随机历届考题及答案-选讲-15年

一、广义平稳随机信号X(t)、Y(t)具有均值各 11随机信号X(t)直流功率互相关函RXY(概率密度函数fXYxy,tx,ty SX()是带宽为W=200π的低通白噪声，其 N0WsinW W

200sin200AXt

m2R直流功率 因为X(t)与Y(t)的功率谱不，故两个信立1Y(t)是广义平稳带通随122R(0) fdf2

信号，故 10012 X(t的方差

0 0fXY(x,y,tx,ty)fX( )fY(y,ty1212y 22002 e2

X(t)Aejit

iAi(i1, ,n)为复随量，且彼此正交ii(i1,2, ,n)为不同实数。求X(t)的自相关函 X(t)R(t,s)EXtXs Aejit Aejj EAAejitejjs i，i E[i

2]eji(ts)

XX(t)相关函数平XX(t)的均值E[X(t)]E

AejtE(A)ej =E(A)ej1tE(A)ej2t E(A)e EX(ttX(t不是平稳七、已知平稳噪N(t的功率谱密度如下图所示。X(t)N(t)cos(0t)N(t)sin(0t的功率谱密度SX(，并画图表示。其中 1为常数(0,2)上的均匀分布，且N(t)独立。(10年)解：先X(t)EX(t)EN(t)cos(0t)N(t)sin(0tEN(t)Ecos(0t)EN(t)Esin(0t)均值平X(t)RX(t,s)E[X(t)XE{N(t)cos(0t)N(t)sin(0tN(s)cos(0s)N(s)sin(0sE{N(t)N(s)cos(0t)cos(0sN(t)N(s)sin(0t)sin(0sN(t)N(s)cos(0t)sin(0sN(t)N(s)sin(0t)cos(0sEN(t)N(s)cos(0)N(t)N(s)sin[0RN()cos(0

s)2R() 1SX()12

SN()[(

)(01 (

)

由已SN(的功率谱密度，可SX(的频4八、设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为T的脉冲信号，每隔T发出一个脉冲。脉冲的幅度V(t) 是一个随量，它可能的取值有四：P[V(t)2]P[V(t)1]P[V(t)1]P[V(t)2]14计算随机信号V 的一维概率密度函数f(v;t)计算随机信号 的均值函数和相关函数V(t)f(v1,v2;1.5T,5.5T) （08年--0Tt解4f(v;t)1(v2)(v1)(v1)(v2)E[V(t)]1(2)1(1)1(1)1(2) t,

t1t2当 2在同一周期内时，即T R(t,t)E[V(t)V(t)]E[V2(t 1

(1)2(1)2(2)2

4 t, t1t2当 2在不同周期内时，即T ,t1t2 T

t

tR(t1,t2)

t

2.51

t2 T T 3.V(1.5T)与V(5.5T)在不同时隙内，所以V(1.5T)V(5.5T)彼此独立，所1(v2)(v1)(v1)(v (v22)(v21)(v21)(v2ntn1(tn2(t,n1(t的功5n2(t的功率为10n1(t的直流分量为2n2(t)的直流分量为1伏，确定在以下条件下n(t)的功率：n1(t和n2(t)是正交的n1(t和n2(t)是互不相关的n1(t和n2(t的互相关在02（08）n Rnt,t t,t2Rn t,t 1

n(t)和n(t)是正交的，有 (t1,t2) 1PRnt,t

t,t51015n1(t和n2(t)是互不相关的(t1,t2)Rnn(t1,t2)En1(t1)En2(t2)1 1n (t,tn 1

En1(t1)En2(t2n n1

21P t,t t,t2Rn t,t 151022n1(t和n2(t)的互相关在02R

(t,t)

En1(t)n2(t)PRnt,tRnt,t2Rn t,t51022 1十．设Z(t)Xcos2tYsin2t其中X和Y是统计独 2。X2Y：R 的概率密度函数X2Y4若在t0t1Z(t)的联合概率4度函数（07年解（由题：Z(tXcos2tYsin2t是带通信号其复包络a(tXjYRef(x,y) exp(x

y2X2X2Y

2xr yy

tan1X

r

rr frr,f(x,y)

fr

r,d

2exp r22

0 rexp

2

,r R为瑞利分布（2）因 Z(t)1Z(0)X Z )4

Xcos2tYsin21，故Z Z(4)统计独立 f(z1,z2;t1,t2)f(z1;t1)

