新课标2022年版高考数学总复习第二章函数第六节对数与对数函数练习含解析理

PAGEPAGE15第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=logaN,其中③a叫做对数的底数,④N叫做真数.

(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1)⑤logaN

常用对数底数为10⑥lgN

自然对数底数为e⑦lnN

2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:alogaN=⑧N;logaaN=⑨N.(a>0,(2)对数的重要公式:换底公式:⑩logbN=logaNlogab(相关结论:logab=1logba,logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d(3)对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么loga(MN)=logaM+logaN;

logaMN=logaM-logaN;

logaMn=nlogaM(n∈R);

logamMn=nmlogaM(m,n∈R,且m3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)loga(MN)=logaM+logaN. ()(2)logax·logay=loga(x+y). ()(3)log2x2=2log2x. ()(4)若logam<logan,则m<n. ()(5)函数y=ln1+x1-x与函数y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同(6)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1,其图象经过第一,四象限.答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)✕(5)√(6)√2.log525+1612= (A.94B.6C.214答案Blog525+1612=log552+(42)12=2log55+4=63.下列各式中正确的是 ()A.loga6logC.(lnx)2=2lnxD.lg5x3=3答案D对于A选项,由换底公式得loga6loga3=log3对于B选项,lg2+lg5=lg(2×5)=1,故B错;对于C选项,(lnx)2=lnx×lnx≠2lnx,故C错;对于D选项,lg5x3=lgx35=35lgx,故4.(2020安徽月考)已知a=log23,b=1212,c=1313,则a,bA.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a答案D因为a=log23>log22=1,0<b=1212<120=1,0<c又b6=123=18,c6=132=19,所以b6>c6,所以b>c,即c5.(2020河北唐山第十一中学期末)函数f(x)=lg(x-2)的定义域为 ()A.(-∞,+∞)B.(-2,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)答案D函数f(x)=lg(x-2)的定义域为x-2>0,即x>2,所以函数f(x)=lg(x-2)的定义域为(2,+∞),故选D.6.(易错题)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=logax的图象可能是 ()答案B由函数f(x)=ax与函数g(x)=logax互为反函数,得图象关于y=x对称,从而排除A,C,D.易知当a>1时,两函数图象与B选项中的图象相同.故选B.易错分析忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一对数的概念与性质典例1(1)若loga2=m,loga5=n(a>0,且a≠1),则a3m+n= ()A.11B.13C.30D.40(2)已知2a=5b=10,则a+bab(3)设52log5(2x答案(1)D(2)1(3)2角度二对数的运算典例2计算:(1)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(2)log34273+lg5+7log72+log2(3)(log32+log92)·(log43+log83).解析(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)·lg2+lg52=(lg2+lg5+1)·lg2+2lg5=(1+1)·lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.(2)原式=log3334-1+lg5+2+lg3lg2=-14+1+3=15(3)原式=log32·log43+log32·log83+log92·log43+log92·log83=lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2=12规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg5)2+lg2·lg5+lg20-log23·log38+2(1+log答案9解析原式=lg5·(lg5+lg2)+lg2+lg10-log23·log28log232.如果45x=3,45y=5,那么2x+y=.

答案1解析∵45x=3,45y=5,∴x=log453,y=log455,∴2x+y=2log453+log455=log459+log455=log45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3(1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是 ()(2)当0<x≤12时,4x<logax(a>0,且a≠1),则a的取值范围是 (A.0,22B.22,1C.(1,(3)已知函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.

