代数与几何II（3）课程教学大纲

7.16教学单元十六7.16.1教学日期：7.16.2教学目标：掌握正交变换的概念及对正交变换的刻画，理解正交变换的性质.7.16.3教学内容：第八章欧几里得空间——§3正交变换教学重点：掌握正交变换的概念及对正交变换的刻画，理解正交变换的性质.教学难点：正交变换刻画定理和性质的证明.7.16.4教学过程：一．正交变换的概念及刻画正交变换的来源我们知道，所谓平面上两个三角形全等，是指一个三角形经过有限次平移、绕点旋转或对一直线反射后和另一三角形重合.我们撇开比较简单的平移，而绕点旋转和对一直线的反射均可视为欧几里得空间上的线性变换.由于在通过平移和线性变换使一个三角形与另一个三角形重合这一过程要求线性变换必须具有“刚性”——即保持图形不发生形变，具体地讲，就是必须保持线段的长度和线段间的角度不变.显然这样的线性变换极具研究价值.下面我们就一般欧几里得空间而言，来讨论这种保持长度与夹角均不变的线性变换.设，如果要求满足：保持长度不变：对，；保持角度不变：，.而(i)和(ii)等价于：保持内积不变，即，.正交变换的定义定义8.3.1.欧几里得空间的线性变换称为正交变换，如果对，均有.正交变换的刻画定理8.3.1.设是欧几里得空间的一个线性变换，则下列命题等价：是正交变换.对，.若为的标准正交基，则也是标准正交基.在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证明：略.二．正交变换的性质正交变换除了是保长线性变换与保角线性变换外，还具有如下一些性质：性质1.若是正交变换的不变子空间，则是的正交变换.证明：因是正交变换的不变子空间，故是的线性变换，又对，由的定义有：，故是的正交变换.性质2.有限维欧几里得空间的正交变换必是可逆变换，且逆变换也是正交变换.因此正交变换是到的一个自同构映射.分析证明：设是有限维欧几里得空间的一个正交变换，要证明是可逆变换，只须证明：即可.设有，但，由正交变换的定义有从而，这与的假设矛盾.故.我们按定义说明的逆变换也是正交变换，因可逆，故对，均使得：，这样便有.从而.故也是正交变换.性质3.若是有限维欧几里得空间的一个正交变换，则在的任何基下的矩阵的行列式的平方等于1，即.分析：设在的基下的矩阵，要证明，如果是正交矩阵，但未必就是正交矩阵，联想到正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而不同基下的矩阵是相似的，利用相似关系便可得到结论.证明：设在的基下的矩阵，并设为的标准正交基，令在基下的矩阵为，则为正交矩阵，即.又矩阵，是同一线性变换在不同基下的矩阵，因而是相似的，设则有，即.性质4.若是正交变换的特征值，则或.分析证明：设是正交变换的特征值，为属于特征值的特征向量，则有.又因是正交变换，即，将代入得：而是特征向量，因此，从而.于是有，即或.性质5.设是有限维欧几里得空间的一个正交变换，若是的不变子空间，则也是的不变子空间.分析证明：要证明也是的不变子空间，只需要证明：对，均有.而的意思是：，即对，应有.由于是正交变换，是的不变子空间，根据性质1，是的正交变换.再由性质2，正交变换是可逆变换，知，，使得，这样便有.于是，即也是的不变子空间.三．正交变换群设是一个维欧几里得空间，令表示上全体正交变换构成的集合，则满足：0．，有，即乘法是封闭的.显然对，有，即结合律成立.恒等变换是正交变换，因而.由性质2知：对，有.注：满足上述条件的代数结构我们叫做群，这样上全体正交变换构成一个群，即所谓正交变换群.正交变换的分类定义8.3.2.若正交变换在一组基下的矩阵的行列式为1，则称该正交变换为旋转或第一类正交变换；若行列式为，则称该正交变换为第二类正交变换.示例1.设的标准正交基为，且的线性变换在基下的矩阵为显然是一个正交变换（因）且是第一类的.示例2.设是维欧几里得空间的一个标准正交基，线性变换满足：则在基下的矩阵其行列式：.又由知：是正交变换且为第二类的.四．典型例题设是欧几里得空间的一个单位向量，是的一个变换.若满足：，.则称为镜面反射，证明：镜面反射是正交变换；镜面反射是第二类的，即在标准正交基下的矩阵的行列式等于；是维欧几里得空间，为正交变换，1为的特征值且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射.证明：(1)及，有即为一线性变换.其次由知：是正交变换.(2)因为单位向量，故可将扩充为的一组标准正交基：，于是有从而在标准正交基下的矩阵为，.(3)设的特征子空间的标准正交基为.由知：.令，为单位向量.又是正交变换，根据性质5，都是的不变子空间，这样便是的特征向量，且.对，设，则即是镜面反射.设和是维欧几里得空间中两个向量组.证明存在一正交变换，使得，的充分必要条件为，.