弹性力学第五章

第五章线弹性体的本构关系应变能和本构关系§

5

-

1§

5

.

2§

5

.

3§

5

.

4§

5

.

5广义

定律各向异性弹性体各向同性弹性体余能密度第五章线弹性体的本构关系前面已进行了应力分析和应变分析，导出了平衡方程和几何方程。但是，在一般情况下，仅有平衡方程和几何方程还不能解决实际问题。例如，对两个材料不同，但形状相同的物体，在相同的约束和相同的外力作用下，它们的位移和变形是不同的。因此，要解决实际问题，还需要研究材料性质。反映材料性质的应力、应力变化率等和应变、应变率等之间的关系称为本构关系或本构方程。由于材料性质极其复杂，要找出适合于任何连续介质的本构关系是不可能的，甚至要找到适用于同一种连续介质在任意变形情况下的本构关系也是不可能的。事实上，在大部分连续介质力学中，只研究一些理想的本构关系。不同的理想本构关系有不同的适用范围。在本书中，不考虑热效应，且只

在小变形情况下适用的线性弹性本构关系——广义

定律。(5.1)§

5-1

应变能和本构关系下面

可以不计热效应的准静态变形过程。所谓准静态变形过程是指任意时刻的速度和加速度都小到可以忽略不计的过程。准静态变形过的动能为零。设位移有一增量，与之对应的应变增量为V

V

ijijdV

WdVV

V2ij

1

(ui,

j

u

j

,i

)(a)(5.2)s

V设ui为虚拟位移，依据虚功原理可知，外力在虚位移上所做的虚功为Ti

uids

fi

ui

dV

ijnj

uids

fi

uidVV

(ij,

jV

fi

)uidV

ij

ui,

jdVs

V

(ij

ui

),jdV

fi

uidV由式（2.74）可知其中：W

ijij单位体积中内力所做的虚功，即应变能密度增量。在式(5.1)的计算中，利用了平衡方程(4.12)、(4.17)及式(4.19)和关系(a)。式(5.1)表明，外力所做的功等于内力所做的功。δ

W

是单位体积中内力所做的功。弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程。外力在准静态过所做的功全部转化为由于变形而在弹性体内的能量，这种能量称为应变能。不管按什么路径或顺序卸载，卸载后物体恢复到未变形的初始状态，应变能全部出来。因此，应变能是状态函数，单位体积中的应变能即应变能密度是状态变量应变的单值函数。因为应变能等于外力所做的功，所以式(5.1)的最右边内力所做的功就是应变能的增量，δ

W

是应变能密度的增量。由于应变能密度是应变的单值函数，故δ

W

必定是全微分，即dW

ijdijij(5.3)ij

dijW

0(5.4)从式(5.3)或(5.4)，可得(5.5)ijij

WWdV

0V(b)(5.5)ij上式称为

(Green)公式。只要已知应变能密度的具体函数形式，就可用Green公式求出应力和应变之间的关系，即弹性材料的本构关系。把无应变的自然状态作为加载前物体的平衡状态，并假定这一自然状态是稳定的平衡状态。加载后的平衡状态称为变形状态或干扰状态。根据稳定平衡状态的定义可知，在准静态变形过

，从稳定的平衡状态到相邻的变形状态，外力必须做正功。从式(5.1)得ij

W由于V可以是任取的体积元，所以上式要求δ

W

＞0

。令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能密度必正定，即(5.6)W

0上式中的等号当且仅当ε为零时成立。§

5

.

2

广义

定律在应变很小的条件下，在ε

ij

=

0

附近把应变能密度按Taylor级数展开，并略去ε

i

j

二次以上的项2W

c

bijij

1

Eijkl

ij

kl(5.7)其中c

W

0ijijijij

0b

W(a)ijklij

klij

02W

E

(b)由于V可以是任取的体积元，所以上式要求δ

W

＞0

。令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能密度必正定，即因为取无应变状态时的应变能密度为零，则(a)式中的第一式要求

c=0。把式(5.8)代入式(5.5)，并利用式(5.8)，得2Wij

kl2W

ji

kl2Wij

lk2Wkl

ij所以，根据式(b)的定义，有(5.8)Eijkl

Ejikl

Eijlk

Eklij显然bij是无应变时的初应力。按无初始应力假定，应取bij=0，所以式(5.9)和(5.7)可简化成2ijij

W

bij

1

(Eijklkl

Eklijkl

)

bij

Eijklkl(5.9)ij

EijklklW

1

Eijklijkl

1

ijij(5.10)(5.11)2

2式(5.11)表示应力是应变的线性函数，这一本构关系称为广义(Hooke)定律。式(5.11)和商法则表明，Eij是一个四阶张量，称为弹性系数张量或弹性模量张量。一般的四阶张量有81个独立的分量但是，对最一般的线性弹性材料，由于有对称性关系（5.9），四阶弹E性模量张量只有21个独立的分量。对均匀弹性体，弹性模量张量E是和空间位置r无关的常张量。但对非均质弹性体，张量E是空间位置即矢径r的函数。对线弹性材料，式(5.12)表明应变能密度W是应变ε

