大学物理：第05章 角动量

1第五章角动量定理有心运动第五章角动量定理、有心运动§5.1角动量定理§5.2质点组角动量定理角动量守恒定律§5.3天体运动23本章重点内容对参考点O的力矩对参考点O角动量角动量定理当，则

或角动量守恒开普勒定律4银河系为什么是扁的？5§5.1角动量定理5.1.1质点角动量定理质点的运动状态：相对某参考点的转动：相对某参考点的径矢r速度运动转动6惯性系S中的一个质点，在运动过程中相对某参考点O的径矢r会相应的旋转。在dt时间质点位移为dt，转过角度d

r便会扫过面积dS面积速度O7质点在

S

系中相对参考点O的角动量L角动量随时间的变化和什么有关呢？其中8质点所受力相对参考点

O

的力矩质点角动量定理：质点所受力相对某参考点的力矩等于质点相对该参考点角动量的变化率。处理转动的所有公式都是从这个公式导出9此式与牛顿第二定律类似：角动量、动量；角冲量、冲量注意：角动量不仅是对与一个固定点它也可以相对于一个瞬时点10h力矩力臂

h：点O到力F作用线的距离。在直角坐标系中，M

可用行列式表述成它的三个分量：11质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和，

等于合力F相对该参考点的力矩。两质点之间一对作用力与反作用力相对于同一参考点力矩之和必为零。12O12若过程中

M

恒为零，则过程中

L

为守恒量若过程中

Mz恒为零，则过程中

Lz为守恒量质点所受力F若始终指向一个固定点O，则称F为有心力，O为力心。有心运动特点？？？13角动量守恒当质点所受的合外力矩等于零，则质点的角动量守恒。即：M＝0，则L＝恒矢量说明:1)M=0分两种情况，其一F=0，角动量守恒和动量守恒同时成立；其二F≠0，但与r共线，动量不守恒，但是角动量守恒。2)角动量变化定理是矢量式，需要注意它是对固定点而言的。例如圆锥摆对O点角动量守恒(有心力)，而对O，M≠0，角动量不守恒。角动量大小不变，但是方向在变化。3)如果力矩沿某方向的分量为零，则沿着该方向角动量守恒。如圆锥摆质点相对O所受力矩在水平面内，垂直方向的分量为零，则沿着垂直方向的角动量分量守恒。14例1相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量AB参考点A：重力矩角动量参考点B：重力矩角动量15例2匀速圆周运动O选择圆心O为参考点力矩角动量R⊙其它任何点则没有这种情况16例3地球绕太阳公转选择太阳为参考点万有引力的力矩为零17例4圆锥摆如图，小球质量m，速率，圆半径R，锥角。分别求以悬点A和圆心O为参考点，张力力矩，重力力矩，合力力矩和质点角动量？摆球受张力和重力选参考点AmOA与同向Rmg重力力矩方向如图质点角动量张力力矩0与同向Rmg合力力矩180合力力矩竖直向上Rm质点角动量与反向Rmg张力力矩选参考点O摆球合外力力矩M＝0，因此角动量守恒，大小、方向保持不变mOA与同向Rmg重力力矩19说明:巩固力矩、角动量概念，具体计算方法，判断守恒(1)同一个力，对圆心O和悬点A力矩不同(2)作圆锥摆运动质点m，对圆心O和悬点A的角动量也不同(3)对圆心O，合力矩为零，角动量守恒；对悬点A，合力矩不为零，角动量不守恒。因此，角动量是否守恒，与参考点的选择有关注意(1)角动量变化定理是矢量式，是相对于某一固定点而言的(2)如果力矩沿某方向的分量为零，则沿该方向角动量守恒的竖直方向分量不变20例5⊙z导出单摆的摆动方程力矩和角动量都只有z轴分量采用小角度近似利用角动量定理振动的运动方程普遍形式21估算：18~0.32rad，取前两项小角近似不足2％在18摆角下，用sin也仅有2％的误差。取=18，sin=0.3090218，有<0.02即2％的误差22例6OA小球绕O作圆周运动，如图所示（1）求B端所受竖直向下的外力T0（2）T0极缓慢增到2T0，求（3）用功的定义式求拉力所作的功。B分析物理过程以O为参考点，力矩为零，角动量守恒T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程为圆周运动23OAB解（1）（2）角动量守恒圆周运动24（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动它恰好等于小球的动能增量255.2质点组角动量定理角动量守恒定律质点组角动量及质点微分过程令质点组内力矩之和为零，即26mimj证明：质点组内力矩(角冲量)之和为零O内力特性得到微分式27在惯性系S中，质点组相对O点的角动量