(z2;t2 ) 2222 z2 exp( 2

22 2十二.零均值窄带平稳随机信号S(t)的功率谱密号Y(t)=S(t)+N(t)。N(t)S(t)独立，它们在同样频带（rad/sN(t)的双边谱密度为N0/2。)并计算此功率写出Y(t的同相分量YC(t的一维概率密度fC(yc;t)(3)Y(t)的同相与正交分量分别是YC(t、YS(t)，求概P[YC(t0|YS(t0]（06年解（1）利用独立性与零均值RY(t,t)EY(t)YE[S(t)N(t)][S(t)NRS(t,t)RN(t,t)RS()RN()RY( 故Y(t)是平稳窄带信号，于RY(0)RS(0)RN(0)PYPSP S()d 1[1wA1wA] 2 S()d 1[wN02] 2 Pw(N0 （2）由于N(t)与S(t)都是的，Y(t)是窄带过的分布，服从YC(t)~N(0,PY)，于是， y2 f(y;t) 2 2Y1

y w(N0ww(N0（3Y(t) 过程且功率谱关于0 十三.平稳白噪声信号N(t)通过一增益为1，号Y(t)的功率为1W。若以200Hz的频率对Y(t)采样得离散序列Yk Yk/200 kY的概率密度函数fYy1,y2y3y4;t1,t2,t3,t4k（06年解：根据题意可知信号Y(t)的功率谱密度S 2N0rect 2 4002 400P

Sd

0d200

N0 2 2 N0 YRY2

sinW

sin200由于是

tjkTSk/ |k|为整数。sink ,i ,i可知 为正交、无关、独立序列fYy1,y2,y3,y4;t1,t2,t3,t4fYy1;t1fYy2;t2fYy3;t3fYy4;t4 y2y2y2y2 exp 42 .H()rect

2cos100tnt200

，当输入 时测得系统输出功率为3W。若n(t)为零均值白（06年解：根据题意可知，余弦信号的频率LPF的通带内滤波器输出噪声not为低通白噪声输出信号Yt2cos100tnot，为随机信号。2cos100t在输出端产生2W的功率A2cos100t2lim1T2cos100t2dt T 由于余弦信号为确定信号噪声独立。因此not率为1Wnot的概率密度函数为 n;t

1expn2

2， t其概率密度函数 y2cos100t2 fy;t exp 十六.已知平稳随机信号 的功率谱密度(() 2 ,平稳二元传输信Y(t)的功率谱度为

()4sin2

/

,且X(t)与Y(t)求：X(t)Yt)的均值请说Z(t)=X(t)Y(t)的广义平稳性及均值各态历经性。（07年解

R()F ] 2

4sin2(T/ Tsin2(T/SY() 2T2/4R()F1[S()]tri

1/T T

（2）

RXRX

0，mY RYRYR()tri T Zt)广义平稳mZ0 CZ()RZ(CZ(0)1 CZ()Zt)均值各态历十七、若某个噪声电压Xt是一个广义各态历经 4Xt2cost程，它的一个样本函数 ， 4 声的均值和平均功率解：由随机信号各态历经性的物理意义T该噪声的均值为T

X T

TTT平均功

t 4

dtAX2(t)lim1

X2

2cos

2dt2T2TT 4 十九、对于零均值窄带平稳随机过X(t)i(t)cos0t若已RX()a(cos0，求证明Ri(Rq(a(fiq(iq;t,t) （12年解：1.由题对于窄带随机信号X RX(a(cos0 ()1AA 2故

S()S()Sx(0)Sx(0

1A2A

1AA2 12 A

2 0 所以Ri(Rq(a(EitEqt 222.因为 ， i2q2 fiq(i,q;t,t)fi(i;t)fq(q;t)2a0exp2a0