证明：设有正交变换，使得，.由正交变换的定义易知：，.反之，若，.令,.注意到：向量组的秩等于向量组的秩.于是有：，且，（两个欧几里得空间同构的充要条件是维数相同）.不妨设为的极大线性无关组，则是的极大线性无关组，令：满足，易知为到上的同构映射，并设是到上的同构映射，对，，定义则不难验证是的一个线性变换.又对，及，，由同构映射的性质，有从而为的正交变换.由于，所以，.7.16.5教学方法：讲授法7.16.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：正交变换和正交矩阵的关系7.16.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．向量空间的内积7.16.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.17教学单元十七7.17.1教学日期：7.17.2教学目标：掌握对称变换的概念及对称变换的刻画，理解对称变换的性质，掌握对称矩阵对角化的方法.7.17.3教学内容：第八章欧几里得空间——§4对称变换与实对称矩阵的标准形教学重点：掌握对称变换的概念及对称变换的刻画，理解对称变换的性质，掌握对称矩阵对角化的方法.教学难点：对称变换基本定理的证明.7.17.4教学过程：一．对称变换的概念与刻画对称变换的概念对称变换起源于实对称矩阵.定义8.4.1.对任一实对称矩阵，把它看成是维欧几里得空间的某一线性变换在某一组标准正交基下的矩阵，则称线性变换为的一个对称变换.例：设，，则由决定的线性变换.是一个对称变换.在标准正交基下的矩阵为.对称变换的刻画定理8.4.1.设，为一维欧几里得空间，则下列各条等价：是对称变换；在的任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵；对，.证明：(i)(ii).若是对称变换，设在标准正交基下的矩阵为对称矩阵，即.今设为的任一组标准正交基，且在基下的矩阵为.令从基到基的过渡矩阵为，而标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵，即，于是有.从而.即为对称矩阵.(ii)(iii).设为标准正交基，并设，其中：.，设，其中：分别为向量在基下的坐标.于是有，.从而故.(iii)(i).设为任一标准正交基，而，.我们证明：.即要证明：.因.于是由(iii)有：而..故有.这说明为对称矩阵.一般教科书都采用(iii)作定义，因为以(iii)作定义，不仅对于有限维欧几里得空间，而且对于无限维欧几里得空间也适用.对称变换全体构成的一个子空间.若是对称变换，则为对称变换.二．对称变换基本定理对称变换基本定理设为维欧几里得空间的一个对称变换，则在中存在一组标准正交基，使在这组标准正交基下的矩阵为对角矩阵.引理1.设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.分析证明：要证明的特征值为实数，只须证明的所以根都是实数.设是任一根，则有特征向量，且.而要证明为实数，我们证明：.设，规定：.由于，于是.由，有.注意到：.而，，故=.又因为，所以.故，即为一个实数.引理2.设是对称变换，是子空间，则也是子空间.分析证明：要证也是子空间.只须证明：对，即可.要证，只须证明：.即对都有，亦即.注意到：是子空间，于是，而，再由是对称变换，便得.引理3.设是实对称矩阵，则中属于不同特征值的特征向量必正交.分析证明：设是的两个不同的特征值，分别是属于特征值的特征向量：，.令是所对应的一个对称变换，于是有，.由有因，所以，即正交.对称变换基本定理的分析证明：要证明任一对称变换可对角化，必须根据线性变换对角化的充要条件：①有个线性无关的特征向量.②.③.④的最小多项式的根全在内且无重根.注意到：④对具体的线性变换才有效，②与③相同，所以我们有两种证明思路：证明有个特征向量构成的标准正交基.这可以用数学归纳法证明.证明或.我们就思路进行分析.设为对称变换的全部且互不相同的特征值，为的属于特征值的特征子空间,.由引理3知：的特征子空间的和是直和.令，只须证明：.若，由于是子空间，则，由引理2，也是子空间，这样对称变换在上的限制是的对称变换.由引理1知：至少有一特征值，设为.显然.这与假设矛盾，故.取为的标准正交基,.则,,为的标准正交基，且它们全部都是的特征向量.用矩阵语言来叙述对称变换基本定理，便得定理8.4.2.对于任一级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵使得为对角矩阵.用二次型语言来叙述对称变换基本定理，便得定理8.4.3.任一实二次型都可以经过一个正交线性替换变成标准型：其中：为的全部特征值.三．