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第24页(共24页)2021年广东省中考数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)下列实数中,最大的数是()A.π B. C.|﹣2| D.32.(3分)据国家卫生健康委员会发布,截至2021年5月23日,31个省(区、市)及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次,将“51085.8万”用科学记数法表示为()A.0.510858×109 B.51.0858×107 C.5.10858×104 D.5.10858×1083.(3分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是()A. B. C. D.4.(3分)已知9m=3,27n=4,则32m+3n=()A.1 B.6 C.7 D.125.(3分)若|a﹣|+=0,则ab=()A. B. C.4 D.96.(3分)下列图形是正方体展开图的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为()A. B.2 C.1 D.28.(3分)设6﹣的整数部分为a,小数部分为b,则(2a+)b的值是()A.6 B.2 C.12 D.99.(3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,则其面积S=.这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()A. B.4 C.2 D.510.(3分)设O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x2上的两个动点,且OA⊥OB.连接点A、B,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值()A. B. C. D.1二、填空题:本大题7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)二元一次方程组的解为.12.(4分)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.13.(4分)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为.14.(4分)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,则符合条件的一个方程为.15.(4分)若x+=且0<x<1,则x2﹣=.16.(4分)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=.过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE=.17.(4分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为.三、解答题(一):本大题共3小题,每小题6分,共18分.18.(6分)解不等式组.19.(6分)某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体600名学生中抽取20名,其竞赛成绩如图:(1)求这20名学生成绩的众数,中位数和平均数;(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.(1)若AE=1,求△ABD的周长;(2)若AD=BD,求tan∠ABC的值.四、解答题(二):本大题共3小题,每小题8分,共24分。21.(8分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=图象的一个交点为P(1,m).(1)求m的值;(2)若PA=2AB,求k的值.22.(8分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒.(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式并求最大利润.23.(8分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.五、解答题(三):本大题共2小题,每小题10分,共20分。24.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.(1)求证:CF⊥FB;(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.25.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(﹣1,0),且对任意实数x,都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6.(1)求该二次函数的解析式;(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C;点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

2021年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)下列实数中,最大的数是()A.π B. C.|﹣2| D.3【解答】解:|﹣2|=2,∵2<4,∴<2,∴<2<3<π,∴最大的数是π,故选:A.2.(3分)据国家卫生健康委员会发布,截至2021年5月23日,31个省(区、市)及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次,将“51085.8万”用科学记数法表示为()A.0.510858×109 B.51.0858×107 C.5.10858×104 D.5.10858×108【解答】解:51085.8万=510858000=5.10858×108,故选:D.3.(3分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是()A. B. C. D.【解答】解:画树状图为:共有36种等可能的结果,其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种,∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为=,故选:B.4.(3分)已知9m=3,27n=4,则32m+3n=()A.1 B.6 C.7 D.12【解答】解:∵9m=32m=3,27n=33n=4,∴32m+3n=32m×33n=3×4=12.故选:D.5.