答案(1)B(2)B(3)(2,4)解析(1)当x>1时,f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以选B.(2)易知0<a<1,函数y=4x与y=logax的大致图象如图所示,则由题意可知只需满足loga12>412,解得a>22,∴22<方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合求解.1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|loga(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是 ()答案C当a>1时,对数函数y=logax为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误;当0<a<1时,对数函数y=logax为减函数,当x=1时,函数y=x-a的值为正,故B错误,C正确.故选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=log1213,则a,b,cA.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b(2)已知f(x)满足f(x)-f(-x)=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a=79-14,b=9715,c=log219,则f(a),f(b),A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)答案(1)D(2)C解析(1)由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.(2)∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),∴f(x)为偶函数.∵c=log219<0,∴f(c)=f=f-log219∵log29>log24=2,2>971>a=79-14=9714>∵f(x)在(0,+∞)单调递减,∴f(log29)<f(a)<f(b),即f(c)<f(a)<f(b).故选C.角度二解简单的对数不等式典例5(1)函数f(x)=1(log2A.0,1C.0,12∪(2,+∞)D.(2)函数y=log3(2A.[1,2]B.[1,2)C.23,+答案(1)C(2)C角度三对数函数性质的综合应用典例6已知函数f(x)=loga(ax2-x+1)(a>0,且a≠1).(1)若a=12,求函数f(x)的值域(2)当f(x)在14,32上为增函数时,解析(1)当a=12时,ax2-x+1=12x2-x+1=12[(x-1)2故函数f(x)的定义域为R,∵12x2-x+1=12[(x-1)2+1]≥12,且函数y=log12∴log1212即函数f(x)的值域为(-∞,1].(2)由题意可知,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax2-x+1在14,32上单调递增,且ax2-x+1>0对任意的x∈14,32②当0<a<1时,同理可得必有y=ax2-x+1在14,32上单调递减,且ax2-x+1>0对任意的x所以x解得29<a≤1综上,a的取值范围是29,1规律总结1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间值进行比较.2.对数不等式的类型及解法(1)形如logax>logab(a>0,且a≠1)的不等式,需借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需要分为a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如logax>b(a>0,且a≠1)的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式,再求解.1.设a=log36,b=log510,c=log714,则 ()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案D∵a=log36=1+log32=1+1log23,b=log510=1+log52=1+1log25,c=log714=1+log72=1+1log27,且2.(2019山东高考模拟)已知f(x)=ex-1+4x-4,若正实数a满足floga34<1,则aA.a>34B.0<a<34或aC.0<a<34或a>1D.a答案C因为y=ex-1与y=4x-4都是在R上的增函数,所以f(x)=ex-1+4x-4是在R上的增函数,又因为f(1)=e1-1+4-4=1,所以floga34<1等价于loga34<1,所以loga当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,所以a<34,故0<a<3当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>34,故a综上所述,a的取值范围是0<a<34或a>1.故选3.(2020上海高三专题练习)函数y=log0.答案-14解析由题意可知0<4x2-3x≤1,解得x∈-14,4.函数f(x)=log13(-x2+2x+3)的单调递增区间是答案[1,3)解析令u=-x2+2x+3,由u>0,解得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3),根据二次函数的图象与性质可知函数u=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减,因为函数f(x)=log13u所以根据复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为[1,3).5.已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,求f(lg2)+flg解析由1+9x2-3x>0恒成立知函数f(x)因为f(-x)+f(x)=[ln(1+9x2+3x)+1]+[ln(1+9x=ln[(1+9x2+3x)·(1+9x所以f(lg2)+flg12=f(lg2)+fA组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4B.5C.6D.7答案B2.log29×log34+2log510+log50.25= ()A.0B.2C.4D.6答案D原式=2log23×(2log32)+log5(102×0.25)=4+log525=4+2=6.3.(2020河北冀州中学模拟)函数y=log3(2xA.[1,2]B.[1,2)C.23,+答案C4.log6[log4(log381)]的值为 ()A.-1B.1C.0D.2答案C5.(2019河南郑州模拟)设a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,则 ()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<b<c答案Ba=log50.5>log50.2=-1,b=log20.3<log20.5=-1,c=log0.32>log0.3103=-1,log0.32=lg2lg0.3,log50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0即c<a,故b<c<a.故选B.6.若lg2=a,lg3=b,则log418= ()A.a+3ba2B.a+3b答案Dlog418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg2=a,lg3=b,所以log418=a+2b7.已知函数f(x)=lg1-x1+x,若f(a)=12,则f(-A.2B.-2C.12D.-答案D∵f(x)=lg1-x1+x的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=lg1+x1-∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-128.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,则a的值为 ()A.1B.-1C.12D.-答案D函数f(x)=lg(10x+1)+ax的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x+1)+ax-[lg(10-x+1)+a(-x)]=(2a+1)x=0,所以2a+1=0,解得a=-12B组能力拔高9.已知f(x)=log12x,则不等式(f(x))2>f(x2)的解集为 (A.0,1C.14,1D.答案D由(f(x))2>f(x2)得(log12x)2>log12x2⇒log12x·(log12x-2)>0,即log12x>210.若x、y、z均为正数,且2x=3y=5z,则 ()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴2x3y=2lgklg2·lg33lgk=lg92x5z=2lgklg2·lg55lgk=lg25lg32<1,则11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则nm=答案9解析∵f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),∴0<m<1<n,-log3m=log3n,∴mn=1.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,且函数f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,∴-log3m2=2或log3n=2.若-log3m2=2,则m=13(舍负),故n此时log3n=1=-log3m,符合题意,即nm=3÷1若log3n=2,则n=9,故m=19,此时-log3m2=4>2,不符合题意.故nmC组思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n-m的最小值为13,则实数a的值为答案2解析作出y=|logax|(0<a<1)的大致图象如图所示,令|logax|=1,得x=a或x=1a,又1-a-1a-1=1-a-