给定实对称矩阵，求正交矩阵的一般步骤给定实对称矩阵，求正交矩阵使为对角矩阵的一般步骤是：第一步解方程，求出的全部互不相同的特征值.第二步对于每个，解齐次线性方程组，求出一个基础解系得到的特征子空间的一组基.第三步对于每个特征子空间，从基出发，按Schmidt正交化过程，求出的标准正交基.第四步因互不相同，则,,为的一组标准正交基，并且都是的特征向量.取(,,)则.四．典型例题设，求正交矩阵使得为对角矩阵.解：因的特征多项式.故的特征值为和.将代入齐次线性方程组得基础解系：.将其正交化，得再单位化，得将代入齐次线性方程组得基础解系：.单位化，得.取，则.用正交线性替换化二次型为标准形，并写出这个正交线性替换.解：因该二次型的矩阵为.于是的特征多项式.从而得的特征值，.将时，求得齐次线性方程组的基础解系：,,.正交化，得单位化，得当时，求得齐次线性方程组的基础解系，单位化，得.令，则是正交矩阵，于是在正交线性替换下，有标准形.注：当时，如果我们取齐次线性方程组的基础解系为：,，则彼此正交，因此我们只须将单位化，得.当时不变，令也是本题的解，且更简单.这说明满足条件“为对角矩阵”的正交矩阵不是唯一的.试证：实矩阵是正定的充要条件为：存在一个可逆的实对称矩阵,使.证明：必要性.若是级正定矩阵，那么它的特征值，且存在正交矩阵使得.于是令，则有，由于，故，即为实对称矩阵，且，故可逆.充分性.若，为可逆实对称矩阵，那么存在正交矩阵，使得,其中：是的特征值.从而有.并由可逆知：.于是.由为正交矩阵知：，即为实对称矩阵，且显然的特征值均为正实数.故为正定矩阵.设为维实线性空间上的线性变换，证明：能在上引入内积使得为对称变换的充要条件是有个线性无关的特征向量.证明：必要性.如果能在中引入内积，使得为对称变换，则在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵，由对称变换基本定理知：可对角化，所以有个线性无关的特征向量.充分性.设有个线性无关的特征向量，则它们是的一组基.对任意，令并定义二元实函数.显然这样定义的二元函数满足内积定义的四个条件.于是为一欧几里得空间.由于，因此对任意，有故为对称变换.7.17.5教学方法：讲授法7.17.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：实对称矩阵的对角化7.17.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．复习对角化7.17.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.18教学单元十八7.18.1教学日期：7.18.2教学目标：总结习题课．7.18.3教学内容：第八章欧几里得空间本章小结及习题课.7.18.4教学过程：本章小结及习题课学习本章应着重领会的数学精神、思想和方法应着重领会的数学精神贯穿在整个数学中的一般化和扩张化精神欧几里得空间的产生典型的体现了“贯穿在整个数学中的一般化和扩张化精神”，因为它是一般几何空间的推广，但读者应着重理解的是这一推广的“着眼点”的选择，即通过对数量积的理性分析，抓住其本质特征，从而在实数域上的维线性空间中引入内积概念来实现这一推广.并将几何空间中的独立性质如长度、夹角、距离等概念进行推广，得到了欧几里得空间的概念.同时，欧几里得空间中的正交变换是几何空间中的旋转变换和镜面反射概念的推广.贯穿在整个数学中的应用化精神应用化精神充分体现在如下两个方面：从整体上说，欧几里得空间的理论可以说是线性空间和线性变换理论的应用，从局部方面看，对称变换与对称矩阵的对角化，为二次型的标准提供了一个新的方法.贯穿在整个数学中的统一建设精神欧几里得空间的理论不是几何空间的简单推广，而是更加严密，更加理论化，充满了理性和智慧，从而使之成为一个精巧的理论，这一理论的建立充分说明了“贯穿在整个数学中的统一建设精神”的意义.应着重领会的数学思想和方法数学思想：同构与分类思想.在同构思想下，欧几里得空间本质上只有：这样一些类别.数学方法：本章着重应掌握的具体方法是：正交化方法，即Schmidt正交化过程.对称矩阵，寻找正交矩阵，使为对角矩阵的方法.本章基本结构及发展脉络在欧几里得空间中引入度量性质：长度、夹角、距离；建立标准正交基（直角坐标系概念的推广）及各种正交性概念；对欧几里得空间分类等。线性变换对称变换正交变换内积欧几里得空间实数域上的线性空间在欧几里得空间中引入度量性质：长度、夹角、距离；建立标准正交基（直角坐标系概念的推广）及各种正交性概念；对欧几里得空间分类等。线性变换对称变换正交变换内积欧几里得空间实数域上的线性空间7.18.5教学方法：讲授法7.18.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：7.18.