2021年浙江省宁波市庄桥中学高二数学理联考试卷含解析

2021年浙江省宁波市庄桥中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数z=为纯虚数，则实数m的值为（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3参考答案：A【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，所以，解得，即实数的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.（

）A. B. C. D.参考答案：B选B.3.若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （）A．p真q真 B．p假q真

C．p真q假 D．p假q假参考答案：B4.在区间[1，5]上的最大值是（

）A.-2 B.0 C.52 D.2参考答案：C【分析】利用导数求出函数在区间上的极值，再将极值与端点函数值比较大小得出该函数在区间上的最大值.【详解】，，令，得.当时，；当时，.所以，函数的极小值为，又，，因此，函数在区间上的最大值为，故选：C.【点睛】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，对于这类问题的求解，通常利用导数求出函数在区间上的极值，再将极值与端点函数值作大小比较，从而得出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()参考答案：D6.数列则是该数列的A第6项

B第7项

C第10项

D第11项参考答案：B7.已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.在等比数列中则公比为（

）A.2

B.3

C.4

D.8参考答案：A9.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论．【解答】解：∵椭圆C1的方程为+=1，∴椭圆C1的离心率e1=，∵双曲线C2的方程为﹣=1，∴双曲线C2的离心率e2=，∵C1与C2的离心率之积为，∴?=，∴==1﹣，又∵a＞b＞0，∴=，故选：B．【点评】本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A． B．3π C．4π D．参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中SA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，SA=4．∴SB=SD==5，∴S△SAB=S△SAD=，S△SBC=S△SCD=．S底面=32=9．V棱锥==12．S表面积=6×2+7.5×2+9=36．设内切球半径为r，则球心到棱锥各面的距离均为r．∴S表面积?r=V棱锥．∴r=1．∴内切球的表面积为4πr2=4π．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是

；参考答案：假设三内角都小于60度；12.快递小哥准备明天到周师傅家送周师傅网购的物品，已知周师傅明天12:00到17:00之间在家，可以接收该物品，除此之外，周师傅家里无人接收。如果快递小哥明天在14:00到18:00之间随机地选择一个时间将物品送到周师傅家去，那么快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是________.参考答案：【分析】先设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，根据题意得到，再结合周师傅在家的时间，可得到，进而可得出结果.【详解】设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，由题意可得，又快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品，必须满足，所以，快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型的应用，将问题转化为与长度有关的几何概型，即可求解，属于常考题型.13.在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________参考答案：1014.如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=b=，即有M（c，），由C是AB的三等分点（靠近点B），可得C（，），即（，），由O，C，M共线，可得kOC=kOM，即为=，即有b=2c，a==c，则e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题．15.

若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________．参考答案：16.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是

。参考答案：17.若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为

．参考答案：或【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），=或，利用离心率公式，可得结论．【解答】解：∵中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），∴=或，∴e==或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.

应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；参考答案：（1），

而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.（2），

而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为.

19.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）当时取得极小值求的值；（Ⅱ）当时，若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）解得：

……………(4分)

……………(6分)（2），

………(7分)：上恒成立，在上单调递减则

………(10分)：在上单调减，上单调递增 ，故无解

…………(13分)综上所求的取值范围是：

………(14分)略20.如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,M为侧面AA1CC1的对角线的交点,D,E分别为棱AB,BC的中点.(1)求证:平面MDE//平面A1BC1；(2)求二面角的余弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线线平行证明平面//平面，（2）以C为坐标原点建系求解即可。【详解】（1）证明分别为边的中点，可得,又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得故有，由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面

（2）为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，设平面的一个法向量为，取，有同样可求出平面的一个法向量，，结合图形二面角的余弦值为.【点睛】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式求解二面角。21.下面是几何体的三视图及直观图.（1）试判断线段BE上是否存在一点H，使得平面，请说明理由；（2）证明：.参考答案：解：(1)存在线段的中点，使得平面，理由如下：由三视图可知，，且平面，平面取的中点，连接，因为为中点，所以，且因为四边形是直角梯形，，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以，所以，因为四边形为矩形，所以，，所以平面，又，故平面，平面，所以，故，因为四边形为直角梯形，，且，所以，∴.又，即，故.

22.已知等差数列满足：.（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和参考答案：(1)设等差数列的公差为d,则：

∴a3=a1+2d=7

①

a5+a7=2a1+10d=26②