无理根式的不定积分课件

8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分18.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.其一般形式为一、有理函数的积分（1）2有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)3假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母

在实系数内作标准分解：

第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：4有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母在（1）分母中若有因式，则分解后为特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为5（1）分母中若有因式，则分解后特殊地：分解后为6特殊地：分解后为6真分式化为部分分式之和的待定系数法例17真分式化为部分分式之和的待定系数法例17代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例28代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例28例3整理得9例3整理得9例4求积分解10例4求积分解10例5求积分解11例5求积分解11例6求积分解令12例6求积分解令121313说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：对于14说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：对于14则记令15则记令151616令17令17有理函数的原函数都是初等函数.结论所以注

用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。18有理函数的原函数都是初等函数.结论所以注用求有理真分式的最例7解19例7解19由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有理式．三角有理式的定义二、三角函数有理式的不定积分一般记为三角有理函数的积分，一般有如下规律（一）20由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有（二）万能代换令（万能置换公式）21（二）万能代换令（万能置换公式）21例8解法一：22例8解法一：22解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,并凑微)23解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,例9求积分解由万能置换公式24例9求积分解由万能置换公式242525例10求积分解（一）26例10求积分解（一）26解（二）修改万能置换公式,令27解（二）修改万能置换公式,令27解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.28解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种例11求积分解29例11求积分解2930301、讨论类型解决方法作代换去掉根号.例12求积分解令三、简单无理函数的积分311、讨论类型解决方法作代换去掉根号.例12求积分解3232例13求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.33例13求积分解令说明无理函数去根号时,取根例14求积分解先对分母进行有理化原式34例14求积分解先对分母进行有理化原式34由于若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根式的不定积分也就转化为:35由于若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根3636例15求

解［解法一］按上述一般步骤，求得37例15求解［解法一］按上述一般步骤，求得37由于因此．38由于因此．38[解法二]若令则可解出于是所求不定积分化为有理函数的不定积分

39[解法二]若令则可解出于是所求不定积分化为有理函数的不定注1可以证明

．所以两种解法所得结果是一致的．此外，上述结果对同样成立．40注1可以证明．所以两种解法所得结果是一致的．此外，这类变换称为欧拉变换.41这类变换称为欧拉变换.41简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结五、作业P198:1(1)~(6),2(1)~(6).42简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？43思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？43思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.44思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.448.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分458.3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.其一般形式为一、有理函数的积分（1）46有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)47假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母

在实系数内作标准分解：

第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：48有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母在（1）分母中若有因式，则分解后为特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为49（1）分母中若有因式，则分解后特殊地：分解后为50特殊地：分解后为6真分式化为部分分式之和的待定系数法例151真分式化为部分分式之和的待定系数法例17代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例252代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例28例3整理得53例3整理得9例4求积分解54例4求积分解10例5求积分解55例5求积分解11例6求积分解令56例6求积分解令125713说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：对于58说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：对于14则记令59则记令156016令61令17有理函数的原函数都是初等函数.结论所以注

用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。62有理函数的原函数都是初等函数.结论所以注用求有理真分式的最例7解63例7解19由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有理式．三角有理式的定义二、三角函数有理式的不定积分一般记为三角有理函数的积分，一般有如下规律（一）64由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有（二）万能代换令（万能置换公式）65（二）万能代换令（万能置换公式）21例8解法一：66例8解法一：22解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,并凑微)67解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,例9求积分解由万能置换公式68例9求积分解由万能置换公式246925例10求积分解（一）70例10求积分解（一）26解（二）修改万能置换公式,令71解（二）修改万能置换公式,令27解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.72解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种例11求积分解73例11求积分解2974301、讨论类型解决方法作代换去掉根号.例12求积分解令三、简单无理函数的积分751、讨论类型解决方法作代换去掉根号.例12求积分解7632例13求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.77例13求积分解令说明无理函数去根号时,取根例14求积分解先对分母进行有理化原式78例14求积分解先对分母进行有理化原式34由于若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根式的不定积分也就转化为:79由于若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根8036例15求

解［解法一］按上述一般步骤，求得81例15求解［解法一］按上述一般步骤，求得37由于因此．82由于因此．38[解法二]若令则可解出于是所求不定积分化为有理函数的不定积分

83[解法二]若令则可解出于是所求不定积分化为有理函数的不定注1可以证明

．所以两种解法所得结果是一致的．此外，上述结果对同样成立．84注1可以证明．所以两种解法所得结果是一致的．此外，这类变换称为欧拉变换.85这类变换称为欧拉变换.41简单无理式的积分