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.18.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.19教学单元十九7.19.1教学日期：7.19.2教学目标：了解代数基本概念．7.19.3教学内容：第九章代数基本概念——§1代数基本概念导引教学重点：对抽象概念的理解.教学难点：对抽象概念的理解.7.19.4教学过程：一．代数运算本章着重介绍代数系统的概念，了解群、环、域这三种基本的代数结构，掌握它们的基本性质.通过本章的学习，使学术理解现代数学的精神、思想和方法，理解近世代数的研究对象与方法，进一步认识具体与抽象，特殊与一般的辨证关系.所谓代数系统，简而言之，就是具有运算的集合，它是近世代数研究的主要对象.为了更好地理解代数系统的概念，我们首先应明确什么是运算.在整个数学中，运算都是个很基本，很普遍的概念和方法，并且每个学数学的人都很熟悉它，但不是每一个人都认识了运算的本质.先来看几个例子：引例1.实数集的加法运算.实数集的加法运算是：对于中任意两个实数唯一得到中一个实数，即.改写为：.理解：加号“”看成是一个规则，可认为是卡氏积的任意元素，从而实数集的加法运算可叙述为：规则“”是到的映射，使，.称规则“”为实数的加法运算.引例2.数与矩阵的乘法.设数域上矩阵全体构成的集合为.数与矩阵的乘法运算是：对于中任一矩阵及中任一数，唯一得到中一个矩阵，即.改写为：.理解：把乘号“·”看成一个规则，及可认为是卡氏积的任一元素.于是数与矩阵的乘法运算可认为是：规则“·”是到的映射，使，有.称规则“·”为数与矩阵的乘法运算.引例3.几何空间的数量积运算.设为实数域上的几何空间，中的数量积运算为：对于中任意两个向量唯一得到实数，即，改写为：.理解：将乘号“·”看作一个规则，中任二向量可认为是卡氏积中任一元素.于是，几何空间中的数量积运算可叙述为：规则“·”是到的映射，使有：.则称规则“·”为几何空间中的数量积运算.通过以上三例的分析，我们可以概略地说：所谓运算都是卡氏积到一个集合的映射.用数学语言来刻画便有如下定义：定义9.1.1.设为三个非空集合，如果是到的一个映射，则称是集合与到的一个代数运算.特别地，若，则集合与到的代数运算叫做的一个代数运算.注：若是集合与到的一个代数运算，即使.习惯上，将仍记为.运算的例子是非常丰富的，比如：数的四则运算，多项式的运算，维向量的运算，矩阵的运算和线性变换的运算等.下面我们介绍两个重要的运算.变换的乘法设为任一非空集合,表到的全体映射的集合,即.对我们规定一个代数运算“”（叫做乘法）如下：及，有：.显然，即“”确实是的一个代数运算.例：设，我们来考察一下：，因为到的映射，设，只须，则.因此为的一个3阶排列（可以重复）.为此，我们记，为的一个可重复排列，从而可表示为是的一个可重复排列}.因的可重复排列共有个，故共有27个元素.其中恰有个置换（对应）：令.显然.现在，我们来考察一下的运算：，设按变换的乘法规定：应当为这样一个变换：.于是.例如：若，则.再如：,，则；.不难证明：中任二置换的积仍为置换，即对的变换乘法是封闭的.对于中的乘法，可列表如下：一般地，设，我们用表示，有个元素.，可用矩阵来表示：，其中为的可重复的任一排列.同样的全体可逆变换（置换）的集合用来表示，共有个元素，且可表示为：，其中为的全排列.仿照与，在与中有相应的乘法规则.剩余类加法和乘法设表示全体整数构成的集合，给定一个整数，对，若，则称与模同余，记作，或简记为.显然，当且仅当与被除有相同的余数.同余关系有如下的基本性质：反身性：；对称性：若，则；传递性：若，，则；若且，则,.证明：留作练习.性质(1)~(3)说明同余关系是一个等价关系，因此可用来分类整数.我们有如下结论：命题9.1.1.令称为以为模的剩余类，且有以为模的剩余类都是的非空子集；每个整数一定属于且只属于一个上述剩余类，因而这个剩余类两两不相交，且.两个整数属于同一个剩余类当且仅当.证明：由于证明简单，请读者自己给出证明.例：取，以为模的剩余类是【约定】对以为模的剩余类中，，显然有，这样的整数叫做的一个代表.特别要注意的是：取定一个代表，这个剩余类也就完全确定了.我们用表示所代表的那个剩余类，如，则.自然，在一个以为模的剩余类中，每一个元素都可以取作代表，并且由命题9.1.1知：.若取为以为模的剩余类的代表，由上面的约定，今后我们把这个剩余类记作，即.令表示以为模的剩余类所组成的集合，即.注意：的元素都是的子集.下面我们给定义两个运算—加法和乘法.定义9.1.2.给定整数，对，规定：，.注：对于定义9.1.2，我们需要证明这样定义的加法和乘法的合理性.因为一个剩余类的代表并不是唯一，因此需要证明：当代表取得不同时，运算的结果是唯一的.