的二次型，而且前一节的结论要求W是ε

的正定二次型利用W的正定性，可以证明式(5.10)是可逆的，即可以用应力来表示应变ij

Cijkl

kl(5.12)其中Cijkl称为柔度系数张量，它也有类似于式(5.8)所表示的对称性如果材料在各个方向的性质不相同，

就说这种材料是各向异性的。对

各向异性弹性体，上一节已经证明只有21个独立的弹性常数。对工

的对称性。下面将用到的材料而言，或多或少存在一些材料性质几种常见的各向异性弹性体。为叙述方便起见，把本构关系(5.10)改写成如下形式。§

5.3

各向异性弹性体(5.13)

C22

y

C23

z

C14

xy

C15

yz

C16

zx

C24

xy

C25

yz

C26

zx

x

C11x

C12

y

C13z

y

C21

xz

C31x

C32

y

C33

z

C34

xy

C35

yz

C36

zx

yzxy

C41

x

C42

y

C43

z

C44

xy

C45

yz

C46

zx

C51x

C52

y

C53

z

C54

xy

C55

yz

C56

zxzx

C61x

C62

y

C63

z

C64

xy

C65

yz

C66

zx其中C11=E1111,C12=E1122,C14=E1112,等。由于Eijkl=Eklij,故Cij=Cji。注意，Cij不是一个二阶张量。xx

x

x

y

xy

y

y

y

zx

xyzz

z

z

xzx

(a)y

xy

y

y

z

z

yz

yz

zxzx

(1)

具有一个弹性对称面的弹性体如果存在一个平面，沿和该平面垂直的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为弹性对称面，而与其垂直的方向称为弹性主方向。设xy平面为弹性对称面，z轴方向就是主方向。把z轴反向即作坐标变换x

′=x

，

y′=y，z′=－z，则在新坐标系中的应力和应变为(b)xy

41

x

42

y

43

z

44

xy

45

yz46

z

x

C

C

C

C

C

C62

y

C63z

C64

xy

C65

yz

C66

zx

x

C11x

C12

y

C13z

C14

xy

C15

yz

C16

zx

y

C21

x

C22

y

C23

z

C24

xy

C25

yz

C26

zx

C

yz

C51x

C52

y

C53

z

C54

xy

C55

yz

C56

zxzx

C61x(c)

C

C

C

C

C

C

z

31

x

32

y

33

z

34

xy

35

yz

36

zx把式(a)和(b)代入式(5.13)，得由于轴的z轴正负两个方向的弹性相同，因此在上述坐标变换前后的应力应变关系(5.13)和(c)应该相同。故必有C15

C16

C25

C26

C35

C36

C45

C46于是，独立的弹性常数减少到13个。式(5.13)简化成(5.14)

C14

xy

x

C11x

C12

y

C13z

y

C22

y

C32

y

C23

z

C24

xy

C33

z

C34

xy

C21x

C31xzxy

C41x

C42

y

C43

z

C44

xy

yz

C55

yz

C56

zxzx

C65

yz

C66

zx(2)

正交各向异性弹性体除了xy平面为弹性对称面外，假定xz平面也为弹性对称面。用和上一段类似的方法，可以证明C14

C24

C34

C56

0=(5.15)32

yxy44

xy独立的弹性常数减少到9个。式(5.14)变成x

C11x

C12

y

C13z

y

C21x

C22

y

C31x

C=

C23z

C33

z

z

C

yz

C55

yz

zx

C

66

zx若进一步假设yz平面也为弹性对称面，经过和前面相同的推导，发现应力应变关系仍然是(5.15)。这一结果表明，若三个相互垂直的平面中有两个弹性对称面，则第三个面也必是弹性对称面。这种弹性体称为正交各向异性弹性体。所以，独立的弹性常数减少到6个，式(5.15)变成(d)xy(3)

横观各向同性弹性体若材料性质关于某一轴（不妨设为z轴）对称，也就是说，在和这一轴垂直的xy平面内的任何方向具有相同的弹性性质，或者说，xy平面是各向同性平面，则这种弹性体就称为横观各向同性弹性体。显然，xy平面和xz平面都是对称面，故横观各向同性弹性体必定是一种正交各向异性体，式(5.15)仍成立。由于x方向和y方向的性质相同，把x轴和y轴互换，式(5.15)应该不变。由此推得C11

