培优专题03 根的判别式的五种常见应用-解析版

14/14培优专题03根的判别式的五种常见应用◎应用一判断一元二次方程根的情况式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.1．（2022·辽宁大连·八年级期末）一元二次方程的根的情况为（

）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根【答案】D【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模）关于x的一元二次方程x2＋kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．不能确定【答案】C【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解．【详解】解：由根的判别式得：Δ=b2-4ac=k2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________．【答案】1【分析】由题意知，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根．4．（2022·江苏·九年级课时练习）关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】且##且【分析】根据一元二次方程实数根的情况与判别式的关系列不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程实数根的情况与根的判别式的关系．注意：一元二次方程存在的条件是二次项系数不等于0．5（2022·全国·九年级单元测试）已知关于的方程有两个不相等的实根，判断关于的方程的根的情况．【答案】有两个不相等的实数根．【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合第一个方程，可确定p的取值范围．再由不等式的性质可求出第二个方程的根的判别式的符号，即可确定其根的情况．【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根，∴，且，解得：且．∵关于的方程的根的判别式，∴，且，∴关于的方程，有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．◎应用二求字母的值或取值范围根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义及判别式得出关于的不等式组，求解即可得出的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，解得且，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是根据题意得出关于的方程．7．（2022·浙江杭州·八年级期中）对于一元二次方程，满足，且有两个相等的实数根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据a−b＋c＝0可知b＝a＋c，因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝，求出a＝c即可得出答案．【详解】解：∵a−b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝，∴a＝c，∴b＝2a＝2c，∴，故选项B、C、D错误，选项A正确，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．8．（2022·浙江湖州·八年级期末）若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．【答案】1【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根”可知根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，据此可以求得a的值．【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝a，且一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝0，解得a＝1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．9．（2022·福建三明·九年级期末）若关于x的一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，则c的值可以是_____．（写出一个即可）【答案】-1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得当时，一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，于是只要使c的值为负数即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，则，所以的值可以是-1（答案不唯一）．故答案为：-1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．10．（2022·浙江金华·八年级期末）已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，(1)求实数k的取值范围、(2)已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．【答案】(1)(2)-1【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可；（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：；（2）解：设方程的另一个根为a，∴，解得：，∴方程的另一个根为-1．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键．◎应用三与三角形结合一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。11．（2019·福建莆田·九年级阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（

）．A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】根据判别式的意义得到，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形.【详解】根据题意得：，所以，所以为直角三角形，.故选：.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理.12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的下列关于这个方程的解和形状判断的结论错误的是（

）．A．如果是方程的根，则是等腰三角形B．如果方程有两个相等的实数根，则是直角三角形C．如果是等边三角形，方程的解是或D．如果方程无实数解，则是锐角三角形【答案】D【分析】A.将代入方程中即可判断；B.根据方程有两个相等的实数根，使即可判断；C.根据是等边三角形，故a=b=c代入方程求解即可；D.根据方程无实数解，使即可判断；【详解】A.将代入方程中，得：，解得：a=b，故A正确；B.因为方程有两个相等的实数根，所以，解得：，所以是直角三角形，故B正确；C.因为是等边三角形，所以a=b=c，所以此方程为：，解得：或，故C正确；D.因为方程无实数解，所以，解得：，为钝角三角形，故D错误；故选D.【点睛】此题考查的是一元二次方程的解与系数之间的关系，掌握根与系数a、b、c和之间的关系是解决此题的关键.13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于x的一元二次方程x2﹣kx+4=0的两根，则k=__．【答案】4【详解】试题解析：由题意可知：方程有两个相等的实数根.即解得：当时，方程得两根为不符合，故舍去.故答案为14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为_____．【答案】16或22．【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2=k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可．【详解】解：Δ=b2-4ac==，无论k取何实数值都有Δ=≥0，，则x1=2k，x2=k+1，①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，即2k=k+1时，解得k=1，此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，即2k=6时，解得k=3，此时x1=6，x2=4，此时△ABC的周长为6+6+4=16，③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，即k+1=6时，解得k=5，此时x1=10，x2=6，此时△ABC的周长为6+6+10=22，综上所述：△ABC的周长为16或22；故答案为16或22．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，△ABC为等腰三角形分a为腰长以及底边长两种情况，a为腰长又可分为两种情况考虑是解题的关键．15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于的方程(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可．（1）证明：所以此方程总有实根．（2）解：①若，则此方程有两个相等实根此时，则，原方程为：，，∴另外两边长为2和2，②若，则是方程的根，∴，∴，原方程为，解得：，，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．◎应用四与不等式结合16．（2022·云南昆明·二模）若a满足不等式组，则关于x的方程的根的情况是（