(3分)若|a﹣|+=0,则ab=()A. B. C.4 D.9【解答】解:由题意得,a﹣=0,9a2﹣12ab+4b2=0,解得a=,b=,所以,ab=×=.故选:B.6.(3分)下列图形是正方体展开图的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解:由正方体的展开图的特征可知,可以拼成正方体是下列三个图形:故这些图形是正方体展开图的个数为3个.故选:C.7.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为()A. B.2 C.1 D.2【解答】解:如图,过点D作DT⊥AB于T.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴DC⊥BC,∵DB平分∠CBA,DC⊥BC,DT⊥BA,∴DC=DT=1,∵AC=3,∴AD=AC﹣CD=2,∴AD=2DT,∴∠A=30°,∴AB===2,解法二:AD=2DT由此处开始,可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT=,再由垂径定理可得AB=2AT得解.故选:B.8.(3分)设6﹣的整数部分为a,小数部分为b,则(2a+)b的值是()A.6 B.2 C.12 D.9【解答】解:∵3<<4,∴2<6﹣<3,∵6﹣的整数部分为a,小数部分为b,∴a=2,b=6﹣﹣2=4﹣,∴(2a+)b=(2×2+)×(4﹣)=(4+)(4﹣)=6,故选:A.9.(3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,则其面积S=.这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()A. B.4 C.2 D.5【解答】解:∵p=,p=5,c=4,∴5=,∴a+b=6,∴a=6﹣b,∴S=======,当b=3时,S有最大值为=2.故选:C.10.(3分)设O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x2上的两个动点,且OA⊥OB.连接点A、B,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值()A. B. C. D.1【解答】解:如图,分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F,设OE=a,OF=b,由抛物线解析式为y=x2,则AE=a2,BF=b2,作AH⊥BF于H,交y轴于点G,连接AB交y轴于点D,设点D(0,m),∵DG∥BH,∴△ADG∽△ABH,∴,即.化简得:m=ab.∵∠AOB=90°,∴∠AOE+∠BOF=90°,又∠AOE+∠EAO=90°,∴∠BOF=∠EAO,又∠AEO=∠BFO=90°,∴△AEO∽△OFB.∴,即,化简得ab=1.则m=ab=1,说明直线AB过定点D,D点坐标为(0,1).∵∠DCO=90°,DO=1,∴点C是在以DO为直径的圆上运动,∴当点C到y轴距离为=时,点C到y轴距离的最大.故选:A.二、填空题:本大题7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)二元一次方程组的解为.【解答】解:,①×2﹣②,得:3y=﹣6,即y=﹣2,将y=﹣2代入②,得:2x+(﹣2)=2,解得:x=2,所以方程组的解为.故答案为.12.(4分)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2x2+4x.【解答】解:把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为:y=2(x+1)2+1﹣3,即y=2x2+4x故答案为y=2x2+4x.13.(4分)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为4﹣π.【解答】解:等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4,∴∠B=∠C=45°,∴AB=AC=BC=2∵BE=CE=BC=2,∴阴影部分的面积S=S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=2﹣×2=4﹣π,故答案为4﹣π.14.(4分)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,则符合条件的一个方程为x2﹣2=0(答案不唯一).【解答】解:∵若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,∴满足条件的方程可以为:x2﹣2=0(答案不唯一),故答案为:x2﹣2=0(答案不唯一).15.(4分)若x+=且0<x<1,则x2﹣=﹣.【解答】解:∵0<x<1,∴x<,∴x﹣<0,∵x+=,∴(x+)2=,即x2+2+=,∴x2﹣2+=﹣4,∴(x﹣)2=,∴x﹣=﹣,∴x2﹣=(x+)(x﹣)=×(﹣)=﹣,故答案为:﹣.16.(4分)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=.过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE=.【解答】解:如图,过点B作BF⊥EC于点F,∵DE⊥AB,AD=5,sinA==,∴DE=4,∴AE==3,在▱ABCD中,AD=BC=5,AB=CD=12,∴BE=AB﹣AE=12﹣3=9,∵CD∥AB,∴∠DEA=∠EDC=90°,∠CEB=∠DCE,∴tan∠CEB=tan∠DCE,∴===,∴EF=3BF,在Rt△BEF中,根据勾股定理,得EF2+BF2=BE2,∴(3BF)2+BF2=92,解得,BF=,∴sin∠BCE===.故答案为:.17.(4分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为.【解答】解:如图所示.∵∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O(因求CD最小值,故圆心O在AB的右侧),连接OC,当O、D、C三点共线时,CD的值最小.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形,∴AO=BO=sin45°×AB=.∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,∴∠OBE=45°,作OE⊥BC于点E,∴△OBE为等腰直角三角形.∴OE=BE=sin45°•OB=1,∴CE=BC﹣BE=3﹣1=2,在Rt△OEC中,OC===.当O、D、C三点共线时,CD最小为CD=OC﹣OD=.故答案为:.三、解答题(一):本大题共3小题,每小题6分,共18分.18.(6分)解不等式组.