C22

,

C13

C23

,

C55

C66

x

C11x

C12

y

C13z44

xy

y

C21

x

C11

y

C13z

C31x

C31

y

C33

z

z

C

yz

C55

yz

zx

C

55

zx在新坐标系中，式(d)中的第四式仍然成立，即(e)2xy

y

1

(

)

sin

2

x

xycos

2

xy

(

y

x

)

sin

2

xy

cos

2

xy

C44

xy把式(e)代入上式，得12y(

x

)

sin

2

xy

cos

2

C44[(

y

x

)

sin

2

xy

cos

2]

y

x

2C44

(

y

x

)(f)oz'zyy'x'x利用(d)中的第四式和

的任意性，上式可化成使坐标系绕z轴旋转一个任意角度

，如图5.1所示。根据张量的变换关系，有式(d)中的第二式的两边减去第一式的两边，得把式(h)代入式(d)，得横观各向同性弹性体的本构关系如右(g)

y

x

(C11

C12

)(

y

x

)比较(f)和(g)两式，得到4412C

(C11

C12

)y13

z

x

C11x

C12

y

C13z21

x

11

y

C

C

C

z

C31x

C31

y

C33

z

1

(C

C

)2

11

12

xy

xy

C

yz

55

yz(5.16)zx

C55

zx由此可见，横观各向同性弹性体有5个独立的弹性常数。如果沿所有方向的弹性性质都相同，则这种材料称为各向同性弹性材料。在数学上，如果应力应变关系的分量形式和坐标系无关，则对应的材料必定是各向同性的。因为x方向和z方向的弹性相同，因此把x轴和z轴互换，应力和应变的关系(5.16)仍应成立。由此可推得§

5.4

各向同性弹性体5512C13

C12

,

C33

C11,

C

(C11

C12

)(a)xy

11

12

xyx

C12

(C11

C12

)x

y

C12

(C11

C12

)

y所以对各向同性弹性材料，只

有两个独立的弹性常数。式(5.16)

z

C12

(C11

C12

)z

(C

C

)可改写成

yz

(C11

C12

)

yz

zx

(C

C

)11

12

zx或用张量表达成(5.17a)yz

zx令λ=C12，μ=(C11-C12)/2,并称λ,μ为Lame()系数。式(a)可写成xy

2xy

yz

x

2x

y

2

yz

2z

2zx

2ij

ij

2ij(5.17b)也可把上式写成式(5.10)的形式，即(5.17c)ij

Eijklkl其中Eijkl

ijkl

(ik

jl

il

jk

)(5.18)很容易验证式(5.18)所示弹性模量张量在坐标变换时不变。事实上利用式(2.17)可得Eijk

l

Eijkl

ii

jj

k

k

ll

ii

ji

k

k

lk

(ii

jj

k

i

lj

ii

jj

kj

li

)

ijkl

(ik

jl

il

jk

)在式(5.17b)中，令i=j，并求和，可得

(3

2)

3K(5.19)其中3K

2

(5.20)体积模量从式(5.17b)和(5.19)可得偏应力和偏应变之间的关系式(5.17)是用应变表示应力的关系。利用式(5.19)，从式(5.17b)可导得用应力表示应变的关系。(5.21)Sij

2eijij

1

ij

ij2

2(3

2)(5.22)考虑只在x方向简单拉伸的情况。此时，只σ

x

有不为零。式(5.22)变成x

xy

y

z

x

yz

zx

0

x(3

2)2(3

2)(b)在实用中，简单拉伸时的应力应变关系常写成如下形式其中E是杨氏（Young）弹性模量，υ是泊松(Poisson)比。比较式(b)和（c），得(c)xxE

y

zxE

xy

yz

zx

0E

(3

2)

,

2(

)(5.23)或

E

,

E

(1

)(1

2

)2(1

)(5.24)从式(5.22)可得剪应力和剪应变之间的关系xyxy

1

(d)在实用中，经常把式(d)写成(e)G

xy

1

xy其中G是剪切弹性模量。从式(d)和(e)可得

G(5.25)利用式(5.24)，应力应变关系(5.22)可化成其展开形式为x

xyzxyxyEEyzzx

1

[

(

)]

2(1

)

x

)]

yzEy

1

[

(z

yz

1

[

z

(xE

2(1

)

EE

2(1

)

y)]

zx(5.26b)E

Eij

1

ijij(5.26a)式(5.19)和(5.20)也可写成

1

1

2

3K

E(5.27)(5.28)K

E

3(1

2

)利用式(5.17)，各向同性体的应变能密度可具体表示成W

1

ijij

1

2

ijij2

2x

y2z2xy2yz2zx2

1

2

(

2

2

)

2(

)(5.29)应变能密度也可用