）A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．不能确定【答案】A【分析】首先解关于a的不等式组求出a的取值范围，结合a的范围和根的判别式=b2-4ac，判断出b2-4ac的取值范围，从而可判断出一元二次方程的根的情况，得出答案．【详解】解不等式组，得a＜-3，∴，根据a＜-3可知，∴方程没有实数根．故选：A．【点睛】本题考查了解不等式组以及一元二次方程根的判别式的运用.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式=b2-4ac的关系：①＞0，则方程有两个不相等的实数根；②=0，则方程有两个相等的实数根；③＜0，则方程没有实数根.17．（2017·河北·模拟预测）若a满足不等式组则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能【答案】C【分析】首先解关于a的不等式组求出a的取值范围，结合a的范围和根的判别式△=b2-4ac，判断出b2-4ac的取值范围，从而可判断出一元二次方程的根的情况，得出答案.【详解】解不等式组，得a＜-3，∴△=(2a-1)2-4(a-2)(a+)=2a+5＜0，∴方程(a-2)x2-(2a-1)x+a+12=0没有实数根.故选C.【点睛】本题考查了解不等式组以及一元二次方程根的判别式的运用.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△=b2-4ac的关系：①△＞0，则方程有两个不相等的实数根；②△=0，则方程有两个相等的实数根；③△＜0，则方程没有实数根.18．（2015·山东聊城·九年级阶段练习）若ax2+x+1=0是关于x的一元二次方程且无实数根，则不等式3a+6>0的解集是____【答案】a＞.【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义和解不等式来解答；试题解析：∵3a+6＞0，∴3a＞-6，解得：a＞-2；根据一元二次方程的定义，a≠0；又方程无实数根∴1-4a＜0即：a＞.所以：则不等式3a+6>0的解集是a＞.考点：1.一元二次方程的定义；2.解一元一次不等式．19．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）若a满足不等式组，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为_______．【答案】-3【分析】先解不等式组求出解集，再根据一元二次方程根判别式求出解集，由此得到a的取值范围得到满足条件的整数，计算和即可．【详解】解：解不等式组得a<1，∵一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0有实数根，∴，∴，解得，∴，满足条件的实数a的所有整数为-2，-1,0，∴满足条件的实数a的所有整数和为-2-1+0=-3，故答案为：-3．【点睛】此题考查解不等式组，一元二次方程的根的判别式，正确掌握解不等式组的方法及一元二次方程的根的判别式的计算公式是解题的关键．20．（2022·北京·人大附中九年级开学考试）已知实数a满足不等式．(1)求这个不等式的解集；(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求所有满足条件的整数a的值．【答案】(1)(2)-1，0【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：云分母、云括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，结合（1）确定a的取值范围，从而可得结论．(1)去分母得，去括号得，移项得，合并得，系数化为1，得：(2)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴∴∴∴整数a的值为：-1，0．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式以及一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质◎应用五与一次函数结合通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可21．（2022·河南南阳·二模）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据判别式的意义得到△，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．【详解】解：一元二次方程无实数根，△，△，，，即，，即，一次函数的图象不经过第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．22．（2022·全国·九年级课时练习）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，