)调查炮弹落地点位置时,须同时由平面上横坐标X和纵坐标Y这两个随机变量来确定;比如:

(2)研究某地域儿童身体素质时,对这一地域儿童进行抽查,须同时考查其身高X1,体重X2,心肺功效X3,以及视力X4等多个随机变量.第2页显然此时,我们必须必须把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究.

我们称由同一样本空间n个随机变量X1,X2,…,Xn组成整体

X=(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量或n维随机向量.

一维随机向量就是我们第二章所讲随机变量.第3页

第一节多维随机变量及其联合分布1.多维随机变量联合分布2.惯用多维随机变量第4页多维随机变量概率分布该怎么描述呢?类似于一维随机变量,我们能够统一用分布函数来研究;然后,对于离散和连续两种情形下多维随机变量,我们能够用分布列和密度函数来分别研究.第5页1.多维随机变量联合分布定义:

为简明起见,本章则主要讨论二维随机变量,二维以上随机变量可类似地进行.第6页定义:

(X,Y)取值就相当于在平面内取值,所以F(x,y)就是随机向量(X,Y)落在以(x,y)为顶点左下方无穷矩形区域内概率,见下面阴影部分.第7页分布函数F(x,y)含有以下基本性质:注意:第8页第9页二维随机向量分类:离散型和连续型定义

若二维随机向量(X,Y)可能取值(x,y)是有限个或可列无穷个,则称(X,Y)是二维离散型随机向量.设随机向量(X,Y)全部可能值为(xi,yj),i,j=1,2,…,则为随机向量(X,Y)联合分布列.第10页或愈加直观,(X,Y)联合分布列也可用二向表来表示XYy1y2…ynx1p11p12…p1nx2p21p22…p2n……………xnpn1pn2…pnn第11页分布律pij两条基本性质:第12页例一.连续抛一枚硬币三次,定义X是取得正面次数,Y是三次中正面向上次数与反面向上次数差绝对值.试求(X,Y)分布律.解:(X,Y)取值情况为样本点HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTT(X,Y)(3,3)(2,1)(2,1)(2,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,3)所以(X,Y)分布律为第13页或愈加直观,(X,Y)分布律可用下表表示XY13001/813/8023/80301/8第14页例二.从分别标有号码1,2,2,3,3,46个球中任取三个球,X,Y分别表示其中最小号码与最大号码.求:(1)(X,Y)分布律;(2)P(X+Y>5);(3)分布函数值F(1,3).解:(1)X可能值为1,2,3;Y可能值为2,3,4.但(X,Y)可能取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).依据古典法求概率:第15页第16页所以,(X,Y)分布律为XY23411/201/41/5201/51/43001/20第17页定义:对二维随机向量(X,Y)分布函数为F(x,y),假如存在非负可积二元函数p(x,y),使得对任意(x,y),有则称(X,Y)为二维连续随机变量,称p(x,y)为(X,Y)联合密度函数.第18页联合密度函数p(x,y)含有以下基本性质:

这条性质表明:密度函数p(x,y)与xy平面之间体积等于1.第19页普通地,设G是XY平面上任一区域,则即(X,Y)落在区域G中概率等于p(x,y)在G上二重积分,也就是以G为底面,p(x,y)为顶面柱体体积.第20页类似于一维情形,所以,p(x,y)反应了(X,Y)落在(x,y)附近概率大小.第21页例三.设连续型随机向量(X,Y)含有概率密度解:第22页第23页(3)首先在平面上画出区域G:X+Y≤1.第24页2.惯用多维随机变量多项分布多维超几何分布多维均匀分布二维正态分布第25页多项分布(MultinomialDistribution)多项分布适用情形.进行n重独立试验,每次试验有r种可能结果:A1,A2,…,Ar,且每个结果发生概率为pi=P(Ai).记Xi是在这n次试验里Ai次数,多维随机变量(X1,X2,…,Xr)称为多项分布变量,(X1,X2,…,Xr)概率分布称为多项分布,记为M(n,p1,p2,…,pr)第26页多项分布分布列从二项分布分布列求法,不难推出第27页例四，袋中有N个球,其中a个红球,b个白球,c个黑球(a+b+c=N),现每次从袋中取一球,放回式抽样,共取n球.设X,Y分别是n球中红球和白球个数,求(X,Y)联合分布列.每取一球相当于一次试验,有三种可能结果:红球,白球,黑球,而且在每次试验中,因为是放回式抽样,各个结果出现概率是定值.再令Z代表黑球数目,则依据多项分布定义,第28页注意:本题中,放回式抽样是确保(X,Y,Z)是多项分布关键;当采取非放回是抽样时,(X,Y,Z)不再是多项分布,而是下面即将介绍多维超几何分布.第29页多维超几何分布多项超几何分布适用情形.同一维超几何分布一样,它惯用在抽样调查中,抽样是非放回式,只是现在产品不再仅仅分为两类:正品,次品,而是多类.比如:袋子中有N只球,共分为r类,其中第i类只数为Ni,所以有N=N1+N2+…+Nr.现从中非放回地抽取n只球,记Xi为n个球中第i类球个数,则(X1,X2,…,Xr)服从多维超几何分布,其分布列为第30页例五，在例四中,若采取非放回式抽样,求(X,Y)联合分布列.解:令Z代表黑球数目.因为采取非放回式抽样,则依据多维超几何分布定义,(X,Y,Z)服从超几何分布第31页多维均匀分布二维均匀分布定义:设D为xy平面上一个有界区域,其面积为SD,若二维随机变量(X,Y)联合密度函数为则称(X,Y)服从区域D上二维均匀分布.第32页例六.设三角形ABC中,AB=BC=1,角B=90度.现在三角形ABC内任取一点M,M到AB,BC距离分别为X,Y,求: (1)(X,Y)联合密度函数; (2)M到B距离小于1/2概率; (3)M到BC距离大于1/2概率.解:以B为原点,BC为横轴,BA为纵轴建立直角坐标系(1),因M在三角形ABC内是随机,所以(X,Y)是三角形ABC内均匀分布,所以其联合概率密度是第33页(2)M到B距离小于1/2概率为第34页(3)M到