概率论与数理统计练习答案全部

练习一一、1．B2.A3.C4.D二.1.2.41/903.25/424.5.0.40.66.三、已知：P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.3，P(AB)=0.1，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，P(ABC)=0.03(1)(2)(3)得(4)(5)P(A∪B∪C)=0.73+0.14+0.03=0.9(6)四、令x、y为所取两数，则={(x,y)|0<x<1,0<y<1}；令事件A：“两数之积不大于2/9，之和不大于1”，则A={(x,y)|xy≤2/9,x+y≤1,0<x<1,0<y<1}S=SOAED=1×1=1；得练习二一、1．B2.B3.D4.C二、：“全厂的产品”；A、B、C分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S：“次品”，则(1)由全概率公式，得P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由贝叶斯公式，得三、设=从第一批产品中任取一件时，取到废品先从第一批产品中任取一件放入第二批中，再从第二批产品中任取一件，此时取得废品由全概率公式知=四、有：五、又P(A∪B)≤1，则练习三一、1．B2.A3.C4.D5.B二、A1、A2、A3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A1、A2、A3相互独立Bi：“有i个人击中飞机”（i=1,2,3），有：由已知：P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.7；B：“飞机被击落”B3=A1A2A3P(B3)=0.14又P(B|B1)=0.2，P(B|B2)=0.6，P(B|B3)=1由全概率公式，得：三、Ai：“C发生时第i只开关闭合”，由已知有：P(Ai)=0.96(1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)=0.96+0.960.96×0.96=0.9984(2)设需k只开关满足所需可靠性，在情况C发生时，k只开关中至少有一只闭合的概率为：四、(1)(2)A：“5个样品中至少有2个一级品”，有：练习四一、1.D2.D3.A4.B二、(1)任掷两骰子所得点数和i有212共11种可能令i表示和数为i的样本点(i=2,3,…,12),则基本事件集={2,3,…,12}(2)由已知,得：i，有(i)=2i(i=2,3,…,12）,则的可能值为2i(i=2,3,…,12）(3){<4}=；{≤5.5}={=4}={2}；{6≤≤9}={=6}∪{=8}={3}∪{4}；{>20}={=22}∪{=24}={11}∪{12(4)P{<4}=0；P{≤5.5}=P{2}=1/36；P{6≤≤9}=P{3}+P{4}=2/36+3/36=5/36；P{>20}=P{11}+P{12}}=2/36+1/36=3/36=1/12三、(1)的所有可能值为0，1，2P{=0}=；P{=1}=；P{=2}=012P22/3512/351/35故的分布律为：(2)F(x)=P{≤x}当x<0时，{≤x}为不可能事件，得F(x)=P{≤x}=0当0≤x<1时，{≤x}={=0}，得F(x)=P{≤x}=P{=0}=22/35当1≤x<2时，{≤x}={=0}∪{=1}，又{=0}与{=1}是两互斥事件，得F(x)=P{≤x}=P{=0}+P{=1}=22/35+12/35=34/35当x≥2时，{≤x}为必然事件，得F(x)=P{≤x}=1四、（1）由分布函数的性质综合即得得（2）对（3）分段求导得的概率密度为=.五、(1)(2)(3)当x<－1时，当－1≤x≤1时，当x>1时,综合即得六、(1)P{2<≤5}=Φ()Φ()=Φ(1)Φ(0.5)=Φ(1)[1Φ(0.5)]=0.5328P{4<<10}=Φ()Φ()=Φ(3.5)Φ(3.5)=2Φ(3.5)1=0.9996P{||>2}=1P{2≤≤2}=1Φ(P{>3}=1P{≤3}=1Φ()+Φ()=1Φ(0.5)+Φ(2.5)=0.6977)=1Φ(0)=10.5=0.5(2)P{>C}=1P{≤C}=P{≤C}P{≤C}=0.5Φ()=0.5=0C=3练习五一、1．A2.B3.C4.B5.B二、(1)y=ex在(0,1)严格单调增且可导，则x=lny在(1,e)上有：(lny)=∴(2)y=2lnx在(0,1)严格单调减且可导，则在(0,+)上有：∴三、的概率密度为易知的取值区间为[0，1]；以下分三段求的分布函数（1）当＜0时，；（2）当＜1，如图所示，===；（3）当时，对分段求导得的概率密度为YX0123103/83/8031/8001/8四、五、(1)(2)(3)P(0<X≤1,0<Y≤2)=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1e3)(1e8)练习六1．(1)(2)(3)，同理YX2101/21/81/61/241/61/161/121/481/121/161/121/481/121/213有f(x,y)=fX(x)fY(y)，故X与Y独立2．X与Y独立，则P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}有：3．(1)(2)(3)则有；同理得：，X+Y323/211/21/2123P1/121/122/123/121/1202/1202/124．5．设第i周需要量为Xi（i=1,2）令X=X1+X2，则(i=1,2)6．(1)z≤0FZ(z)=0；(2)故练习七一、1.D2.B3.B4.D5.C6.(1)A(2)B二．