【解答】解:解不等式2x﹣4>3(x﹣2),得:x<2,解不等式4x>,得:x>﹣1,则不等式组的解集为﹣1<x<2.19.(6分)某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体600名学生中抽取20名,其竞赛成绩如图:(1)求这20名学生成绩的众数,中位数和平均数;(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.【解答】解:(1)由列表中90分对应的人数最多,因此这组数据的众数应该是90,由于人数总和是20人为偶数,将数据从小到大排列后,第10个和第11个数据都是90分,因此这组数据的中位数应该是90,平均数是:=90.5;(2)根据题意得:600×=450(人),答:估计该年级获优秀等级的学生人数是450人.20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.(1)若AE=1,求△ABD的周长;(2)若AD=BD,求tan∠ABC的值.【解答】解:(1)如图,连接BD,设BC垂直平分线交BC于点F,∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC,∵AB=CE,∴C△ABD=AC+CE=AE=1,故△ABD的周长为1.(2)设AD=x,∴BD=3x,又∵BD=CD,∴AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中,AB===2.∴tan∠ABC===.四、解答题(二):本大题共3小题,每小题8分,共24分。21.(8分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=图象的一个交点为P(1,m).(1)求m的值;(2)若PA=2AB,求k的值.【解答】解:(1)∵P(1,m)为反比例函数y=图象上一点,∴代入得m==4,∴m=4;(2)令y=0,即kx+b=0,∴x=﹣,A(﹣,0),令x=0,y=b,∴B(0,b),∵PA=2AB,由图象得,可分为以下两种情况:①B在y轴正半轴时,b>0,∵PA=2AB,过P作PH⊥x轴交x轴于点H,又B1O⊥A1H,∠PA1O=∠B1A1O,∴△A1OB1∽△A1HP,∴,∴B1O=PH=4×=2,∴b=2,∴A1O=OH=1,∴|﹣|=1,∴k=2;②B在y轴负半轴时,b<0,过P作PQ⊥y轴,∵PQ⊥B2Q,A2O⊥B2Q,∠A2B2O=∠AB2Q,∴△A2OB2∽△PQB2,∴,∴AO=|﹣|=PQ=,B2O=B2Q=OQ=|b|=2,∴b=﹣2,∴k=6,综上,k=2或k=6.22.(8分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒.(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式并求最大利润.【解答】解:(1)设猪肉粽每盒进价a元,则豆沙粽每盒进价(a﹣10)元,则,解得:a=40,经检验a=40是方程的解,∴猪肉粽每盒进价40元,豆沙粽每盒进价30元,(2)由题意得,当x=50时,每天可售出100盒,当猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)时,每天可售[100﹣2(x﹣50)]盒,∴y=x[100﹣2(x﹣50)]﹣40×[100﹣2(x﹣50)]=﹣2x2+280x﹣8000,配方,得:y=﹣2(x﹣70)2+1800,∵x<70时,y随x的增大而增大,∴当x=65时,y取最大值,最大值为:﹣2(65﹣70)2+1800=1750(元).答:y关于x的函数解析式为y=﹣2x2+280x﹣8000(50≤x≤65),且最大利润为1750元.23.(8分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.【解答】解:延长BF交CD于H,连接EH.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∠D=∠DAB=90°,AD=CD=AB=1,∴AC===,由翻折的性质可知,AE=EF,∠EAB=∠EFB=90°,∠AEB=∠FEB,∵点E是AD的中点,∴AE=DE=EF,∵∠D=∠EFH=90°,在Rt△EHD和Rt△EHF中,,∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL),∴∠DEH=∠FEH,∵∠DEF+∠AEF=180°,∴2∠DEH+2∠AEB=180°,∴∠DEH+∠AEB=90°,∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠DEH=∠ABE,∴△EDH∽△BAE,∴==,∴DH=,CH=,∵CH∥AB,∴==,∴CG=AC=.五、解答题(三):本大题共2小题,每小题10分,共20分。24.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.(1)求证:CF⊥FB;(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.【解答】(1)证明:∵CD=DF,∴∠DCF=∠DFC,∵EF∥CD,∴∠DCF=∠EFC,∴∠DFC=∠EFC,∴∠DFE=2∠EFC,∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB,∵CD∥EF,CD∥AB,∴AB∥EF,∴∠EFB=∠AFB,∴∠AFE=2∠BFE,∵∠AFE+∠DFE=180°,∴2∠BFE+2∠EFC=180°,∴∠BFE+∠EFC=90°,∴∠BFC=90°,∴CF⊥BF;(2)证明:如图1,取AD的中点O,过点O作OH⊥BC于H,∴∠OHC=90°=∠ABC,∴OH∥AB,∵AB∥CD,∴OH∥AB∥CD,∵AB∥CD,AB≠CD,∴四边形ABCD是梯形,∴点H是BC的中点,∴OH=(AB+CD),连接并延长交BA的延长线于G,∴∠G=∠DCO,∵∠AOG=∠DOC,OA=OD,∴△AOG≌△DOC(AAS),∴AG=CD,OC=OG,∴OH是△BCG的中位线,∴OH=BG=(AB+AG)=(AF+DF)=AD,∵OH⊥BC,∴以AD为直径的圆与BC相切;(3)如图2,由(1)知,∠DFE=2∠EFC,∵∠DFE=120°,∴∠CFE=60°,在Rt△CEF中,EF=2,∠ECF=90°﹣∠CFE=30°,∴CF=2EF=4,∴CE==2,∵AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,∴∠ECD=∠CEF=90°,过点D作DM⊥EF,交EF的延长线于M,∴∠M=90°,∴∠M=∠ECD=∠CEF=90

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