电磁场与电磁波-1波函数

内容1方程2波函数的统计解释3概率波函数1.1方程一维方程：iℏ

∂Ψ

=

−

ℏ

∂2Ψ

+

Ψ∂t

2π

∂x2

V其中2πℏ

=

h=

1.054572

×

10−

34

J

·

sSpring

20153

/

14波函数1.1方程一维方程：iℏ

∂Ψ

=

−

ℏ

∂2Ψ

+

Ψ∂t

2π

∂x2

V其中2πℏ

=

h=

1.054572

×

10−

34

J

·

s一个粒子的波函数包含了粒子的所有信息！Spring

20153

/

14波函数1.2

波函数的统计解释当

1926

年初 建立他的“波动方程”的时候，对于其中的“波函数”到底代表什么，并没有给出一种恰当的解释。只是到了同年晚些时候，玻恩通过与散射过程中描写沿不同方向射出的散射粒子平面波函数相对应的概率密度之间的比例，提出“波函数的概率诠释”的，即将波函数的模方解释为测量到的入射或者散射粒子的统计概率。这种解释很快在散射实验中被实验观察到粒子的相应计数率之间的比例得到证实，从而获得了大家的公认。dusx

(zzu)Spring

20154

/

14波函数波函数Ψ(x,t)的模方|Ψ(x,t)|2

给出在t时刻粒子位于x

点附近单位体积元中的概率。或者说，∫b|Ψ(x,t)|

2dx

=(在t

时刻发现粒子处于a

和b

之间的概率)a概率密度ρ(x,t)=|Ψ(x,t)|2

=Ψ(x,t)⋆Ψ(x,t)波函数波函数的统计诠释在量子力学中引入了一种不确定性Spring

20156

/

14波函数波函数的统计诠释在量子力学中引入了一种不确定性量子力学提供的仅仅是一些可能结果的统计信息！Spring

20156

/

14波函数波函数的统计诠释在量子力学中引入了一种不确定性量子力学提供的仅仅是一些可能结果的统计信息！假定确实测量了这个粒子的位置并且发现它在点

C。问题：在恰好进

量之前这个粒子在那里？Spring

20156

/

14波函数1.现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！dusx

(zzu)Spring

20157

/

14波函数1.现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！dusx

(zzu)Spring

20157

/

14波函数现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！正统学派：粒子哪也不在。粒子出现在哪里依赖于测量的作用。Spring

20157

/

14波函数现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！正统学派：粒子哪也不在。粒子出现在哪里依赖于测量的作用。Spring

20157

/

14波函数现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！正统学派：粒子哪也不在。粒子出现在哪里依赖于测量的作用。不可知论学派：

回答。Spring

20157

/

14波函数现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！正统学派：粒子哪也不在。粒子出现在哪里依赖于测量的作用。不可知论学派：

回答。Spring

20157

/

14波函数现实主义学派：粒子还是在C。仅仅用波函数来描述粒子是不够的！正统学派：粒子哪也不在。粒子出现在哪里依赖于测量的作用。不可知论学派：

回答。实验结果：实验已经决定性的证实了正统观点：一个粒子在测量前没有一个确定的位置，是测量的过程给出了一个具体数量。Spring

20157

/

14波函数测量对波函数的影响波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的分布为：Spring

20159

/

14波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的分布为：14

岁1

人，15

岁1

人，16

岁3

人，22

岁2

人，24

岁2

人，25

岁5

人.Spring

20159

/

14波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的分布为：14

岁1

人，15

岁1

人，16

岁3

人，22

岁2

人，24

岁2

人，25

岁5

人.Spring

20159

/

14波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的14

岁1

人，15

岁1

人，16

岁3

人，22

岁2

人，24

岁2

人，25

岁5

人.为j

的人数，则分布为：用N(j)表示N(14)

=

1,N(15)

=

1,N(16)

=

3,N(22)

=

2,N(24)

=

2,N(25)