即要证明：如果,，那么有,.注意到与，根据性质(4)便可得：，.这样我们便在中定义了一个叫做加法“”，另一个叫做乘法“·”的代数运算，当较小时，我们常常可以用加法和乘法表来刻画的加法与乘法.例：当时，的加法和乘法如下：二．代数系统所谓代数系统，是把集合及其运算作为一个整体来看，就叫一个代数系统.在此，我们只讨论涉及一个集合的代数系统.定义9.1.2.设为任一非空集合，为的一个代数运算，把及其运算作为一个整体来看，叫做一个代数系统，记作.若有两个代数运算，把及其运算作为整体来看，叫做具有两个运算的代数系统，记作.例1.设为实数集，为正实数集，于是,都是代数系统.也都是代数系统.例2.与都是代数系统.例3.给定正整数，则都是代数系统.注：对于代数系统，也说它是集合关于运算构成的代数系统.如果在上、下文中所指运算是明确的，为了简便，我们就简称代数系统.定义9.1.3.设为一代数系统，为的任一非空子集，如果对运算是封闭的，即也是的一个代数运算，于是也构成一个代数系统.并称为的一个子代数系统.例如：是子代数系统，是的子系统，是的子系统等.三．练习题设为整数集，为非零整数集，为有理数集，试给出与到的两个代数运算.设，试给出的两个代数运算.设，，均是的子集，试问置换的乘法是不是的代数运算.设,,，试问置换乘法是不是的代数运算.设以为模的剩余类集合的元素做成的下列子集：，，，试问剩余类加法和乘法是不是这些子集的代数运算.设，试给建立一个代数运算“”，使子集是的子系统，而子集不是的子系统.分别在与中找出3个不同的子系统.在关于剩余类加法所构成的代数系统中，找出3个不同的子系统.设为正实数集，为正有理数集，说明⊙构成一个代数系统，其中，⊙.试问⊙是不是⊙的子系统.7.19.5教学方法：讲授法7.19.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：7.19.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.19.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.20教学单元十九7.20.1教学日期：7.20.2教学目标：了解代数基本概念．7.20.3教学内容：第九章代数基本概念——§2附加于代数系统的一些条件教学重点：对抽象概念的理解.教学难点：对抽象概念的理解.7.20.4教学过程：按代数系统的定义，不难发现：对于一个集合赋予代数运算使其成为一个代数系统是有很大随意性的，而随便构成的代数系统未必有多大实际意义，要使代数系统有意义，便要求代数系统满足某些附加的条件.一般说来，对于代数系统要求满足的条件可分为两个方面：一方面要求它的集合部分满足的条件，如：有序性，度量性，拓扑性等.这样可得到一些特殊的代数系统，其中多数已不是代数学研究的对象了.另一方面是要求它的运算部分满足的条件，其中最常见的有：三条运算规律：结合律、交换律和分配律；特殊元素的存在性.从代数学的角度讲，我们主要是讨论对运算所附加的条件.一．运算规律结合律：设是一个代数系统，如果对都有：.则称运算“”满足结合律.交换律：设是一个代数系统，如果对都有：.则称运算“”满足交换律.分配律：设(A;⊕,⊙)为一个代数系统，如果对，都有⊙=⊙⊙.则称运算⊙对满足左分配律.如果对，都有：⊙=⊙⊙.则称运算⊙对满足右分配律.设为整数集，数的加法“”和乘法“”都是的代数运算，它们都满足结合律与交换律，以及乘法对加法的分配律.然而数的减法“”也是的代数运算，但它不满足结合律，也不满足交换律，因为.设为任一非空集合，为的幂集，考虑代数系统，易知：都满足结合律、交换律，以及对，对满足分配律.设为任一非空集合，为一代数系统，且其运算满足结合律，但不满足交换律.给定正整数，则代数系统的“”和“”满足结合律，交换律，对的分配律.为什么要考虑代数系统的代数运算是否满足结合律、交换律和分配律呢？我们给出3个命题来说明这个问题，但不给出证明.命题9.2.1.设集的运算“”满足结合律，则中任意个元素在此序下，用任何方式算得的结果都相同.例如：当时，有注：此命题说明：只有在运算“”满足结合律时，代数表达式才有意义.因此可以说结合律是最基本的要求.命题9.2.2.如果的运算“”同时满足结合律与交换律，那么中元素的次序可以任意调换.命题9.2.3.设,⊙是集合的两个运算，满足结合律，⊙对满足左（或右）分配律，那么⊙⊙⊙⊙或⊙⊙⊙⊙二．特殊元素附加于代数系统的运算部分的条件，除了上述三种运算规律之外，还有特殊元素的存在性.恒等元素：设为任一代数系统，如果中有元素，对都有.则称为代数系统的一个恒等元素.关于恒等元素，我们有命题9.2.4.若代数系统有恒等元素，则恒等元素是唯一的.证明：假设都是的恒等元素，则由恒等元素的定义，有.