北京版高考数学总复习专题6.1数列的概念及其表示（试题练）教学讲练

数学高考总复习PAGEPAGE9学好数理化，走遍天下都不怕专题六数列【真题探秘】6.1数列的概念及表示探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的有关概念及性质①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)②了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数③了解递推公式的概念及数列前n项和的定义2019北京,20,13分求数列的通项公式数列的新定义问题★☆☆分析解读掌握数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和之间的关系,知道数列是自变量为正整数的一类函数.培养学生的创新能力、抽象概括能力.破考点练考向【考点集训】考点数列的有关概念及性质1.(2020届北京西城外国语中学期中,4)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3n+1,则a3+a4=()A.81B.243C.324D.216答案D2.(2018北京朝阳期末,12)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=p,a2=q(p,q∈R).设Sn=∑i=1nai,则a10=;S2018=.(用含答案-p;p+q3.(2018北京朝阳一模,13)等比数列{an}满足如下条件:①a1>0;②数列{an}的前n项和Sn<1.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式:.

答案an=12n(4.(2015重庆,16,13分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=92(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.解析(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+3×22化简得a1+2d=2,a1+d=32,解得a1=1,d=1故通项公式为an=1+n-12,即an(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8.设{bn}的公比为q,则q3=b4b1=8,从而q=2,故{bnTn=b1(1-q评析本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.炼技法提能力【方法集训】方法1利用an与Sn的关系求通项1.(2020届北京十五中期中,11)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则数列的通项公式为.

答案an=42.(2019上海,8,5分)已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=.

答案313.(2019北京海淀二模,11)若数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足an>0的n的最小值为.

答案5方法2利用递推关系求数列的通项4.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列1an前10项的和为答案205.(2019北京海淀二模文,10)已知数列{an}满足an+1n+1=ann,且a5=15,答案24【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点数列的有关概念及性质(2019北京,20,13分)已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im),若ai1<ai2<…<aim,则称新数列ai1,ai2,…,aim为{an}的长度为m的递增子列.规定:(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(2)已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0,长度为q的递增子列的末项的最小值为an0.若p<q,求证:(3)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式.解析本题通过对数列新概念的理解考查学生的逻辑推理、知识的迁移应用能力;重点考查逻辑推理、数学抽象的核心素养;渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思想.(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)设长度为q末项为an0的一个递增子列为ar1,ar2,由p<q,得arp≤ar因为{an}的长度为p的递增子列末项的最小值为am又ar1,ar2,…,arp是{a所以am0≤arp.所以(3)由题设知,所有正奇数都是{an}中的项.先证明:若2m是{an}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设ap1,ap2,…,apm-1,2m-1是数列{an}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则ap1,ap2,…,ap再证明:所有正偶数都是{an}中的项.假设存在正偶数不是{an}中的项,设不在{an}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{an}的同一个递增子列中.又{an}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2×2×2×与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{an}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以an=nB组统一命题、省(区、市)卷题组考点数列的有关概念及性质1.(2019浙江,10,4分)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=an2+b,n∈N*,则(A.当b=12时,a10>10B.当b=14时,aC.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>10答案A2.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.

答案-633.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.

答案1;121C组教师专用题组考点数列的有关概念及性质1.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a答案12.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2a(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解析(1)由题意得a2=12,a3=1(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(a因为{an}的各项都为正数,所以an+1a故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=1评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题.3.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-an2(n∈(1)证明:1≤anan+1≤2(n(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明:12(n+2)≤S证明(1)由题意得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤a故an≤12由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0<an≤12得anan+1=所以1≤ana(2)由题意得an2=an-a所以Sn=a1-an+1.①由1an+1-1an=anan+1和1≤an所以n≤1an+1-因此12(n+1)≤an+1≤1由①②得12(n+2)≤Snn评析本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.4.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求{a(2)证明1a1+1a2+…+证明(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=3所以an+12是首项为32an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an(2)由(1)知1an=因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…所以1a1+1a2+…+方法指导(1)将已知递推式转化为an+1+12=3an+12.(2)利用3n-15.(2014江西,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-n2(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.经验证,a1=1符合an=3n-2,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1·a即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且m>n,所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2020届北京十四中期中,7)数列{an}的通项公式为an=n+an,若数列{an}单调递增,则a的取值范围为(A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,2)D.[1,+∞)答案C2.(2019北京石景山一模,4)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,且n∈N*)个圆环所需移动的最少次数,{an}满足a1=1,且an=2an-1-1A.7B.10C.12D.22答案A3.(2020届北京八一学校10月月考,8)对于等差数列{an}和等比数列{bn},下列推断中不一定成立的是()A.若a1>a2,则a2>a3B.若b1>b2,则b2>b3C.a1+a3≥2a2D.b1b3≥b答案B二、填空题(每小题5分,共20分)4.(2020届北京海淀期中,11)已知数列{an}的前n项和Sn=log2n,则a1=,a5+a6+a7+a8=.

答案0;15.(2019北京昌平二模,13)设数列{an}的前n项和为Sn,且∀n∈N*,an+1>an,Sn≥S6.则满足条件的数列{an}的通项公式可以为.

答案an=n-6(n∈N*)(答案不唯一)6.(2019北京丰台一模,14)已知数列{an}对任意的n∈N*,都有an∈N*,且an+1=3①当a1=8时,a2019=;

②若存在m∈N*,当n>m且an为奇数时,an恒为常数p,则p=.

答案①2②17.(2020届北京四中期中,16)数列{an}满足:a1=2,an=1-1a①a4=;

②若{an}有一个形如an=Asin(ωn+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<答案①2②3sin2π3三、解答题(共15分)8.(2019北京海淀零模,20)正整数数列{an}满足:a1=1,an+1=a(1)写出数列{an}的前5项;(2)将数列{an}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列,得到数列{nk},试用nk表示nk+1(不必证明);(3)求使an=2013的最小正整数n.解析(1)∵an+1=an-n,aa3=a2+2=4,a4=a3-3=1,a5=a4+4=5,∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=5.(2)由(1)可知n1=1,n2=4,n3=13,…,猜想使ank=1的下标nk满足如下递推关系:nk+1=3nk+1,k=1,2,3,(3)由(2)可知,nk+1=3nk+1,则2nk+1=2(3nk+1),即2nk+1+1=3(2nk+1),记2nk+1=xk,则xk+1=3xk,x1=