1.8，2.4，2.4，18.4，3.1三、，四、E(X)=E()=D(X)=E(X2)E2(X)=五、E(X)=D(X)=六、令搜索时间为T，则T的分布函数为，得：，则有E(T)=七、练习八一、1.C二、(1)2.A3.D4.D5.C(2)同理可得：(3)三、(1)设Xi为第i个加数取整后的误差，则Xi~U[0.5,0.5](i=1,...,1500)总误差，且由独立同分布的中心极限定理：P{|X|>15}=1P{|X|≤15}(2)在(1)的假设下，设，有E(X)=0，则求最小自然数n，使P{|X|≤10}≥0.90，即n≤440.77n=440为所求四、E(X)=E(Y)=,D(X)=D(Y)=2E(Z1)=E(X)+E(Y)=(+),E(Z2)=E(X)E(Y)=()E(Z1Z2)=E(2X22Y2)=2E(X2)2E(Y2)=2[D(X)+E2(X)]2[D(Y)+E2(Y)]=2(2+2)2(2+2)=(2+2)(22)D(Z1)=2D(X)+2D(Y)=2(2+2),D(Z2)=2D(X)+2D(Y)=2(2+2)五、服从二项分布,阶段自测一一、1.D2.A3.B4.A5.C二、1.0,3/4,5/8,1/82.1/2,1/[(1+x2)]3.20,164.15.三、(1)，则得：A=1/2,B=1/(2)(3)四、的联合概率密度为==五、当时，时，当==六、当时，时，；当==于是，的概率密度函数为七、的分布律为3450.10.30.63+4+5=4.5八、同理：f(x,y)fX(x)fY(y)，则X和Y不独立，同理：E(Y)=0,则X和Y不相关九、设Ai：第i次误差的绝对值不超过30米,~N(20,402)所求为：十、＝18％练习九一、1.C2.A3.C4.C5.A二、(1)∵∴(2)p(1p)在p=1/2处取得最大值1/4,要使，只需1/4n≤0.01，即n≥25三、X1,X2,X3,X4~N(,2)，且相互独立X1X2~N(0,22),X3X4~N(0,22)，且X1X2与X3X4相互独立则a=F0.05(1,1)=161.4四、由题意知：(i=1,2,3)又(i=1,2,3)是相互独立的，得Y~2(3)，即自由度为3五、X1,X2,...,X16相互独立，且=0.950.01=0.94六、X1,X2,...,Xn相互独立，且E(Xi)=D(Xi)=E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=+2,练习十一、1.A2.D3.A4.B5.C二、矩估计量:令三、似然函数L(x1,x2,...,xn,)=lnL=nln(2)=nln(2)令由大数定律,有:E|Xi|=E|X|====,即为的一致估计量四、极大似然函数，令故=0得,于是此估计为无偏估计。时,五、，当,是的无偏估计。最小,故最有效.,当时,练习十一一、n=16,1=0.95=0.05,2未知=t0.025(15)=2.1315=2.69=2.72∴的置信度为0.95的置信区间为(2.69,2.72)二、n=9,1=0.95=0.05=17.535,=2.180=55.20,=444.04∴2的置信度为0.95的置信区间为(55.20,444.04)三、1,2分别为一号方案和二号方案的平均产量n1=n2=8,=0.05,=81.63,=145.70,=75.88,=101.98=t0.025(14)=2.14,=11.13=6.16=17.66∴12的置信度为0.95的置信区间为(6.16,17.66)四、n1=n2=10,=0.05,=F0.05(9,9)=4.03=0.222=3.601∴的置信度为0.95的置信区间为(0.222,3.601)五、∵~t(n1+n22)∴P{∴P{<t(n1+n22)}=1t(n1+n22)<12}=1∴12的置信度为1的置信下限为t(n1+n22)=0.14125,s12=0.0000083,=0.1392,s22=0.0000052,=0.0025495t(n1+n22)=0.141250.13920.0025495t0.05(7)=0.00119010.0012∴12的置信度为0.95的置信下限为0.0012六、∵∴P{~t(n1),且P{}=1}=1∴的置信度为1的置信区间为(,)此时练习十二一、1、C2、A3、A4、A二、由已知得取统计量~N（0，1）则拒绝域为于是接受H0，即可以认为这批产品的指标X的期望值为1600。三、由已知得取统计量~t(23)则拒绝域为于是拒绝H0，即不可以认为发热量的期望值为12100。四、由已知得取统计量则拒绝域为则拒绝H0，即不可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差为0.1082。五、取统计量则拒绝域为则接受H0，即可以认为测定值总体的方差为0.00042。练习十三一、由已知得取统计量则拒绝域为则接受H0，即不可以两煤矿的含灰率的均值无显著差异。二、由已知得取统计量则拒绝域为则接受H0，即认为两窑砖抗折强度的方差无显著差异。三、依题意先对方差作假设检验由已知得取统计量则拒绝域为则接受H0，即认为采用新工艺后方差无显著差异。再作均值的假设检验由已知得取统计量则拒绝域为则拒绝H0，即认为采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高。四、设X为骰子投掷一次出现的点数，P{X=k}=PK，K=1，2，3，4，5，6按题意需在显著水平0.05下检验假设H0：Pi=1/6（i=1~6）根据上面结果列表如下：（ni-nPi）2/nPi点数ninPini-nPi1232621212015202020202020360.451.823410.05005-5-51.251.254.86总和因故认为这颗骰子是均匀对称的。阶段自测二一、1.12.,3.F(1,n1)4.5.0.95二、1.A2.A3.B4.C三、(1)∵~2(n1)∴P{≤1.5}=P{≤1.5(n1)}≥0.95P{>1.5(n1)}≤0.051.5(n1)≥查2分布表得满足上式的最小的n为27(2)∵~N(0,1),,令Y=∴E|Y|=∴≤0.1n≥255四、(1)矩估计量:1=E(X)==1+,A1=令1=A1+1=极大似然估计量:L(x1,...,xn,)=(xi≥)lnL=,令无解∵xi≥时L非零∴当=时,L有最大值(2)1=E(X)1=+11=是的无偏估计量的分布函数G(y)=P{≤y}=1P{>y}=1P{X1>y,X2>y,...,