注：如果代数系统的运算“”加法，按照惯例，常把中的恒等元素叫做零元素，并记；而把乘法意义下的恒等元素叫做单位元，并记.逆元素：设代数系统有恒等元素，若对，有元素，使得.则称元素是元素的一个逆元素，并记为.关于逆元素，我们有命题9.2.5.设代数系统的运算“”满足结合律，有恒等元素，若代数系统的元素有逆元素，则的逆元素是唯一的.证明：设为的两个逆元素，则有故，中元素有逆元素，则逆元素是唯一的.注：逆元素的概念实际上就是我们所熟悉的负数和倒数概念的一般化.三．练习题设且对置换乘法构成一个代数系统，试问：对置换乘法满不满足结合律、交换律？有没有恒等元素？的各个元素有没有逆元素？试讨论以为模的剩余类集合的加法和乘法的性质.7.20.5教学方法：讲授法7.20.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：如何灵活理解线性空间中定义的运算7.20.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．复习数域的定义多项式集合矩阵集合等具体例子7.20.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.21教学单元7.21.1教学日期：7.21.2教学目标：对同构与同态的理解．7.21.3教学内容：第九章代数基本概念——§3代数系统的比较——同构与同态教学重点：对同构与同态的理解．教学难点：对同构与同态的理解．7.21.4教学过程：一．概念注释与要点分析在前面的讨论中，我们接触了许多代数系统，其中有些是相当熟悉的，有些虽然不太熟悉，但多少还能觉察到它们有一些实际意义.另外，我们同时还看到，同样一个集合，可以用几种运算组成这样或那样的代数系统，如，，，，，等等.当然也有用同样的运算把不同的集合组成代数系统，如，等.不过，很值得我们注意的是，不同的集合用不同的代数运算组成的代数系统的情况，如与等.诚然，对代数系统与，我们不会由于它们的集合部分相同而就认为是相同的代数系统.对于代数系统与，更不会由于它们有完全相同的运算—实数的加法，就认为它们是完全相同的代数系统.而对于代数系统与，明显的是集合部分不同，运算方法有别，这样就自然推出：二者是截然不同的代数系统呢？否！因为我们没有进行必要的科学分析，更缺乏全面的比较，所以还不能草率下结论.这样，我们面临一个迫切需要解决的问题：如何认识一个代数系统的特征，怎样区别两个代数系统的异同，这是近世代数带有原则性的根本问题，即所谓“代数观点”问题.牢固树立起这种观点是学好近世代数的不可缺少的条件，否则，本来是比较活泼，相当具体，富于启发和应用广泛的数学方法，也将成为真正“抽象”的东西了.引例与的比较.与的内在联系：与的内在联系由如下的映射给出：.我们知道：是到上的一个对应.的加法与的乘法之间的关系：在映射之下，若，则有.即对，有.小结：(1)和(2)说明：互相对应着的元素，运算的结果也恰好对应着，换句话说，元素间的运算关系在映射之下保持不变，将(1)、(2)完整地归纳起来，则有：在代数系统与之间存在一个对应，使得，.由此，我们引出近世代数的一个十分重要的基本概念：定义9.3.1.设与为两个代数系统，如果存在到的对应，使得：，.则称映射为到间的一个同构映射.同时，也称代数系统与同构，记作，或，或.设与为任二代数系统，如果有到的对应，使得：.则称映射是与间的一个同构映射，也称代数系统与同构，记作，或，或.显然，代数系统间的同构关系是一个等价关系.按定义9.3.1，我们有.设为整数集，为偶数集，则与同构，因为，是到的一个对应，且.即为到的同构映射.设，则与同构.定义映射：，.易知：为到的一个对应，且即为到的一个同构映射.下面我们只给出同构的基本性质，而不给出证明，有兴趣的读者，可自行给出证明.设⊙)与⊙׳)为两个代数系统，且是⊙)到⊙׳)的同构映射，即，则有性质1.的运算满足结合律当且仅当的运算满足结合律.性质2.的运算满足交换律当且仅当的运算满足交换律.性质3.⊙)的运算⊙对满足左(右)分配律当且仅当⊙׳)的运算⊙׳对满足左(右)分配律.性质4.的元素是一个恒等元素当且仅当是的一个恒等元素.性质5.为的一个可逆元素当且仅当为的一个可逆元素，且.同构的性质表明：同构的两个代数系统，运算所带来的规律性是完全相同的，因此，同构的两个代数系统尽管有各种“差别”，但从近世代数的观点看：它们的差别是表面的，次要的，而它们的共同点—–运算所体现的规律性，则是本质的，主要的.在此，我们明确阐明近世代数的观点：凡同构的代数系统都认为是（代数）相同的.在这样的观点下，一个代数系统经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质，于是由代数运算所表述的任一性质都是代数性质.结合律、交换律、分配律、恒等元素和逆元素的存在性是决定代数系统的代数结构的五个基本要素.