=

5,N(其它)=0.Spring

20159

/

14波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的14

岁1

人，15

岁1

人，16

岁3

人，22

岁2

人，24

岁2

人，25

岁5

人.为j

的人数，则分布为：用N(j)表示N(14)

=

1,N(15)

=

1,N(16)

=

3,N(22)

=

2,N(24)

=

2,N(25)

=

5,N(其它)=0.Spring

20159

/

14波函数1.3

概率假设一个屋子中有14

个人，他们的14

岁1

人，15

岁1

人，16

岁3

人，22

岁2

人，24

岁2

人，25

岁5

人.为j

的人数，则分布为：用N(j)表示N(14)

=

1,N(15)

=

1,N(16)

=

3,N(22)

=

2,N(24)

=

2,N(25)

=

5,N(其它)=0.屋子里的总人数为∑∞N

=

N(j)j

=0

Spring

20159

/

14波函数Spring

201510

/

14波函数Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/NSpring

201510

/

14波函数问题2：最可几（最概然）P(j)

=

N(j)/N是那个

？Spring

201510

/

14波函数问题2：最可几（最概然）P(j)

=

N(j)/N是那个

？Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N是那个

？问题2：最可几（最概然）问题

3：中值

是多大？Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N是那个

？问题2：最可几（最概然）问题

3：中值

是多大？Spring

201510

/

14波函数问题2：最可几（最概然）P(j)

=

N(j)/N是那个

？问题

3：中值

是多大？问题

4：平均

是多大？Spring

201510

/

14波函数问题2：最可几（最概然）P(j)

=

N(j)/N是那个

？问题

3：中值

是多大？问题

4：平均

是多大？Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N问题

2：最可几（最概然）

是那个

？问题

3：中值

是多大？问题

4：平均

是多大？⟨j

⟩

=∑j·N(j)N∞∑=

j

·

P(j)j

=0

Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N问题

2：最可几（最概然）

是那个

？问题3：中值问题4：平均是多大？是多大？⟨j

⟩=∑j·N

(j)∑∞=

j

·

P(

j)j=0问题5：平方的平均是多少？NSpring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N问题

2：最可几（最概然）

是那个

？问题3：中值问题4：平均是多大？是多大？⟨j

⟩=∑j·N

(j)∑∞=

j

·

P(

j)j=0问题5：平方的平均是多少？NSpring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N问题

2：最可几（最概然）

是那个

？问题

3：中值

是多大？问题

4：平均

是多大？⟨j

⟩

=∑j·N(j)N∞∑=

j

·

P(j)j

=0

问题

5： 平方的平均是多少？⟨j2

⟩

=

∑

2

·

(

)∞j P

jj

=0

Spring

201510

/

14波函数P(j)

=

N(j)/N问题

2：最可几（最概然）

是那个

？问题

3：中值

是多大？问题

4：平均

是多大？⟨j

⟩

=∑j·N(j)N∞∑=

j

·

P(j)j

=0

问题

5： 平方的平均是多少？⟨j2

⟩

=

∑

2

·

(

)∞j P

jj

=0

注意，一般情况下，⟨j2

⟩̸=⟨j

⟩2Spring

201510

/

14波函数一般地，j

的函数的平均值∑∞⟨f(j

)

⟩

=

f(j)

·

P(j)j

=0

Spring

201511

/

14波函数一般地，j

的函数的平均值∑∞⟨f(j

)

⟩

=

f(j)

·

P(j)j

=0

上面两个直方图中，有着相同的中值、平均值、最概然值和相同数目的元素，如何量度分布对平均值的“弥散”程度呢？Spring

201511

/

14波函数∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.Spring

201512

/

14波函数∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.σ2

≡⟨(∆j

)2

⟩，方差Spring

201512

/

14波函数∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.σ2

≡⟨(∆j

)2

⟩，方差σ

称为标准差。是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称。Spring

201512

/

14波函数。∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.σ2

≡⟨(∆j

)2

⟩，方差σ

称为标准差。是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称仅对于没有弥散的分布，σ

=0。Spring

201512

/

14波函数。∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.σ2

≡⟨(∆j

)2

⟩，方差σ

称为标准差。是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称仅对于没有弥散的分布，σ

=0。σ2=

⟨(

∆

j

)2

⟩=

∑

(

∆

j

)