L质点组角动量定理：作用在质点组上的外力对惯性参考系中的固定参考点的力矩之和(合外力矩)，等于质点组相对于同一参考点的角动量的时间变化率28质点组角动量守恒定律若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。若过程中M外x(或M外y，M外z)恒为零，则过程中Lx(或Ly，或Lz)为守恒量。非惯性系中质点组的角动量定理29几点说明角动量守恒在现代体育运动中的应用，如花样滑冰中为例快速转动有收拢手臂的动作，跳水动作中有抱体的动作等。(3)质点组角动量守恒的例子：太空舱中转身，花样滑冰，跳水等等。30茹科夫斯基转椅物体的转动惯量I与角速度的乘积I叫做物体的角动量。不受外力矩作用时，物体的角动量守恒，即I＝恒量。茹科夫斯基转椅是演示角动量守恒的一种方式。演示者坐或者站在可绕竖直轴自由旋转的椅子上，手握铁哑铃，两臂平伸，是转椅转动，然后收缩双臂，可看到人和椅转速显著加大。两臂再度平伸，转速复又减速。这是因为绕固定轴转动的物体的角动量等于转动惯量与角速度的乘积，而外力矩等于零时，角动量守恒。当人收缩双臂时，转动惯量减小，因此角速度增加。31离心节速器当机器负荷增大时，由于阻力增大，转速将降低，这时重球旋转半径减小滑环下降，使节流阀门开大，增加进气量，使机器增大输出动力，转速就上升，恢复到原来值。当负荷变小而速度增大时，重球旋转半径加大，使阀门关小减少进气量，使转速下降，也可恢复到原来值。这样，就自动地起调节速度的作用，使机器以一定的速度旋转。仪器的构造如下：在竖直轴顶部的小盘上，连有两个金属杆，杆的末端各有一个金属球。转轴上套有可以上下滑动的金属滑环，滑环上有支杆与两重球的金属杆相连接。轴的顶端与滑环之间套有可伸缩的弹簧。转轴静止时，二重球下垂与转轴并拢，套在轴上的弹簧伸展。转动后，重球做离心运动而飞起，压缩铀上弹簧。转速增大时，重球的旋转半径增大，滑环上升，反之下降。如果利用卡在滑环中的连杆与节流阀相连(如图所示)，控制机器的进气量，就可以达到调节转速的目的。因此这个装置叫做离心节速器。32离心球演示角动量守恒用离心球演示角动量守恒。在没有外力矩作用的情形下，如果物体的I增大时，就减小；反之，I减小时，就增大。图中表示的是用离心球演示的现象。先使竖直轴转动，两重球分开，有一定的角动量。沿竖直轴往下拉滑环时，迫使二重球张角减小向轴靠拢，此时重球的转动惯量减小，转速就急剧增加。再把滑环上移使两重球分开，转动惯量增大，转速又减小，这是由于移动滑环时对于重球不产生绕轴的力矩，因此角动量始终守恒。太阳系中各个行星的运动就保持着角动量守恒，当行星运行到不同位置时由于转动惯量的改变其角速度也发生变化。33银河系为什么是扁的？34Laplace星云假说35盘状星系角动量守恒的结果银河系36角动量守恒的结果银河系2,000亿星球仙女座星系盘状星系375.1.3外力矩重心对称球的外引力分布中心外力矩是质点系角动量变化的原因合力为零的外力矩质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。O38一对力偶：大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力。力偶的力矩不依赖于参考点的选择1239重心位于rG的几何点称为质点系的重心质量均匀分布，几何结构具有强对称性的物体，重心位于其几何中心。40质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量质点系各质点重力作功之和等于质点系重力作用于重心处所作的功重力势能重力的力矩重心是质点系重力分布中心猫的空中转体质点系的中心G与下章质心C，概念不同，位置相同41对称球的外引力分布中心P球心是对称球的外引力分布中心1664年牛顿完成草稿微积分(流变术)1687年出版《自然哲学的数学原理》42§5.3天体运动人类宇宙观的简要回顾§5.3.1

天体运动——行星运动43§5.3.2

开普勒定律1609年，开普勒在《新天文学》中阐述第一、二定律行星轨道焦点太阳焦点●第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。44