因此，同构的代数系统有完全相同的代数结构，研究代数系统的首要目的，就是确定所有互不相同的代数系统的代数结构.同构是两个代数系统之间的“强比较”，相当于几何中的“全等”，在代数系统的比较中除了这种“强比较”外，也有与几何中“相似”概念可类比的“弱比较”，即我们在下面讨论的代数系统之间的同态概念.定义9.3.2.设与为任二代数系统，如果是到上的满射，使得，.则称是代数系统到的一个同态映射，并称与同态，记作∼，或∼.设与为任二代数系统，如果有到的，使得：.则称映射是与间的一个同态映射，也称代数系统与同态，记作∼，或∼.设为复数集，则∼.容易验证，是到的一个满射，且.故是到的一个同态映射.∼.令，.显然，是一个满射，且对，有.即是到的一个同态映射.同态映射的基本性质：若⊙)∼⊙׳)，则有性质1.若的运算满足结合律，则的运算满足结合律.性质2.若的运算满足交换律，则的运算满足交换律.性质3.若⊙)的运算⊙对满足左(右)分配律，则⊙׳)的运算⊙׳对满足左(右)分配律.性质4.若的元素是一个恒等元素，则是的一个恒等元素.性质5.若为的一个可逆元素，则为的一个可逆元素，且.二．练习题设是数域上维线性空间，记上全体线性变换的集合，我们知道为一代数系统，证明：.设，则对置换的乘法构成一个代数系统，记为.试问与是否同构？为什么？7.21.5教学方法：讲授法7.21.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：7.21.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.21.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-377.22教学单元二十二7.22.1教学日期：7.22.2教学目标：群、环、域基本概论的理解．7.22.3教学内容：第九章代数基本概念——§4三种基本代数系统—–群、环、域教学重点：群、环、域基本概论的理解．教学难点：概念的抽象性．7.22.4教学过程：代数学研究的对象主要是有代数运算的集合，即所谓代数系统.全面我们已经给出了一些代数系统，在本节，我们将对三种基本代数系统—–群、环和域作一简单介绍.二．群群是一种较简单而最重要的代数系统，它只带有一个代数运算.一、群的概念及例子定义9.4.1.令是一个非空集合，为一代数系统，如果下列条件被满足，那么就说关于代数运算“•”（通常称为“乘法”）作成一个群：对，都有（乘法结合律）；在中存在一个元素，叫做的单位元，即具有性质：对，有；对中每一个元素，存在的一个元素，使得.叫做的逆元.如果一个群的乘法还满足交换律：对，都有，那么就称是一个交换群或阿贝尔(Abel)群.注1：当群的代数运算“•”看成是乘法时，通常记为；当群是交换群时，常常将代数运算“•”叫做加法，且交换群的运算常常用“+”表示.注2：如果群的元素个数为有限，就称为有限群，否则称为无限群.有限群含有元素的个数称为群的阶，记为.例如.如下的代数系统关于其代数运算都作成群：,,,,,,.注：不是交换群.设为一个自然数.令，即全体次单位根所成的集合.容易验证，对于数的乘法作成一个群，称为次单位根群.设是数域上一线性空间，的全体可逆线性变换对于变换的乘法组成一个群；当是一欧几里得空间时，的全体正交变换对于变换的乘法也组成一个群.全体元素在数域中的级可逆矩阵对于矩阵的乘法作成一个群,这个群记为.二、群的简单性质方程的解.在群中，对任意元素，方程与有解.事实上，是方程的解，而是方程的解.消去律成立.在任意群中，可由可以推出.用左乘等式的两边，得.同理，可由，推出.注：有消去律成立，可知方程与的解是唯一的.指数法则.在群中，可以归纳地定义元素的方幂如下：根据结合律，不难得指数法则：.我们还可以定义；及，.这样，指数法则对所有整数均成立.在交换群中，有.但在非交换群中，一般没有此规律.如果群的运算用“+”表示，那么就写成.于是指数法则就变成倍数法则相应地，规律也变成.三、子群根据代数系统的子系统思想，可定义群的子群概念.定义9.4.2.如果群的非空子集对于的运算也构成一个群，那么称为的子群.例5.任意群本身和只含单位元的子集显然是的子群.称为的平凡子群.注：一个群的非平凡子群称为的真子群.例6.给定一个整数.令.是整数加群的一个子群.当时，是的真子群.例7.设是一欧几里得空间.的正交变换群是的可逆线性变换群的子群.例8.一个数域上全体行列式为1的阶矩阵是的一个子群.事实上，行列式等于1的矩阵自然可逆.如果是两个行列式对于1的矩阵，那么和的行列式也等于1.此外，单位矩阵的行列式自然等于1.因此不难判定数域上全体行列式为1的阶矩阵是的一个子群.例4也给我们提出了怎样判断一个群的非空子集是否构成一个子群的问题，对此，我们有定理9.4.1.群的非空子集是一子群的充分必要条件是：若，则.