2

·

P(j)=

∑

(

j

−

⟨j

⟩)2

·

P(j)∑(

j

2

−

2j⟨j

⟩

+

⟨j

⟩2)P(j)====∑

∑

∑j2

P(j)

−

2⟨j

⟩

j

·

P(j)

+

⟨j

⟩2

P(j)⟨j2

⟩

−

2⟨j

⟩

·

⟨j

⟩

+

⟨j

⟩2⟨j2

⟩

−

⟨j

⟩2Spring

201512

/

14波函数。∆

j

=

j

−

⟨j

⟩,

⟨

∆

j

⟩

=

0.σ2

≡⟨(∆j

)2

⟩，方差σ

称为标准差。是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称仅对于没有弥散的分布，σ

=0。σ2=

⟨(∆

j)2

⟩=

∑

(∆

j

)

2

·

P(j)=

∑

(

j

−

⟨j

⟩)2

·

P(j)∑=

(

j

2

−

2j⟨j

⟩

+

⟨j

⟩2)P(j)∑

∑

∑=

j2

P(j)

−

2⟨j

⟩

j

·

P(j)

+

⟨j

⟩2

P(j)=

⟨j2

⟩

−

2⟨j

⟩

·

⟨j

⟩

+

⟨j

⟩2=

⟨j2

⟩

−

⟨j⟩2σ2

=

⟨j2

⟩

−

⟨j

⟩2Spring

201512

/

14波函数以上结果是分立变量的情况，可以非常简单的推广到连续分布的情况：∫bPab

=

ρ(x)

dxaSpring

201513

/

14波函数以上结果是分立变量的情况，可以非常简单的推广到连续分布的情况：∫bPab

=

ρ(x)

dxa∫+

∞1

=

ρ(x)

dx−

∞

Spring

201513

/

14波函数以上结果是分立变量的情况，可以非常简单的推广到连续分布的情况：∫bPab

=

ρ(x)

dxa∫+

∞1

=

ρ(x)

dx−

∞

∫+

∞⟨x

⟩

=

x

·ρ(x)

dx−

∞

Spring

201513

/

14波函数以上结果是分立变量的情况，可以非常简单的推广到连续分布的情况：∫bPab

=

ρ(x)

dxa∫+

∞1

=

ρ(x)

dx−

∞

∫+

∞⟨x

⟩

=

x

·

ρ(x)

dx−

∞

∫+

∞⟨f(x)

⟩

=

f(x)

·

ρ(x)

dx−

∞

Spring

201513

/

14波函数以上结果是分立变量的情况，可以非常简单的推广到连续分布的情况：∫bPab

=

ρ(x)

dxa∫+

∞1

=

ρ(x)

dx−

∞

∫+

∞⟨x

⟩

=

x

·

ρ(x)

dx−

∞

∫+

∞⟨f(x)

⟩

=

f(x)

·

ρ(x)

dx−

∞

Spring

201513

/

14波函数σ2≡

⟨(∆x)2

⟩

=

⟨x2

⟩

−

⟨x

⟩2假设 从高度为

h

的悬崖上一块石头。当石头下落时，以随机的时间间隔，摄取了

100

万张

。在每一张

上 测量石头已经下落的距离。那么所有这些距离的平均值是多少？也就是说，下落距离的时间平均是多少？dusx

(zzu)Spring

201514

/14波函数假设 从高度为

h

的悬崖上一块石头。当石头下落时，以随机的时间间隔，摄取了

100

万张

。在每一张

上 测量石头已经下落的距离。那么所有这些距离的平均值是多少？也就是说，下落距离的时间平均是多少？dusx

(zzu)Spring

201514

/14波函数例