基本不等式-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式通过前面的学习，我们知道不等式有许多基本性质,同时还有一些显而易见的结论：这些都是研究不等式问题的理论依据。在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理。探究：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。问题：比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论？在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.

设直角三角形的直角边长为a,b那么正方形的边长为

正方形面积为a2+b2,4个的直角三角形的面积和2ab，正方形面积大于4个的直角三角形的面积和？a2+b2≥2ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，小正方形缩为一个点时，有

a2+b2=2ab；一、基本不等式：一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，等号成立.特别地,如果a>0,b>0,用分别代替a,b,得a+b≥2通常上式写成当且仅当a=b时取等号.基本不等式

基本不等式的证明：要证：只要证：要证②，只要证要证③，只要证①②③④④式显然成立.当且仅当a=b时，④中的等号成立.分析法：执果索因.如图所示：AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.表示圆的半径，表示半弦长CD,得到不等关系：几何意义：半弦长不大于半径长。探究：1）我们称为正数a,b的算术平均数，称为正数a,b的几何平均数,因而，此定理又可叙述为：

2）a2＋b2≥2ab和成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义：当a=b时，，反之，仅当时，a=b.对基本不等式的几点说明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.二、基本不等式的应用：例1、设a,b为正数，证明下列不等式成立：变式:已知a>2,求的最小值.(2)求函数的最大值，及此时x的值。例2、(1)已知x<0,求函数的最大值。已知x,y都是正数，则如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2②如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值三、基本不等式：应用要点：一正、二定、三等。练习：(1)已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．(当x=6,y=4时,最小值为48)(2)已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．

(最小值为8)(3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．

例3、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym，

则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.

由基本不等式,可得2(x+y)≥40.等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=10

因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.

例3、(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,

则2(x+y)=36，x+y=18,矩形菜园的面积为xym2,等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.可得由xy≤81,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.

请看课本P48练习：第2题2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少?例4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，