证明：必要性是显然的.下面证明充分性.因非空，所以，于是.显然也是的单位元素.由，有.又若，可知，从而.结合律是显然的.对于的乘法作成一个群.四、群同构与同态定义9.4.3.设和是群.是一个映射，如果对于的任意元素，都有，那么，就称是一个同态映射，或者说，是一个群同态.并称群与同态，记为∼.如果群同态是一个对应，那么，就称是一个群同构.此时，称群与同构，记为.例9.设为一整数.对于每一个整数，规定.那么，是整数加群到加群的一个同态映射.事实上，设，那么.如果，那么是一个对应，这时.例10.给定整数，在与间，规定使得，，则是一个群同态.例11..关于群同构，我们有下面的定理.定理9.4.2.(Cayley)任何一个群都同构于一变换群.分析证明：设是一个群.对于，定义集合的变换如下：，.不难证明是可逆变换，则关于变换乘法构成一个群.按同构的定义，便可以证明：.二．环我们都已熟悉数环和数域的概念.环和域的概念正是数环和数域概念的推广.一、环的概念及例定义9.4.4.设是一个非空集合.有两个代数运算，分别叫做加法和乘法.如果下列条件被满足，就称是一个环：1．对于加法来说作成一个交换群；2．的乘法满足结合律：对，等式成立；3．乘法对加法满足分配律：对，有,.注：在环的定义里，并没有要求乘法满足交换律，所以分配律有两条.如果一个环的乘法满足交换律，则称这个环为一个交换环.例12.下列所熟知的代数系统都是环，，，，，，.其中：与为非交换环.例13.设为一交换群，运算称为加法.如果定义中任意两个元素的积都为0，显然，对这两个运算构成一个环.这样的环称为零环.二、环的简单性质因为一个环对于加法作成一个交换群，所以关于加法群的一切记号和运算性质对于一个环的加法来说都被保持.特别，我们用0表示这个加法群的零元，称为环的零元；用表示的负元.并将间写为.利用环的定义，我们很容易证明下面的结论：定理9.4.3.设是一个环.对于，有对于，有;.对于，有.对，有..三．域定义9.4.5.设是一个有单位元的交换环.如果的每一个非零元素都是可逆元，则称是一个域.例14.下列代数系统都是域，，.例15.设为一素数，则为一个域.事实上，因是一个环，它的单位元就是.下面说明的每一个非零元都是可逆元.设，，即.因为素数，所以，于是，使得.即.注意到：，便得.这样的每一个非零元都有逆元.所以是一个域.例如：当时，的加法和乘法表如下：注：给我们提供了一个只含个元素的域的例子.有一个重要的不同于通常数域的性质.在一个数域里，的任何倍数都不可能等于零.然而在里，我们有.而且对于的任意倍数，都有.定义9.4.6.设是一个域.使得的最小正整数叫做域的特征.如果不存在正整数，使得，那么，就说域的特征是零.域的特征用符号来表示.注1：数域的特征是零.在是一个素数时，的特征就是.注2：如果一个域的特征是，那么一定是素数.否则，将有.于是因为一个域的每一个非零元素都是可逆元，于是或.这与的最小性矛盾.注3：若是一个特征为素数的域.在中有下列有趣的等式：，.根据二项式定理及素数的性质，容易证明上面的等式成立.最后，我们给出一个环的子环和域的子域的定义以及环和域同构的概念.定义9.4.7.环的一个满足以下条件的子集叫做一个子环：对于的加法来说作成加法群的一个子群；如果，则.域的一个满足以下条件的子集叫做的一个子域：不只含有一个元素；是的一个子环；如果且，则.定义9.4.8.设和是环（或域）.是一个映射.如果对，都有，，那么就说是一个同态映射.如果是一个对应，那么就说是一个同构映射，此时，称环（或域）与同构，记为.域的概念是数域概念的自然推广.如果在高等代数各章的讨论中，用一般的域来代替数域，大多数事实仍然成立.有兴趣的读者不仿试着去做一下，以提高自己的数学研究能力.四．练习题判断下列集合对于所给的运算来说哪些作成群，哪些不作成群：某一数域上全体矩阵对于矩阵的加法；全体正整数对于数的乘法；对于数的乘法；对于数的乘法；对于数的乘法.设.的乘法由下表给出证明：对于所给的乘法作成一个群.证明：一个群是交换群的充要条件是：对及任意整数，都有.证明：群的两个子群的交还是的一个子群.设是群的一个元素.令证明是的一个子群.称为由所生成的循环子群.特别，如果，就称是由生成的循环群.试各举一个无限循环群和有限循环群的例子.找出群的一切子群.证明：在一个交换环里，二项式定理对于及正整数成立.写出域，和的加法表和乘法表.找出的每一个非零元的逆元.证明：2阶实矩阵环的子集作成一个与复数域同构的域.7.22.5教学方法：讲授法7.22.6作业安排及课后反思作业：P96:1(1),2(2),3,4课后反思：7.22.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.22.8参考资料黎克麟宋乾坤郭发明编著《高等代数教学分析与研究》，P31-378．