离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢FF第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。又称掠面速度守恒。45MdS看到，掠面速度s守恒为角动量守恒的运动学表述，故s常称为运动学常量。46第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴A的三次方与轨道运动周期T的二次方之比值为相同的常量，即1619年，开普勒在《宇宙谐和论》中阐述第三定律。开普勒三定律确定了太阳系的空间位形，故称开普勒为“天体立法者”AFF地球比值k是与行星无关而只与中心天体有关的恒量47卡文迪许测出G，由惊呼我秤出地球质量ME；开普勒定律进而告诉我们，可以骄傲地宣称：由上式测出TE、aE，应用则可秤出MS。地球参数RE=6.378106m，g=9.81m/s2万有引力常量G

=6.6710-11m3/kg-1s-2，故有地球参量ME=5.981024kg地球运行周期

TE=3.610324365=3.1536107s地球运行平均半径

aE=rE=1.4961011m故有48完成了开普勒三定律，开普勒感慨道：“十六年了，我志愿探索一件事情，所以我和第谷结合起来，……我终于见到了光明，认识到的真理远远超出我的期望。如今，木已成舟，书已完稿，至于是否现在就有读者，抑或留待后世？！正像上帝为了一个观察者等待了六千年那样，我也许要整整等上一个世纪才会有读者。对此，我毫不在意。”然而，五十年后一位伟大的天才的读者出现了，这位读者就是牛顿。如果说，开普勒完成了太阳系行星的运动学描述，而牛顿则揭示了其动力学原因。观察者是指第谷(和开普勒本人)；开普勒时代，多数人认为宇宙的年龄只有几千年，六千年这个数字来自《圣经》。49§5.3.3

行星运动轨道方程牛顿力学结合万有引力定律推导天体运动的开普勒三定律极坐标系角动量守恒能量守恒50太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m，某时刻M至m的径矢r和m的速度。建立极坐标系在径矢r和速度确定的平面上，建立以M为原点的极坐标系。51利用角动量L和能量E守恒首先可得到角向速度和径向速度52行星轨道方案1：参数方程方案2：轨道方程53确定轨道方程引入参量54作变量代换积分后可得总可选取55行星的轨道方程这是太阳位于焦点的圆锥曲线56三种可能的轨道：都与m无关(1)E>0时，>1，为双曲线之一，M位于内焦点(2)E=0时，=1，为抛物线，M位于焦点(3)E<0时，<1，为椭圆，M位于其中一个焦点行星的轨道方程57大行星受太阳引力束缚强，E

<

0，轨道是椭圆Mm椭圆偏心率时，为圆轨道。太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星58各大行星轨道偏心率水星0.206金星0.007地球0.017火星0.098木星0.048土星0.055天王星0.051海王星0.007冥王星0.252太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。59§5.3.4

有心力场中质点的运动存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点，在有心力场中质点所受力可表述成：60有心力场中，质点初速度沿径向或为零时，运动轨道是直线。对于吸引性有心力场，质点初速度沿角向并满足，运动轨道是圆。一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线，这一平面由质点初位矢和初速度确定。61ab保守力(1)有心力对力心的力矩为零不变(2)有心力大小只与r相关积分与路径无关有心力场角动量守恒有心力场机械能守恒E=Ek+Ep=常量62例15O为有心力场的力心，排斥力与距离的二次方成正比：f=k/r2，k为常量。(1)求此力场的势能；(2)一质量为m的粒子以速度0，瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此刻速度。解(1)斥力f=k/r2为保守力，根据势能定义，并规定无穷远为势能零点，则力场的势能为bM-渐近线的平行线渐近线瞄准距离63(2)斥力f=k/r2为有心力，在有心力场中运动的粒子对力心O的角动量守恒。若以从远处入射时为初态，到达与力心最近距离处为终态，根据角动量守恒为初态角动量大小终态角动量大小故有斥力f=k/r2为保守力，在保守场中粒子的能量守恒解R的一元二次方程，舍去负根，得到粒子达到最近距离和速度64动量？机械能守恒和角动量守恒是解析一切有心运动的理论出发点常见的在万有引力作用下的天体和人造天体的运动在库仑力作用下核外电子运动和带电粒子散射等典型的有心运动物理背景带电粒子在库仑场中的散射—粒子散射。动量不守恒65bQ

q渐近线